勾股定理的应用（解析版）-八年级数学上册基础知识考点预习（北师大版）

第五讲勾股定理的应用

目录

必备知识点........................................................................1

考点一勾股定理的应用一一翻折问题...............................................2

考点二勾股定理的应用一路径最短.................................................9

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必备知识点

【模型1】

蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径?

(1)AB=Ja2+S+c)2=yla2+h2+c2+2bc；

(2)AB=k+(b+a)23=y/a2+b2+c2+2tzb；

(3)AB=Jb，+(c+4)2=J/+b2+2〃c。

由此可见，ab、be、ac谁小，则路径就最小。

【结论】

最短路径二J最长边？+（最短边+次长边）2

【模型2】

蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点到C点的最短路径？

由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=J（行尸+1/

考点一勾股定理的应用一-翻折问题

1.如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边48翻折

,使点4落在直角边力C的延长线上的点E处，折痕为力。，则CO的长为_旦加

E

【解答】解：在RtZL48。中，^=VAC2+BC2=10,

根据折叠的性质可知：彳后=48=10,

VJC=8,

：.CE=AE-AC=2.

即CE的长为2,

设C£>=x,贝I」8£>=6-x=。石，

在RtZXCDE中，根据勾股定理得

CD1+CE2=DE2,即『+22=(6-X)2,

解得》=竺

3

即CD长为当m.

3

故答案为：

3

2.如图，Rt△44c中，4?=18,8c=12,/4=90°,将△48C折叠，使点力与8C的中

点。重合，折痕为MN,则线段AM的长为8.

【解答】解：设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18-x,

•・•。是8c的中点，

：.BD=^BC=6,

2

在RtZ\N8。中，BN2+BD2=DN2,

『+62=(18-x)2,

解得：x=8.

即BN=8.

故答案为：8.

c

3.如图，已知E为长方形纸片NBC。的边CO上一点，将纸片沿力E对折，点。的对应点

D1恰好在线段8E上.若4。=3,DE=l,则AB=5.

：,/\ADE^/\AD'E.

：.AD=AD'=3,DE=DE=l,ZDEA=ZD'EA,

•・•四边形48CO是矩形，

:.AB"CD,

：・NDEA=NEAB,

:・NEAB=NAEB,

:・D'B=BE・D'E=AB・T,

在Rt△48。中，AB2=D'A2+D'B2,

：.AB2=9+(JZ?-1)2,

：.AB=5

故答案为：5

4.如图，在矩形/16C£＞中，AB=4,3c=6,点£为8c的中点，将△月6E沿月七折置，使

点8落在矩形内点尸处，连接CE则6的长为_as_.

【解答】解：连接8F

；8C=6,点E为8c的中点,

:.BE=3,

又・・NB=4,

AJE=7AB2+BE2=5»

・・.M=4

5

贝ljBF=^

5

■:FE=BE=EC,

.•・N8FC=9()°,

根据勾股定理得，CF=^/BC2_BF2=/62_（24）2=^8.

5.如图，在Rt△48c中，NB=90：AB=6,BC=8,将△/4c折叠，使点8恰好落在

斜边力。上，与点夕重合，/E为折痕，求/C和砧'的长.

【解答】解：设EB，=x,

VZ5=90°,AB=6,BC=8,

.\JC=^AB2+BC2=IO,

由折叠的性质可知，BE=EB'=x,AB1=AB=6,

则C8'=AC-AB'=4,EC=BC・BE=8・x，

由勾股定理得，/+42=(8-x)2,

解得x=3,

:.EB'=3.

6.如图，矩形川中，48=8,BC=6,尸为力。上一点，将△440沿8尸翻折至△E8P,

PE与CQ相交于点。，OE=OD.

(I)求证：OP=OFx

(2)求/尸的长.

【解答】解：(1)•・•四边形力8C。是矩形，

/.ZZ)=ZJ=ZC=9OC,AD=BC=6,CD=AB=8.

由翻折的性质可知：EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=8,

在AODP和AOEF中,

fZD=ZE

IOD=OE，

|ZDOP=ZEOF

:.△ODP9XOEF(ASA).

：,OP=OF.

(2)'：/XODP^^OEF(ASA),

：.OP=OF,PD=EF.

：.DF=EP,

设AP=EP=DF=x,则尸。=ER=6-x,3=8-x,BF=8-(6-x)=2+x,

在根据勾股定理得：BC2+CF'2=BF2,即62+(8-x)2=(x+2)2,

解得：x=4.8,

・・・"=4.8.

7.如图，将对角线3。长为16、伤的正方形折叠，使点月落在。。边的中点。处,

点4落在尸处，折痕为EF.

(1)求线段力8和线段3的长；

(2)连接E。，求E。的长.

【解答】解：(1)•・•对角线8。为16版,

：.AB=BC=CD=AD==16,

V2

设3=x,由折叠可知。尸=8〃=16-x,

由于。为CQ中点，

则CQ=/CD=8，

乙

在直角三角形CP。中，由勾股定理可得：

(16-x)2=82+X2,解得:x=6.

故CF=6.

(2)如图所示，连接E。，作EG_L8C于点G,连接BQ交EF干点H,

由折叠可知/BQ1EF,

：・/BFE+NFBQ=90°,

又/BFE+/GEF=90°,

：.ZFBQ=ZGEF,

在△EG/7和△8。°中，

rZGEF=ZCBQ

<EG=BC，

ZEGF=ZBCQ=90°

:•丛EGF部丛BCQCASA),

：.GF=CQ=S,

：.AE=BG=BF-GF=W-8=2,

即PE=2,

由折叠可得。0=48=16,ZP=90°,

由勾股定理有£(?=VPE2+PQ2=V4+162=2^65-

8.已知，如图，在长方形48co中，AB=8,BC=6,P为AD」二一点,将△48P沿8P翻

折至△£4P,PE与。。相交于。，且OE=。。，求力户的长.

【解答】解：设。。与8E交于点G,如图所示：

•••四边形48CO是矩形，

.•.ZD=ZJ=ZC=9d°,AD=BC=6,CD=AB=8,

由翻折的性质得：△ABPgAEBP,

:・EP=AP,NE=N4=90°,BE=AB=8,

rZD=ZE

在△OOP和△OEG中，＜0D=0E，

ZDOP=ZEOG

妾△OEG(ASA),

：.OP=OG,PD=GE,

:・DG=EP,

:・AP=EP=DG,

设则PO=GE=6-K,DG=X,

・・・CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x,

在RtZ\8CG中，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即62+(8-x)2=(x+2)2,

解得：x=4.8,

・・・"=4.8.

考点二勾股定理的应用-路径最短

9.如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm,7cm,\2cm,一只蚂蚁想从盒底的点力

沿盒的表面爬到盒顶佗点8,那么它爬行的最短路程是多少？

【解答】解：①如图I,展开后连接力&则就是在表面上4到8的最短距离,

在RtZUBM中，由勾投定理得：4B=«(9+7)2+122=定(cni)；

②如图2,展开后连接力8,则力4就是在表面上4到4的最短距离,

B

在RtaXOB中，由勾股定理得：J5=^92+(12+7)2=^442(。〃)；

③如图3,展开后连接力8,则48就是在表面上4到8的最短距离，

在RtZ\/lN8中，由勾股定理得：-8=472+(12+9)2=7^15(cm).

・•・蚂蚁爬行的最短路程是20cm.

10.如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是4c'〃?，4cm,6cm.

一只蚂蚁想从盒底的点力沿盒的表面爬到盒顶的点8,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线

吗？蚂蚊要爬行的最短行程是多少？

4B=｛（4+4）2+62=10（cm），

如图2所示：

AB=yJ（4+6）2+42=2\/29（cm）•

V10<2^29，

・•・蚂蚊沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是10c〃?.

11.如图，圆柱形容器高为0.8机，底面周长为4.8〃?在容器内壁离底部0.1机的点8处有一

只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点力处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？

---------

--------------,

【解答】解：如图，招容器侧面展开，连接48,则48即为最短距离.

•・•圆柱形容器高为（）.8加，底面周长为4.8m在容器内壁离底部的点4处有一只蚊子,

此时一只壁虎止好在容器的顶部点A处，

.•・力。=0.86，DE=2.4m,

过4作BCVAD于C,

则N5C£)=90°，

•・•四边形4CE尸是矩形，

；・NCDE=NDEB=NCAF=NBFA=90°,

:.四边形8C0E和四边形ACBF是矩形，

**CD=BE=0.1mfBC=DE=2Am,

：・AC=AD・CD=0.7用,

在直角△/14C中,

DE

12.如图，台阶力处的蚂蚁要爬到8处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.

【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC=20,80=5+5+5=15,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

即力82=202+152,

：,AB=25,

，最近距离为25.

13.如图是一个三级台阶,每级台阶都是长、宽和高分别等于90CM,25切和15cm的长方

体，力和8是这个台阶的两个相对的端点.在力点处有一只蚂蚊，想到8点去吃可口的

食物，请你算一算，这只蚂蚁从力点出发，沿着台阶面爬到8点，最短路程是多少？

B

【解答】解：展开后由题意得：ZC=90°,4C=3X25+3X15=120,BC=90,

由勾股定理得：^^=\AC2+BC2=V1202+902=150cw,

答：最短路程是150cm.

14.（1）如图1,长方体的长为4“〃，宽为30〃，高为12cs.求该长方体中能放入木棒的

最大长度；

（2）如图2,长方体的长为4CTM,宽为3,〃，高为