人教A版高二数学暑假知识讲炼：倾斜角与斜率（原卷版+解析）

第二章《直线和圆的方程》

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率

E知识梳理

知识点一直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

（1）当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.

（2）当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

2.直线的倾斜角a的取值范围为0。或。＜180。.

知识点二直线的斜率

1.直线的斜率

把一条百线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即攵=1@11a

2.斜率与倾斜角的对应关系

3.过两点的直线的斜率公式

过两点P|（X|，丁|），02。2，N2）（X1WX2）的直线的斜率公式为

X2汨

{蟒台I

JBL题型懒

题型一、直线的倾斜角

1.直线的倾斜角

前提条件直线/与X轴

定义以_________作为基准，x轴_________与直线/_________的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角

特殊情况当直线1与X轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________

取值范围1

【答案】相交工轴正向向上平行重合00«。4180

2.(多选)设直线/过原点，其倾斜角为a,将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线6，则直线人的倾

斜角为()

A.a+45B.45°-aC.a-135D.135-a

3.分别写出下列直线的倾斜角：

⑴垂直于x轴的直线；

⑵垂直于y轴的直线；

(3)第一、三象限的角平分线；

(4)第二、四象限的角平分线.

4.当直线/与x轴垂直时，直线/的倾斜角为.

题型二、直线的斜率

1.若直线/的倾斜角为120。，则直线/的斜率为.

2.经过两点A(1，M，8(〃2+1,4)的直线的倾斜角为45，则.

3.根据卜.列直线的倾斜角。，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：

(l)a=0°；

⑵a=60。；

(3)a=90°；

(4)a=150°.

4.求经过卜.列两点的直线的斜率与倾斜角

(1)4(23),8(3,4)

(2)C(2.3),。(3,3)

(3)仪23),F(2,4)

(4)G(2,3),〃(“4)

题型三、倾斜角和斜率的应用

1.已知直线/经过42/)、8(1,〃/)(,〃GR)两点，求直线/的倾斜带的取值范围.

2.过点尸(0,-1)的直线/与以43,2)、8(2,-3)为端点的线段A3有交点,求直线/的倾斜角。的取值范围.

3.已知直线4的斜率为;，直线4的顷斜角是直线4倾斜角的2倍，求直线4的斜率.

4.设点A(-2,3),8(3,2),若直线or+y+2=0与线段AB有交点，则。的取值范围是()

54

C.

2,3

跟踪训练

1.确定一条直线的条件

确定一条直线的条件是_________和一个.

规定水平直线的方向,其他直线的方向为这条直线的方向.

2.已知直线4的倾斜角4=15。，直线4与的交点为A,直线乙和右向上的方向之间所成的角为120。，如图所示,

求直线的倾斜角.

3.直线），=0倾斜角为.

4.如图所示，直线/的倾斜角为（）

A.60°B.150°C.0°D.不存在

5.直线人与直线4：x=2所成的锐角为3（）。，则直线4的倾斜角为

6.函数y=i表示的直线的倾斜角大小为.

7.判断正误

（1）倾斜角为135。的直线的斜率为1.（）

（2）直线斜率的取值范围是（田,也）.（）

8.过点41,2)、/-1，①的直线的倾斜角为（)

A.45°B.135°C.1D.-1

9.求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.

⑴22,0）、

⑵尸（1,2）、。（00）,其中实数。是常数.

10.设直线/的倾斜角为e,若原点在直线/上的射影为（21）,则sin26的值为

11.已知直线斜率为3且-IWkW#,那么倾斜角。的取值范围是（).

713兀'37r、

U1B.

A.2G

兀3兀、

C.U方无D.。削%）

X/o

12.当直线/的倾斜角Oe等u弓,一事时，则直线/的斜率的取值范围为

13.求经过A（见3）（其中〃[2/）、8（1,2）两点的直线的倾斜角Q的取值范围.

i.如图，设直线4，，2，的斜率分别为K，Q3，则K，k2,心的大小关系为（）

A.k、＜k?＜《B.k、＜k、＜k2

C.《＜k、＜k、D.

2.直线加过点0（0,0），A（1，V2）,其倾斜角为。，现将直线〃?绕原点。逆时针旋转得到直线加：）：="，若直线加

的倾斜角为2a,则k的值为（）

A.2&B.-2^2C.2D.-2

3.己知过点（2,〃?），（4,6）的直线的倾斜角为45。，则实数加=（）

A.2B.4C.6D.8

4.设直线/的斜率为3且则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

5.直线/的斜率为半，则/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.（多选）如果直线/过原点（0,0）且不经过第三象限，那么/的倾斜角。可能是（）

A.0°B.120°C.90°D.60°

7.（多选）下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为。，则sin6>0

B.直线的倾斜角。的取值范围为OK0〈不

C.若一条直线的倾斜角为凡则此更线的斜率为tan。

D.若•条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为夕

8.若直线44的倾斜角分别为%,％，且4,杆则有（）

A.ai-a2=90°B.=90°C.\a2-a]=90°D.+a2=180°

9.已知直线/过点4（1.2）,且不过第四象限，则直线/的斜率A的最大值是（）

A.2B.1C.1D.0

10.下列命题中，错误的是.（填序号）

①若直线的倾斜角为。，则。£（。,幻;

②若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大;

③若直线的倾斜角为则直线的斜率为lana.

11.直浅/的斜率为G，将直线/绕其与x轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是

12.若过两点404)、仅26,-3)的直线的倾斜角为60。，贝心，=

13.若直线/的倾斜角。的正弦值为:，则它的斜率为.

14.若三点4(3,1),8(—2,k),C(8』)能构成三角形，则实数A的取值范围为

14

15.已知直线/过第一象限的点(〃?,〃)和(1,5),直线/的倾斜角为135。,求一+一的最小值.

mn

16.已知直线/经过两点A(2〃,/)、8(01),求直线/的倾斜角的取值范围.

，7-已知直线/的斜率的绝对值为冬求这条直线的倾斜角•

18.已知直线4的斜率为-1,直线4的倾斜角比直线乙的倾斜角小3CP,求直线〃的斜率.

19.(I)若直线/的倾斜角ae,求直线/斜率左的范围;

o3

(2)若直线/的斜率攵4-1』,求直线/倾斜角a的范隹I.

20.经过点作直线/,且直线/与连接点4(1.-2),8(2.1)的线段总有公共点，求直线/的倾斜角。和斜率k

的取值范围.

21.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m—2,1).

(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

v+1

22.点、M(x,)，)在函数)，=一级+8的图象上，当“£[2,5]时，求工的取值范围.

人I1

第二章《直线和圆的方程》

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率

口知识梳理

知识点一直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

(I)当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成的角

a叫做直线/的倾斜角.

⑵当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角a的取值范围为0°^a<180°.

知识点二直线的斜率

I.直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即k=lan

3.过两点的直线的斜率公式

W—V1

过两点P|(X1，)，］),02(X2，")(X1WX2)的直线的斜率公式为

X2~X\

题型一、直线的倾斜角

1.直线的倾斜角

前提条

直线1与A轴_________

件

以_________作为基准“轴_________与直线1__________的方向之间所成的角。叫

定义

做直线/的倾斜角

特殊情

当直线/与X轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________

况

取值范

—

围

【答案】相交X轴正向向上平行重合00<or<180

2.(多选)设直线/过原点，其倾斜角为将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得

到直线4，则直线4的倾斜角为()

A.a+45B.45°-aC.。-135D.135-a

【答案】AC

【详解】,直线倾斜角。的取值范围为()Wavl80,

.•・当0<a<135时，旋转45后得到4的倾斜角为：a+45；

当135<a<180时，旋转45后得到乙的倾斜角为：a+45-180=a-135.

故选：AC.

3.分别写出下列直线的倾斜角：

⑴垂直「X轴的直线；

⑵垂直于)'轴的直线；

⑶第一、三象限的角平分线；

(4)第二、四象限的角平分线.

【答案】⑴90:(2)0;(3)45;(4)135

【详解】(1)当直线垂直于工轴时，直线的向上方向与x轴正方向形成的夹角为90,所以所

求直线的倾斜角为90.

⑵当直线垂直于y轴时，此时，直线与X轴平行或重合，

所以所求直线的倾斜角为0.

(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x轴正方向形成的夹角为45,

所以所求直线的倾斜角为45.

(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x釉正方向形成的夹角为135

所以所求直线的倾斜角为135.

4.当直线/与x轴垂直时，直线/的倾斜角为.

【答案】y

【详解】当宜线/与x轴垂宜时，直线/的倾斜角为5

故答案为：!

题型二、直线的斜率

1.若直线/的倾斜角为120。，则直线/的斜率为.

【答案】7

【详解】因为直线/的倾斜角为120°,则A=tan120。=-VL

故答案为：-石.

2.经过两点A(1，MIW+1，4)的直线的倾斜角为45，则，"=.

【答案】2

【详解】因为过两点A(1，MIW+1,4)的直线的倾斜角为45，

4-m

所以&AB=---:--=tan45=1,解得〃?=2,

m+\-\

故答案为：2.

3.根据下列直线的倾斜角。，判断更线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：

(1)«=0°；

(2)a=60°；

⑶a=900；

(4)«=150o.

【答案】(1)存在，且斜率为0

⑵存在，且斜率为百

(3)不存在

(4)存在，且斜率为—立

3

【详解】(1)。=0°,斜率存在，且斜率为tan0“=0.

(2)a=60。，斜率存在，且斜率为tan60。=G.

(3)a=90。，斜率不存在.

⑷a=150。，斜率存在,且斜率为tan150。=-直.

3

4.求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角

⑴A(2,3),B(3,4)

⑵C(2,3),。(3,3)

(3)石(2,3),F(2,4)

(4)G(2,3),4(a,4)

TT

【答案】⑴"8=1，倾斜角为:

(2)令。=0,倾斜角为0

(3)斜率不存在，倾斜角为1

(4)见解析

【详解】(1)384=—~3=1，所以八4的倾斜角为£71；

(2)七0二汽=。，所以的倾斜角为0;

⑶因为点£/的横坐标相等，所以直线石尸的斜率不存在，倾斜角为

(4)当。=2时，直线GH的斜率不存在，倾斜角为

4-31

当a工2时，k=-=-，

Gtla-2a-2

若a>2,倾斜角为arctan—；

a-2

若〃<2,倾斜角为兀Iarctan*.

a-2

题型三、倾斜角和斜率的应用

1.已知直线/经过42J)、以1,〃力(〃蚱R)两点，求直线/的倾斜角的取值范围.

【答案】[%]U生)

【详解】•・•直线/过42,1),91,加2)0〃eR)两点,

・•・直线I的斜率为k=如二=1-/«2<1,

1-2

设直线/的倾斜角为a,则二«0,兀)，且tanaWl,解得04a4弓或a<冗

・•・直线/的倾斜角a的取值范围是0，：U(^，二.

2.过点20,-1)的直线/与以43.2)、8(2.-3)为端点的线段人〃有交点.求直线/的倾斜角。

的取值范围.

―-1r\

..“,,,FC兀3冗

【答案】0，-U下/

L4」［4J

【详解】如图所示，因为P(O「1),43,2),8(2,—3),

可得勺=

2-0

要使得直线/与以43,2)、3(2,-3)为端点的线段A3有交点，

设直线/的倾斜角为a,其中［0,1),则满足tanaW1或tana之一1,

解得°，屋(或个工—即直线/的倾斜角夕的取值范围会口

3.已知直线4的斜率为直线的倾斜角是直线4倾斜角的2倍，求直线〃的斜率.

【答案】三4

【详解】由题意，设直线4的倾斜角为。，则直线4的阳斜角为2a,

由已知得用=tana=g,

所以直线〃的斜率为K=tan2a=即？=4

1-tana3

4.设点A（-2,3）,*3,2）,若直线尔+），+2=0与线段48有交点，则。的取值范围是（)

54

A.C.

2,3

5

D.—,+00

2

【答案】D

54

【详解】•••直线心十），十2=0过定点。（0,—2）,且Am—

由图可知直线与线段A8有交点时，斜率-。满足4。或-。工-：5，解得

45

ClG-OO,——V—,4-00,

I332J

故选：D

i.确定一条直线的条件

确定一条直线的条件是和一个.

规定水平直线的方向，其他直线的方向为这条直线的方向.

【答案】一点方向向右向上

2.已知直线（的倾斜角名=15。，直线乙与〃的交点为A,直线4和4向上的方向之间所成的

角为120。，如图所示，求直线4的倾斜角.

【答案】135°

【详解】设直线A的倾斜角为a?,结合图形及三角形外角与内角的关系可得

%=120。+«=120。+15。=135。，故直线《的倾斜角为135。.

3.直线y=（）倾斜角为.

【答案】（）

【详解】直线y=0即为X轴，该直线的倾斜角为0.

故答案为：0.

D.不存在

【答案】B

【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150。

故选：B

5.直线4与直线〃：x=2所成的锐角为30。，则直线4的倾斜角为

【答案】60。或120。.

【详解】如图,

直线4的倾斜角为60。或120°-

故答案为：60。或120°.

6.函数）=1表示的直线的倾斜角大小为.

【答案】0

【详解】由题设，），=1平行于工轴，即斜率为0，

若倾斜角为。€[0,万）,则tanO=O,故0=0.

故答案为：0

7.判断正误

(1)倾斜角为135。的直线的斜率为1.()

(2)直线斜率的取值范围是(YO,2).()

【答案】x7

【详解】

(1)倾斜角为135。的直线的斜率为・1

(2)直线斜率的取值范围是(0,2)

8.过点A(l,2)、B(-1,0)的直线的倾斜角为()

A.45°B,135°C,ID.-1

【答案】A

9-()

【详解】过4月的斜率为&=广7不=1，则该直线的倾斜角为45。，

故选:A.

9.求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.

⑴P(2,0)、e(l,V3)；

(2)?(1,2)、Q(a,0),其中实数。是常数.

【详解】⑴经过产(2,0)、。(1,6)两点的直线的斜率2=半?=-6，

设直线尸。的倾斜角为。，则046<兀，

又tan0=->/5,则e=T27t

(2)设直线PQ的倾斜角为明则owe〈兀，

当。=1时，直线PQ的斜率不存在，倾斜角0=5；

22

当〃工1时，k=---,则tan0=----

\-a\-a

2

①若a<\,则0=arctan---；

\-a

_2

②若a>l,则夕=7t+arctan---.

\-a

10.设直线/的倾斜角为。，若原点在直线/上的射影为(2,-1),则sin26的值为

【答案】］4

【详解】由原点在直线/上的射影为（2,7）知过原点和（2,7）的直线和直线/垂直，过原点和

（21）的直线斜率为-g,

.士/小口nccaj.cc2sin6^cos2tan®4

故直线【的斜率为2,即tan0=2,故sin20=.，-----=—7―—=-.

sin~e+co$"。tan'6+15

4

故答案为：—.

11.已知直线斜率为攵，且石，那么倾斜角。的取值范围是（）.

713兀八7t37r

A.B.7c

呜2U7'

71

C.D.U.兀

2豆4

【答案】B

【详解】由题意，直线/的倾斜角为a,则兀）,

因为-14k46，即-IVtanawG，

结合正切函数的性质，可得aw0，弓u学，兀］•

L3」［4）

故选：B.

12.当直线/的倾斜角时，则直线/的斜率的取值范围为

【答案】［1，+8）D（-O0,一同

【详解】

当直线/的倾斜角时，

则直线/的斜率的取值范围为tanp+x^o^-cojan^=[l,+oo)u(-x,-x/3j,

故答案为：［l，+8）u（e，-6］.

13.求经过A（肛3）（其中〃△/）、8（1,2）两点的直线的倾斜角a的取值范围.

【答案】0<«<90°

【详解】由题意，当加=1时，倾斜角。二90。，

3-21

当心1时，tana=-=---->0,即倾斜角。为锐角;

m-\m-\

综上得：0<a<90°.

I.如图，设直线4，L4的斜率分别为k3,则尢，3的大小关系为（）

A.4<&2<&3B.k'Vk'Vk?

C.D.h<h<k、

【答案】A

【详解】由斜率的定义可知,占<々2<勺.

故选：A.

2.直线阳过点。（。，0），A（L&）,其倾斜角为a,现将直线〃?绕原点。逆时针旋转得到直

线底），二爪，若直线R的倾斜角为"，则攵的值为（）

A.2&B.-272C.2D.-2

【答案】B

【详解】由题，tana=ka=V5,直线N的倾斜角为"，故

2tana

k=tan2a=

1-tan2a

故选：B

3.已知过点（2,m）,（4,6）的直线的倾斜角为45。，则实数”二（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

6——tv

【详解】由tandSOuTFzd,解得m=4.

4-2

故选：B.

4.设直线/的斜率为k,M-X/3<A-<I,则直线/的倾斜角0的取值范围是（)

【答案】A

【详解】因为直线/的斜率为k，且-百<&K1,

.\-x/3<tana<l>因为ae［。,兀），

（27tY,Ln

..ae|——，花IJ0,—.

I3JL4J

故选:A.

5.直线/的斜率为正，则/的倾斜角为（）

3

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【详解】因为直线/的斜率为无，所以/的倾斜角为30°.

3

故选：A.

6.（多选）如果直线/过原点（0,0）且不经过第三象限，那么/的倾斜角。可能是（）

A.0°B.120cC.90°D.60°

【答案】ABC

【详解】依题意，直线/过原点，且不经过第三象限，则。=0。或90。<。<180。，

所以ABC选项符合，D选项不符合.

故选：ABC

7.（多选）下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为凡则sin6>0

B.直线的倾斜角夕的取值范围为0«0<乃

C.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为。

【答案】ACD

【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是［0,P）,即。«0,乃），所以sin。20,

当。工、时直线的斜率2=tan0,故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率Z=tan¥=G,此时直线的倾斜角为?，故D错误;

故选：ACD

8.若直线44的倾斜角分别为囚，。2,且则有（）

A.a,-a2=^B.%-囚=9①C.=90"D.四+%=18。°

【答案】C

【详解】根据两条直线垂直，可知"-翅二90。，故选：C

9.已知直线/过点A（l,2）,且不过第四象限，则直线/的斜率k的最大值是（）

A.2B.1C.1D.0

【答案】A

【详解】如图，k0A=2,ki=0,只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故kW[0,2].

故直线/的斜率4的最大值为2.

10.下列命题中，错误的是____.（填序号）

①若直线的倾斜角为。，则。€（。,外：

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为则直线的斜率为tana.

【答案】①②③

【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为"，则ae[。,力，所以

①错误；

对于②中，当倾斜角直线的倾斜角越大，则直线的斜率k越大，且k>0；

当倾斜角直线的倾斜角越大，则直线的斜率k越大，但攵<（）,所以②错误：

对于③中，根据直线斜率的概念，可得当aw2乃）且时,直线的斜率为k=tana,所

以③错误.

故答案为：①②③.

II.直线/的斜率为石，将直线/绕其与X轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是

【答案】

【详解】设直线/的倾斜角为。，ae[0180),

因为直线/的斜率为右，所以tana=6，所以a=60，

所以将直线/绕其与x轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为60+60=120,

所以所得直线的斜率是tan120=-x/3,

故答案为：-6.

12.若过两点40,)，)、8(2退,-3)的直线的倾斜角为60。，则,，=

【答案】-9

【详解】过两点A(0,y)、以2百3)的直线的倾斜角为60。

—3—v

Uiil有一j=——=(an60解之得)，=-9

2舟0

故答案为：一9

3

13.若直线/的倾斜角。的正弦值为则它的斜率为.

3

【答案】±-

【详解】由题设，sin«=3|,而ac[0"),则cosa=±41,

所以小毛，即斜率为4.

故答案为：

14.若三点A(3,l),B(—2,攵)，C(8,l)能构成三角形，则实数火的取值范围为

【答案】(-8,1)U(1,+8)

,k—11~k,1—10八

[详解]k^B——'T=—c-»7=7=0.

—2~3J6—33

要使4,B,C三点能构成三角形，需三点不共线，

]—k

即ZABWA八c,:.~~W(),1.

14

15.已知直线/过第一象限的点(，加，。和(1,5),直线/的倾斜角为135。，求一+一的最小值.

tnn

【答案】|3

5—n

【详解】由题意，可得〃?>0,〃>0,且tanl35°=----=-1,即〃?+〃=6,

1-m

14I,JI4、1(nI(汽I〃4m13

mno\mnJo\mnJbyVmnj2

当且仅当2=%时，即，!=2〃?=4时，等号成立，

mn

所以上1+42的最小值为3

mn2

16.己知直线/经过两点A（2d/）、伏o,_]）,求直线/的倾斜角的取值范围.

【详解】设直线/的斜率为上倾斜角为夕

当〃=0时，我不存在，0=%、

当。工0时,

若。>0时，则上24•]=],n不、

Z句；

若a<0时，则kV-2J（一今（一5）=T,6丘仁岑

兀3乃

综上，丁彳

17.已知直线/的斜率的绝对值为走，求这条直线的倾斜角.

3

【答案】30。或150°

【详解】由题意知直线的斜率％=且或2=一立，

33

且倾斜角的范围为0。<a<180°,

所以直线的倾斜角的大小为30