第1课时 相似三角形中的对应线段之比（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第3章图形的相似

3.4相似三角形的性质

第1课时相似三角形中的对应线段之比

【学习目标】

1.理解并掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质.

2.通过观察、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑推理能力和探究精神.

3.体会从特殊到一般的数学思想方法，感受数学知识的内在联系.

学习重点：相似三角形对应线段比与相似比的关系的探究与应用.

学习难点：综合运用相似三角形的性质与判定解决实际问题.

【复习导入】

思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何元素？

【情境导入】

如图，小王依据图纸上的△ABC,以1:2的比例建造了模型房的房梁△

ABC，，CD和C'D,分别是它们的立柱.如果CD=1.5cm,那么模型房的房梁

立柱有多高?

【合作探究】

探究点：相似三角形中的对应线段之比

［思考・交流］

(I)如图，已知△ABCs^ABC,AABC与△ABC的相似比为3,那么这两个三角

形的两条中线AD,A'D'有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流.

BB'D'C

(2)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多个？对应角平分线的比是多少？对

应中线的比呢？请说明你的理由.

如图，已知AABC~AA'B'C',AD,A'D'分别为对应边BC,B'C'上的高，黑=熟=悬=匕

以AAD.

力7丁-=Kn用no：

A，D，

/A*

44

JDOr•(•|

已知△ABCs△ABC',AlXAD，分别为对应角的角平分线，〃，・・,.一,左求

AnoCCA

、工AD1.

证：—―*

AfDf

A.人L

nv

L----1——D*

HDC

AR取，d

已知△ABCsEC,AD、AD，分别为对应边上的中线，必二合二二三二*求

ABtiCCA

▽BE.

证：----=Ar

B'E，

AA9

H

［归纳总结］

［典例精析］

例1如图，AB||PQ,AB=100,PQ=120.点P,A,C在一条直线上，点Q,B,C也

在一条直线上.若AB与PQ的距离是40,求点C到直线PQ的距离.

练一练

1.BD和B\D\是它们的中线，已知.；，,=：,BiG=4cm,

则BD=cm.

2.△28cs和AiDi是BC和B\C\边上的高，已知23=8cmMiBi=3cm,

则448。与4481cl的对应高之比为.

议一议

如图，已知△ABCs△A7TC,△ABC与△ABC的相似比为k：点、D,E在BC边

上，点D',E'在B'C边上.

114/)

(1)若?N8AC,/BAD/NBAC,则-^；等于多少？

BDECE'D'B'

(2)若BE=3BC,BE=3BC,则;等于多少?

(3)你还能提出哪些问题？与同伴交流.

［典例精析］

所如图，A。是△人8c的高，=点R在AC边上，点S在人8边上，SRLAD,

12

垂足为£当5次=2BC时，求。七的长.如果SR=3BC呢？

当堂反馈

1.已知△ABCs△AgC,看=3AB边.卜.的中线CO=4cm,则43边上的中线CD的

AD3

长为cm.

2.已知△ABCs△ABC,AD是A/WC的中线，A0是△ABC的中线.若当=：,且

AD2

△A5c的高A'E"为20cm,则△ABC的高AE为cm.

3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是3cm和2cm,如果它们对应的两条角平分线

的和为15cm,那么这两条角平分线的长分别是.

4.已知^ABCs△力《凡A8=5CE,OE=2.5cm,BC=8cm,DF=5cm.

(1)求△48。和4DE尸的相似比；

(2)若4G,。”分别为△A8c和△。£尸的高，求AG：D〃；

(3)若4ABC中NC的平分线长为a,求^DEF中//的平分线长.

5.如图，在△A3C中,DE//BC,5H_L3C于点”,交。E于点G己知DE=10：BC

=15,AG=\2,求G”的长.

参考答案

【情境导入】

解：••.△ABC〜AA'B'C',・••乙A=/A',"=L

A，C，2

又/ADC=/A'D'C'=90°.AAACD〜迎(为'。二黑=L

A，C，C，D，2

VCD=1.5cm,/.C,D,=3cm

【合作探究】

探究点：相似三角形中的对应线段之比

［思考・交流］

(1)解：AABC〜△A'B'C',

cc，ABBCc

•••Z.B=zB,——=——=3.

A，B，B，C，

•••AD,A'D'是AABC与AA'B'C'的两条中线,

・•.BC=2BD,B'U=2B'D'.=3.

A，B，B/D/

,,AD

:.AACD〜AAztD.:.而=3.

Q)高：

解：如图，分别作出AABC和AA'B'U的高AD和A'D',则々ADB=/A'D'B'=90。。

•••AABC〜AA'B'C',zB=

AACCAA，r»，~A/D/A，B，

AABD〜AABDo•••=---ko

ADAB

中线：

证明：・••△ABC〜△A'B'C',

ABBC

•••乙A'B'C'=4ABC,

A，B，B，。

又vAD,A'D'分别为对应边的中线,

ABBD

.%BC=2BD,B'C'=2B'D'.

A，B，B，D，

ADAB

・•.AABD〜AAED'.---，

A，D，A，B，

角平分线：

证明：•••△ABC〜AAB'C',

・..々A'B'C'=々ABC,/B'A'C'=々BAC。

又「AD、AD，分别为对应角的角平分线,

•••ZABE=4A'B'E'。

・•.AABE〜AA'B'E'。・•.彩=k。

B，E，

例1

解因为AB||PQ,所以ACAB〜ACPQ.

如图，过点C作CD1PQ,垂足为点D.

设CD交AB的延长线于点E,

因此CE1AB,DE=40.

由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得黑二黑=写了.

*ULU

又AB=100,PQ=120,DE=40,

100CD-40

于是因止匕CD=240.

120CD

即点C到直线PQ的距离是240.

练一练1.62.2:3

［操作•思考］

证明：•••AABC〜△A'B'C',

:.zB=zBAC=NB'A'C'.

•••zBAD=zBAC,NB'A'D'=NB'A'C',

：•ZBAD=NB'A'D'.AABD〜AA'B'D'.

ADAB

二而=加=及

例2

现职VSR1AD,DC1AD,•••SR||BC

zASR=zB»zARS=4C。

.•.AASR〜AABC（两角分别相等的两个三角形相似）

.・.柴=案（相似三角形对应高的比等于相似比）.即怨詈=累.