指数函数【九大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题4.2指数函数【九大题型】

【人教A版（2019）］

＞题型梳理

【题型1指数函数的判定】......................................................................1

【题型2根据函数是指数函数求参数】............................................................2

【题型3求指数函数的解析式或函数值1.........................................................................................................2

【题型4比较指数基的大小】....................................................................3

【题型5解指数不等式】........................................................................4

【题型6指数函数图象的识别与应用】............................................................5

【题型7指数（型）函数的单调性问题】.........................................................6

【题型8指数型复合函数的应用】...............................................................7

【题型9指数函数的实际应用】.................................................................8

A举一反三

【知识点1指数函数的概念】

i.指数函数的定义

⑴一般地，函数产］、（〃＞（）,且存1）叫做指数函数，其中指数X是自变量，定义域是R.

（2）指数函数产o'3＞0.且存1）解析式的结构特征：

①.，的系数为1;

②底数〃是大于0且不等于I的常数.

【题型1指数函数的判定】

【例1】（24-25高一上•全国•随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（）

A.y=（-4尸B.y=-4XC.y=3X-1D.y=（J

【变式1-1］（23-24高一上.吉林延边.阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（）

A.y=X3R.y=C.y=-D.y=（IT-3）x

【变式1-2］（23-24高一上.江西新余.期中）下列函数是指数函数的是（）

A.y=x4B.y=（-2尸C.y=3X_1D.y=（》“

【变式1-3］（2024高一•江苏•专题练习）给出下列函数：①y二—3'②y=3"+】；③y=3"；@y=x-3；

⑤y=（—2尸.其中，指数函数的个数是（）

A.0B.1C.2D.4

【题型2根据函数是指数函数求参数】

[例2](23-24高一上•天津河西・期末)若函数/(幻=(2小_3a+2)•标是指数函数，则a的值为()

A.2B.1C.1或：D.1

【变式2-1](23-24高一上.青海西宁•期中)函数、=92-4。+4)°'是指数函数，则有()

A.a=1或a=3B.a=1

C.Q=3D.a>。且Q工1

【变式2-2](24-25高一上•全国裸堂例题)若函数y二(2。一1尸6是自变量)是指数函数，贝b的取值范

围是()

A.(0,1)U(l,+oo)B.[0,1)U(1,+co)

C.&l)u(l,+8)D.g,+8)

【变式2-3](23-24高一上•广东湛江•阶段练习)如果函数/(%)=2a-3、和g(x)=2乂-(匕+3)都是指数函数，

贝腔=()

A.-B.1C.9D.8

8

【题型3求指数函数的解析式或函数值】

【例3】(23・24高一上•陕西西安•阶段练习)若指数函数/"(%)的图象过点(3,8),则/(%)的解析式为()

A./(x)=xB.f(x)=x5C./(x)=2XD.f(%)=G)

【变式3-1](23-24高二上•内蒙古呼伦贝尔・期末)已知指数函数f(%)=ar(a>0且aWl)J(l)=j则

/(-I)=()

A.3B.2C.1D.；

32

【变式3-2X23-24高二上・安徽•期中)已知函数/(%)=ax(a>O.aH1)的图象过点P(2,9),=()

A.3B.-3C.-D.--

33

【变式3・3】(24-25高一上•全国课后作业)若指数函数/(%)的图象过点(4,81),则/(%)的解析式为()

A.f(x)—x3B./(x)=3X

C./(%)=G)D./(x)=X3

【知识点2指数函数的图象与性质】

1.指数函数的图象与性质

0<a<\a>\

y

J/Ll

/°,nv=l

图象「

O-o|ix

定义域R

值域(0,+2

过定点图象过定点(0,1),即当户0时，y=\

在,、上是减函数在,、上是增函数

(-8,+8)

性单调性

质

函数值的当x<0时，y>\当x<0时，0<><1

变化范围当A=0时，产1当x=0时，尸1

当Q0时，0<)<1当x>0时，y>\

2.底数对指数函数图象的影响

指数函数产a'S>0,且的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是还是在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.

•(特别地,，，“=I时，a>b>c>d).

(2)左右比较：在直线产1的上面，时，〃越大，图象越靠近)，轴；0<〃<1时，。越小，图象越靠近

y轴.

(3)上下比较：比较图象与直线％=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.

3.比较指数基的大小的方法

比较指数豪的大小的方法(分三种情况)：

(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断：

(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；

(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.

4.指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解.

【题型4比较指数零的大小】

【例4】(24-25高三上•贵州黔东南•开学考试)已知Q=30-2,b=2-a,c=l-a,()

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【变式4-1](2025•四川内江•模拟预测)设a=0.1eO2,b=V，c=0.2e。，，则下列选项正确的是()

A.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

【变式4-2](23-24高二下.北京朝阳.期末)己知a,b€R,且a>b,则下列不等式一定成立的是()

A.B.0>(：)C.a3>b3D.ac2>be2

【变式4-3)(2024高二下•浙江绍兴•学业考试)已知定义域为R的函数f(x)=(三):若对任意M<0,x2>0,

均有/'(/)>/(小)恒成立，则下列情形可能成立的是()

A.n>m>0B.n>0>mC.0<n<mD.m<n<0

【题型5解指数不等式】

【例5】(23-24高一上•江西新余•期中)已知指数函数/•3)=谟9：>0且。工1),经过点(2,4〕.

⑴求/(%)的解析式及/•(-5)的值；

⑵若/(2无一5)</(-3幻，求x的取值范围.

【变式5-1](23-24高一下•广东茂名•期中)已知指数函数/(%)=3。

(1)求/(2)的值；

(2)若/'(a)=1,求a的值;

(3)若/(%-1)>/(-%),求x的取值范围.

【变式5・2】(23-24高一上•湖南衡阳・期末)已知指数函数/(%)=砂(a>1)在区间口,2]上的最大值比最

小值大2,

(1)求实数。的值.

2

（2）am-3m>16,求m的取值范围

【变式5-3]（23-24高一上上海阶段练习）已知函数/X”）=a"T的图像经过（21）,其中a>0且aK1

（1）求实数a的值

2

（2）若Q.+2X+1>a2x-3x+lf求实数％的取值范围

【题型6指数函数图象的识别与应用】

[例6]（2024高二•湖北•学业考试）设Q,b,c,d都是不等于1的正数，函数y=a",y=bx,y=cx,y=dx

在同一直角坐标系中的图象如图所示，则a,b,c,d的大小关系是（）

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.c<d<a<bD.d<c<b<a

【变式6-1]（24-25高一上•上海,随堂练习）在下图中，二次函数>=。/+以+c与指数函数y=的

【变式6-2]（23-24高一上•江苏盐城•阶段练习）若实数与，x2,工3满足9•『=4•3%=5,则下列不等

关系不可能成立的是（）

A.<x2<x3B.x2<x3<

C.xx<x3<x2D.x3<%!<x2

【题型7指数（型）函数的单调性问题】

[例7]（23-24高二下•天津河东•期末）设函数/（%）=e'（"a）在区间（0,1）单调递减，则a的取值范围是（）

A.（-（»,-2]B.[-2,0）C,（0,2]D.[2,4-oo）

【变式7-1]（23-24高一上.贵州安顺.期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（）

11Zj\X

A.y=B.y=x2C.y=D.y=（§）

III

【变式7-2]（24-25高三上•广东,阶段练习）若函数f（x）=函布在区间（2,+8）上单调递增，则实数m的取

值范围为（）

A.[—2,0）B.（—8,-2]C.（—8,0）D.[2,+8）

Y-I-——1Y>4

【变式7-3]（2024•福建泉州•模拟预测）若函数/（幻二『十、'一'在R上单调递增，则实数a的取值

ax~3,x<4

范围是（）

A.(0,1)B.(1,4]C.(1,8]D.(1,16]

【题型8指数型复合函数的应用】

【例8】(23・24高一上•四川乐山•期中)已知函数/(%)=4%+。・2汽

(1)若a=-5,求不等式/(%)<一4的解集；

(2)若工£[-2,2]时，f(x)的最小值为一1,求a的值.

【变式8-1](23-24高二下.宁夏识川.期末)已知函数/(%)=嘿三伯>0//1)是定义在102的奇函数.

C1&U

⑴求/'(无)的解析式并用定义证明/(%)的单调性；

(2)3xG[2,3]使得t-/(x)>2X-2成立,求实数£的取值范围.

【变式8-2](23-24高二下•黑龙江・期末)已知函数f(x+2)=16x2x+2r.

⑴求“力的解析式；

(2)判断/(%)的奇偶性，并说明理由；

(3)设函数g(%)=/(x)-23-x,若g(%4)+g(a-2x2)>0,求a的取值范围.

【变式8-3](23-24高一下.云南期末)已知函数/(%)=谟-3a>0,且QH1).

(1)判断函数f(%)的奇偶性;

(2)若/l(1)>0,试判断函数/(%)的单调性.并求使不等式/(k-3、)+f(4•3、一尹一1)V0在R上恒成立的/c

的取值范围：

(3)若/'(1)==a2x4-a~2x-2m/(x),且g(x)在［1,+8)上的最小值为-2,求m的值.

【题型9指数函数的实际应用】

【例9】（23-24高二下•内蒙古兴安盟•期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程

中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长/（单位：h）的关系为N=（M）为最初污染物浓度）.如

果前2h消除/20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（）

A.3hB.4hC.5hD