贵州省铜仁市碧江区九年级2025年初中学业水平模拟考试数学试卷（解析版）

贵州省铜仁市碧江区九年级2025年初中学业水平模拟考试数学试卷

一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答

题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）

1.下列各数是-2025的绝对值的是（）

A.壶B.一壶C.2025D.-2025

【答案】C

【解析】【解答】解：-2025的绝对值的是2025,

故选：C.

【分析】根据绝对值定义即可求出答案.

2.如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（

主视图左视图俯视图

A.球B.圆柱C.圆锥D.长方体

【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意，得这是圆柱的三视图,

故选：B.

【分析】根据简单结合体的三视图即可求出答案.

3.2025年3月下旬，贵州百里杜鹃景区盛大开园.贵州百里杜鹃风景名胜区是全球最大的原始杜鹃林带,

据生态普查，景区内共41个杜鹃花品种，涵盖世界杜鹃5个亚属的全部种类，被誉为“高原上的天然大花

园已知核心景区内约有杜鹃花1800000株,数据1800000用科学记数法表示为1.8X103则n的值为

()

A.5B.6C.7D.-6

【答案】B

【解析】【解答】解：1800000=1.8x106,

则n的值为6

故选B.

【分析】科学记数法的表现形式为oxi。'的形式，其中lW|a|<10,n为整数，确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n

是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.

4.如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用（40,30。）表示，目标E用（30,240。）表示，那么（40,120。）表示

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的是（)

240°270。300°

A.目标BB.目标CC.目标DD.目标F

【答案】B

【解析】【解答】解：•・•目标A用（40,30。）表示，目标E用（30,240。）表示,

・•・（40,120。）表示的是目标C,

故选：B.

【分析】根据有序数对表示位置，结合题意即可求出答案.

5.贵州是全国唯一一个没有平原的省份，青山绿水造就了风景如画的壮丽风景.小敏家计划今年暑假来贵

州游玩，在网上搜索了贵州5座名LJ,为了更清楚地展示它们的海拔高度（如表），下列的统计图中，最合

适的是（）

山名梵净山韭菜坪雷公山黔灵山丹霞山

海拔（m）25722901217913961896

A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.以上都可以

【答案】A

【解析】【解答】解：根据条形统计图能清楚地表示每一个项目的具体数目，

所以，为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是条形统计图，

故选：A.

【分析】根据各统计图的意义即可求出答案.

6.如图，如果△48C绕点C逆时针旋转后能与△4B工，重合，那么旋转角的度数为（）

【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意，得乙4cB=60。,

第2页

根据旋转角的定义，得/ACA=/-ACB+乙8cA=90°,

故选：C.

【分析】根据题意，根据直角三角形两锐角互余可得NACB,再根据角之间的关系即可求出答案.

7.下列计算正确的是（）

A.V4+V2=V6B.2V3+x^3=2V6C.述+2=VSD.V2xV6=25/3

【答案】D

【解析】【解答】解：A、〃+或¥通，故选项错误，不符合题意；

B、2通+b=3次，故选项错误，不符合题意；

C、通+2=半，故选项错误，不符合题意；

D、V2xV6=2V3,故选项正确，符合题意.

故选：D.

【分析】根据二次根式四则运算逐项进行判断即可求出答案.

8.木二是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释.如画角平分

线：如图，在已知的乙408的两边分别取OM=ON,将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P）,将绳子

两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则。尸平分匕AOB.原理是构造

全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出/A0P=/80P.这里三角形全等的判定方法是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意，得0M=0N,PM=PN,

（OM=ON

PM=PN,

（尸。=尸。

/.△PMO=△PNO（SSS）,

J./-AOP=乙BOP,

故选：A.

【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.

9.若Q>8,则在下列式子中，正确的是（）

A.2QV2bB.-3（z>—3bC.Q—2<b—2D.1—aV1-b

【答案】D

【解析】【解答】解：A.*：a>bt：.2a>2bfA错误:

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B、Va>b,：.-3a<-3b,B错误;

C、Va>b,Aa-2>b-2,C错误;

D、•：a>b,'.-a<—h,

・・・1-Q<1-b,D正确;

故答案为：D.

【分析】根据不等式的性质：不等式两边同乘以或除以正数，不等号方向不变可判断A；根据不等式两边同

乘以或除以负数，方向改变可判断B；根据不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断C；根据不等

式两边同乘以或除以负数，方向改变和不等式两边向加减相向数，不等号方向不变可判断D..

10.如图，在A/WC中，分别以点B、C为圆心，大于劣BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N.作直线

则乙40B的度数为()

D.62°

【答案】C

【解析】【解答】解：根据基本作图，得到=CD,故4OBC="=28。,

根据三角形外角性质得〃。8=乙DBC+a=56°,

故选：C.

【分析】根据基本作图，得到80=CD,根据等边对等角可得乙D8C=NC=28。,再根据三角形外角性质即

可求出答案.

H.如图，在反比例函数y=2(%>0)的图象上任取一点A,过点A作4811%轴交反比例函数y=—9(%V

XX

连接AC、BC，则aABC的面积为()

C.7D.8

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，设与y轴交于点D,连接04。氏

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*：AB||x轴,

•'•SAABC=SgBO=SRADO+S&BDO,

•・•点A在y=2(%>0)上，点B在了=一9(%〈0)上,

XX

11

•・SA4£0=2x2=1,S4HD0=2x-6|=3,

•一沙比=SAABO=S^ADO+SABOO=4；

故选：A.

【分析】设48与y轴交于点D,连接04。8,根据反比例函数k的几何意义可得又独。=：x2=1,S“。。=

ix|—6|=3，再根据SMBC=SfBO=^^ADO十SABDO即可求出答案.

12.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这

样的规律下去，第6幅图中正方形的个数为()

□ffiH

第1幅第2幅第3幅

A.140B.91C.76D.55

【答案】B

【解析】【解答】解：第1幅图中有xlx(l+1)(2x1+1)=1个正方形,

第2幅图中有Nx2x(2+1)(2x2+1)=5个正方形，

第3幅图中有卷x3x(3+1)(2x3+1)=14个正方形,

第4幅图中有:x4x(4+1)(2x4+1)=30个正方形,

以此类推可得，第n幅图有焉几("+l)(2n+1)个正方形，

・••第6幅图中正方形的个数为彳x6(6+1)(2x6+1)=91个正方形,

故选；B.

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【分析】根据前4个图形中正方形的个数，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.

二、填空题(本大题4个小题，每小题4分，共16分)

13.因式分解2x2-4x的结果是.

【答案】2x(x-2)

【解析】【解答】解：原式=2x(x-2),

故答案为：2x(x-2).

【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.

14.2025年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邨票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名

地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕.为了测得如图邮票上蛇形图案的

面积，李华同学利用电脑模拟投针试验(在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的

每一点都是等可能的)经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.3左右，若一张

邮票的面积是6cm2,则邮票上蛇形图案的面积约为.

飞

CHINA中国邮被

【答案】1.8cm2

【解析】【解答】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为0.3,

所以邮票上蛇形图案的面积约为6x0.3=1.8(刖2),

故答案为：L8cm2.

【分析】根据频率估计概率即可求出答案.

15.已知抛物线y=Q/+bx+C(QH0)的图象如图所示，有下列结论：

@abc>0；

②二次函数图象的对称轴是直线x=-1；

③当XV-1时，y随x的增大而减小；

④方程a/+力工+c=0的解为必=-3,x2=1.

第6页

【答案】①②④

【解析】【解答】解：根据函数的图象可得：

抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于（一3,0）与（1,0）两点，

Aa<0,c>0,二次函数图象的对称轴是直线x=二罗=一1，方程a/+bx+c=o的解为打二一3,

制=1，结论②④正确；

，一点=一1，当无<一1时，y随x的增大而增大，结论③错误；

/./?=2a<0,

abc>0,结论①正确；

故答案为：①②④.

【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.

16.如图，在边长为4的正方形A8C0中E是对角线8。上一动点，连接CE,将正方形沿CE所在直线折叠,

点D的对应点为万（不与正方形ABCO的顶点重合），连接D'E，当O'E平行于△BCD的边时，DE的长

【答案】4a-4或4

【解析】【解答】解：根据题意，得

当D'EIIBC时，延长O,E交。。于点M，

•・•边长为4的正方形A8CD,

：.AB=BC=CD=4,"BC=乙BDC=45°,^DCB=90°,

J.LDEM=乙DBC=乙BDC=45。,NOME=乙DCB=90°,

：.DM=EM,

设DM=EM=x,

：.DE=Vx24-x2=岳,CM=CD-DM=4-x,

・・,正方形沿CE所在直线折叠，

:・DE=D'E=>Jx2+x2=或％，DC=D'C=4,

'­DC2=DM2+CM2f

•4*42=(V2x+x)2-t-(4-x)2»

解得：x=4—20,

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・・・。£=岳=4或一4;

当D,EII0C时，

•・•边长为4的正方形48CD,

：.AB=BC=CD=4,Z.DBC=乙BDC=45。,4DCB=90°,

・・•正方形沿CE所在直线折叠，

J./-BED'=乙DBC=Z-BDC=力=45°,ED'=ED,

.:乙BED'+乙DED'=180°,

+=180°,

：.DE||D'C,

・•・四边形DEO'C是菱形，

：・DE=DC=4；

故答案为：4企-4或4.

【分析】根据题意，分。ZIIyc和〃ZII0（；两种情况，当。ZlINC，设。M=EM=x,根据折管的性质以及

勾股定理得到42=（鱼X+X）2+（4-X）2,求解即可；当D,EIIDC时，利用正方形的性质以及折叠的性质，

可得四边形。E0（是菱形，即可求解.

三、解答题（本大题9个小题，共98分,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出

必要的图形）

17.（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算"③''满足aG）b=2Q-3b,求（一3）区）2的值；

（2）从下列二个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程.

@x2—4=0；②3/+6x=0；③X2—5工+6=0.

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［答案］(1)解：(-3)02=2x(-3)-3x2=-6-6=-12.

(2)辉：选①一一4一0

(x+2)(x-2)=0

解得%1=2,x2=-2.

选②3合+6%=0,

3x(%4-2)=0,

3%=0或％+2=0,

解得=0,x2=-2.

选③，—5%4-6=0,

(x-2)(%-3)=0,

%-2=0或x-3=0,

解得=2,x2=3.

【解析】【分析】(1)根据新定义列式计算，结合有理数的混合运算即可求出答案.

(2)根据因式分解法解方程即可求出答案.

18.如图，菱形的对角线AC、8。相交于点O,BEIIAC,CEIIDB.

(1)判断四边形。8EC的形状，并说明理由；

(2)若80=8,AC=4,求四边形OBEC的周长.

【答案】(1)解：四边形OBEC是矩形，理由如下：

证明：；BE||AC,CE||DB,

・•・四边形OBEC是平行四边形.

•・•四边形ABCO是菱形，

AC1BD,则480C=90°.

・•・四边形08EC是矩形；

(2)解•・•四边形4BC0是菱形，

...AO=CO=^AC=2.BO=DO=*BD=4.

:四边形。/?万。是矩形.

：.OB=EC,BE=OC,

第9页

・•・四边形08EC的周长为4+4+2+2=12.

【解析】【分析】(1)根据平行四边形判定定理可得四边形03EC足平•行四边形，根据菱形性质可得AC•£

BD,则48。。=90。，再根据矩形判定定理即可求出答案.

(2)根据菱形性质可得力0=C。=劣4。=2,BO=DO=^BD=4,根据矩形性质可得。8=EC,BE=

乙乙

。。，再根据四边形周长即可求出答案.

(1)解：四边形OBEC是矩形，理由如下：

证明：；BE||AC,CEIIDB,

・•・四边形。8"是平行四边形.

•・•四边形A8CD是菱形，

.-.AC1BD,则48。。=90。.

・•・四边形OBEC是矩形；

(2)解•・•四边形ABCO是菱形，

AO=C0=\AC=2.BO=DOyBD=4.

•・•四边形。BEC是矩形，

：.0B=EC,BE=OC,

・•・四边形08EC的周长为4+4+2+2=12.

19.在初二物理的学习中，我们知道压强p(Pa),压力F(N),受力面积S(m2)满足公式p=(.

(1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是［填序号)；

(2)已知一块比较薄的冰面最多承受lOOOOPa的压强，小明的重量为600N.

①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共0.03巾2,他能否安全地站在这块冰面上？

②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条

件？

【答案】(1)①

(2)解：①把F=600N,S=0.03血2代入p=(，

得，2=黑=20000(%)，

V20000>10000,

・•・小明不能安全地站在这块冰面上；

第10页

②把p=10000N,尸=600N代入p=（得，10000=苧，

解得S=0.06m2,

・•・这块薄木板的面积至少0.06m2.

【解析】【解答】（1）解：当F为定值时，p是S的反比例函数，故①正确；

故答案为：①

【分析】（1）根据反比例函数的定义即可求出答案.

（2）将F=600N,S=0.03m2代入解析式可得p,再比较大小即可求出答案.

②将p=10000/V,F=600N代入解析式即可求出答案.

（1）解：当尸为定值时，p是S的反比例函数，故①正确；

（2）解：把F=600N,S=0.03^2代入p=（，

得，口=摧=20000（。。），

V20000>10000,

，小明不能安全地站在这块冰面上；

②把p=10000N,5=600N代入p=（得，10000=苧，

解得S=0.06m2,

・••这块薄木板的面积至少0.0662.

20.为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、人年级学生进行防溺水知识竞赛（满

分100分）.现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）

进行统计、整理如下：

七年级：86,90,79,84,74,93,76,81,90,87.

八年级：85,76,90,81,84,92,81,84,83,84.

七、八年级测试成绩频数统计表

70<x<8080<%<9090<%<100

七年级343

八年级17a

七、八年级测试成绩分析统计表

平均数中位数众数方差

七年级84b9036.4

八年级8484C18.4

根据以上信息，解答下列问题:

第11页

（Da=,b=,c=；

（2）如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识

竞赛中成绩优秀的学生人数；

（3）你认为哪个年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由.

【答案】（1）2,85,84

（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为东

204

八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为4

••・七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数G+初x1200=^x1200=480,

（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，

故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好.

【解析】【解答】（I）解：•••八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有8名学生的成绩低于90分,

/.a=10—7—1=2,

根据众数的定义可知c=84,

把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为74,76,79,81,84,86,87,90,90,93,

根据中位数的定义得：b=毁毁=85，

故答案为：2,85,84；

【分析】（1）根据总人数减去其他范围人数可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.

（2）根据12（）0乘以对应人数的占比即可求出答案.

（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.

（1）解：•••八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有8名学生的成绩低于90分，

a=10—7—1=2,

根据众数的定义可知c=84,

把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为74,76,79,81,84,86,87,90,90,93,

根据中位数的定义得：h=§l+86=85

故答案为:2,85,84；

（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为六二/

八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为嘉

乙U

二七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数G+给x1200=益x1200=480,

（3）解：由十七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小十七年级测试成绩的方差,

故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好.

第12页

21.一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一

个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为F(n).例如：71=135时，"135)=1+3+5=9.

Q)对于“相异数"n,若FQ)=8,请你写出一个n的值；

(2)若a、b都是“相异数”，其中Q=100x+12,b=350+y(1<x<9,1<y<9,x、y都是正整

数)，规定：上=瑞，当"a)+FS)=18时，求k的最小值.

【答案】(1)解：•・•“相异数”n,且广(几)二8,

・•・这个三位数可以是125或152等答案不唯一，

・・・1、2、5或者1、3、4组合的三位数即可

故这个数为125.

(2)解：由a、b都是“相异数”，且Q=100%+12,b=350+y,

故F(a)=x+14-2=x4-3,F(b)=3+5+y=y+8,

由F(a)+F(b)=18,

x+3+8+y=18.

•••x+y=7.

v1<r<9,1<y<9,

(x=

=6l_或p(x=25或T(［xy=34或T(x=43或.J。x=52_或p(x=61

•••Q是“相异数”，

XHl,xH2.

vb是“相异数”，

二yH3,yH5.

(x=3T(x=5_LX(X=6

7y=4或|y=2或

.|F(a)=6或［9(a)=8或p(a)=9

••(F(b)=12-义［F(b)=1023)=9

故k的最小值为最

【解析】【分析】(1)根据"相异数''的定义即可求出答案.

(2)根据“相异数”的定义可得F(a)=x+3,F(b)=y+8,根据题意可得x+3+8+y=18,则x+y=

7,求出整数解，即可求出答案.

(1)解：,・•“相异数”n,且尸(n)=8,

・•・这个三位数可以是125或152等答案不唯一，

・・・1、2、5或者I、3、4组合的三位数即可

第13页

故这个数为125.

(2)解：由a、b都足“相异数”，且a=100%+12,b=350+y,

故F(a)=x+l+2=x+3,F(b)=3+5+y=y+8,

由尸(a)+尸(瓦)=18,

•,.x+3+8+y=18.

x+y=7.

•­•1<r<9,1<y<9,

•••a是"相异数”，

•*,XHi,XH2.

•••b是“相异数”，

•••yH3,yH5.

(x=3T(x=5_xx(x=6

猿=4或=2或|y=V

•f「(a)=6或jF(a)=8或［尸⑷=9

"lF(b)=12^lF(b)=10^lF(b)=9

61849

或

b或

-=-a-=---

29

12105

故A的最小值为

22.这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志

性建筑（如图1）.站在高楼下，能被感受到“飞流直下三千尺''的壮阔，阳光照射时，还可以看见美丽的彩

虹，极具观赏性.如图2,小敏来到瀑布的顶端A处，测得对面高楼楼顶仰角zC4E=20。，楼底俯角

ADAE=68°,已知对面高楼楼高CD=125米（参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan20°«0.36,

sin68°x0.93,cos68°x0.37,tan68°«2.48）

图1图2

（1）站在对面高楼CO楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数为

（2）求瀑布48的高度.（精确到米）

【答案】（1）68°

（2）解：由题意可知：八4。?和八4DE都是直角二角形，

在中，Z-CAE=20°,£cm20°=浣，

第14页

ACE=AE-tan20°.

同理可得：DE=AE-tan68°.

由题意，得CE+DE=CD=125.W/1F-tan68°+AE-tan20°=125,解得4E、44.

:.AB=ED=AE•tan680=44•tan68°a44x2.48«109.

答：瀑布的高度约为109米.

【解析】【解答】(1)解：•・•在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，艰据两直线平

行，内错角相等的性质，

已知俯角乙DAE=68°,

・•・站在对面高楼CO楼底，看瀑布顶端的仰角度数为68。.

故答案为：68。

【分析】(1)根据直线平行性质即可求出答案.

(2)由题意可知△力CE和△4DE是直角三角形，解直角三角形可得CE,DE,根据边之间的关系建立方程，解

方程可得AE,再解方程即可求出答案.

(1)解：•・•在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等

的性质，已知俯角乙ZME=68°,

・•・站在对面高楼CO楼底，看瀑布顶端的仰角度数为68。.

(2)解：由题意可知：△4CE和△4DE都是直角三角形，

在RtZkACE中,Z.CAE=20°,tan20°=

CE=AE-tan20°.

同理可得:DE=AEtan68°.

由题意，得CE+OE=CO=125.-tan68°+AE-tan20°=125,解得AE右44.

/.AB=ED=AE•tan68°=44-tan68°«44x2.48«109.

答：瀑布48的高度约为109米.

23.如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦MN=24cm,点P是MN的中点，过点P

作PQ_MN,交MN所对的MN于点Q,PQ=8cm,台灯支架NC与底座4B垂直，NC=45cm,底座放在

水平面上.(参考数据：s出23。=与)

第15页

(1)写出图1中与PM相等的线段：:

(2)如图1,当MN||A。时，求MN所在圆的半径；

(3)若将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到MN所在的圆与NC相切，如图2,求点M经过的路径的

长.

【答案】(1)PN

(2)解：设时N所在圆的圆心为点0,连接0M、0P,如答图1所示.

b

ACB

答图1

•・•点P是MN的中点，

OP1MN,MP=NP=12cm.

VPQ1MN.

・・・O、P、Q三点共线.

设时N所在圆的半径为r.

OP=r-8.

在aOMP中，

OP2+MP2=OM2,

(i-8)2+122=r2.

解得r=13.

・・・M7V所在圆的半径为13cm.

(3)解：点O'即为此时MN所在圆的圆心的位置，如答图2所示.

答图2

根据MN所在的圆与NC相切,

故O'N=13,

乙PNO'=23°.

第16页

又MN=24cm,

・••点M经过的路径的长为嗡泮=梨cm.

loULb

答：点M经过的路径的长为架cm.

XKJ

【解析】【解答】(1)解：..•点P是MN的中点，

：.PN=PM,

故答案为：PN.

【分析】(1)根据线段中点即可求出答案.

(2)设MN所在圆的圆心为点O,连接OM、0P,根据垂径定理可得OP1MN,MP=NP=12cm,则O、

P、Q三点共线，设附M所在圆的半径为r,则。P=r-8,再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

(3)点0,即为此时MN所在圆的圆心的位置，根据切线性质可得O‘N=13,解直角三角形可得4PNO'=

23。，再根据弧长公式即可求出答案.

(1)解：•・•点P是MN的中点，

：.PN=PM,

故答案为：PN.

(2)解：设MN所在圆的圆心为点O,连接OM、0P,如答图1所示.

答图1

•・•点P是MN的中点，

/.OP1MN,MP=NP=12cm.

vPQ1MN,

•・・0、P、Q三点共线.

设MTV所在圆的半径为r.

:.OP=r-8.

在RtaOMP中，

OP2+MP2=OM2,

(r-8)2+122=r2.

解得r=13.

・・.MN所在圆的半径为13cm.

(3)解：点0,即为此时MN所在圆的圆心的位置.，如答图2所示.

第17页

答图2

根据MV所在的圆与NC相切，

故O'N=13，

.es，PO'13-85

sinz.PNO=­7—=1Q=飞，

0N15

UNO'=23°.

又MN=24cm,

・••点M经过的路径的长为空群=架cm.

loU13

答：点M经过的路径的长为梨cm.

XJ

24.“骑车戴头盔，放心平安归”.越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安

全.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，旦从四月份到六月份月增

长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1

元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品

牌每个头盔应涨价多少元？

（3）该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为工,

由题意得350（1+。）2=504,

解得勺=0.2=20%,x2=-2.2（不符合题意，舍去）.

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）解：设该品牌头盔每个应涨价m元.

由题意，^（10+m）（500-20m）=6000,

整理得租2—15m+50=0,

解得mi=5,m2=10.

•••要尽可能让顾客得到实惠，

n?=S.

答：该品牌的每个头盔应涨价5元;

第18页

(3)解：设该品牌头盔每个涨价c元，利润为w元.

由题意得

2

w=(10+t)(500-20t)=-20t+300t+5000=-20(£-芋[+6125，

v-20<0,

・••当”字=7.5时，月销售利润最大，最大值为6125.

答：该品牌头盔每个涨价7.5元时，月销售利润最大，最大利润是6125元.

【解析】【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为",根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

(2)设该品牌头盔每个应涨价m元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

(3)设该品牌头盔每个涨价t元，利润为w元，根据总利润二单件利润x总销售量建立函数关系式，结合二次

函数性质即可求出答案.

(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x,

由题意得350(1+无)2=504,

解得X]=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)解：设该品牌头盔每个应涨价m元.

由题意，得(10+m)(500-20m)=6000,

整理得巾2-15m+50=0,

解得mi=5,m2=10.

•・•要尽可能让顾客得到实惠，

m=5.

答：该品牌的每个头盔应涨价5元；

(3)解：设该品牌头盔每个涨价C元，利润为w元.

由题意得w=(10+t)(500-20。=-20t2+300t+5000=-20(t-苧1+6125，

,:—20V0,

•・・当”苧=7.5时，月销售利润最大，最大值为6125.

答：该品牌头盔每个涨价7.5元时，月销售利润最大，最大利润是6125元.

25.如图，在中，乙4c8=90。，AB=2炳,4c=2,点E是BC边上一点(且点E不与点B、C重

合)，连接AE.过点C作C0JL4E,交边48于点D,交线段4E于点F.

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A

D

EV

CEB

(1)求BC的长；

(2)当△。4尸〜△ABC时，求4。的长；

(3)连接DE,当四边形4CE0为轴对称图形时，直接写出80的长.

【答案】(1)解：在RtZkABC中，4AC8=90。，AB=2次,AC=2,

...BC=>JAB2-AC2=J(2V5)2-22=4-

(2)解：；^ACB=90°,

当