2026沪科版九年级数学上册第22章《相似形》教案

第22章相似形

22.1比例线段

第1课时相似多边形

【教学目标】

1.了解相似图形和相似比的概念；

2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）

3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

观察以下三组图形：

Oo乜际

41）（21而

每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：相似图形

随1如下图所示的四组图形，相似的有（）

(1)(2)(3)(4)

A.1组B.2组C.3组D.4组

解析：由相似图形的概念可知，只有⑴⑶⑷形状相同.①形状相同是指一模一样，没有一

点不同之处，（2）中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，

即使位置不同，也应看成是相似图形，如（4）组就是这样.故选C.

易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义”形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似

的一种情形.

探究点二：相似多边形与相似比

【类型一】相似多边形

就3下列图形都相似吗？为什么？

（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰梯形；（6）

所有等腰三角形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.

解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°,所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都

相等，所以对应边长度的比相等；

（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°,对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等,

如图①；

图①图⑨

（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对

应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；

（4）相似，因为每个等边二角形的二条边都相等，所以两个等边二角形的对应边长度的比相等,

并且对应角都等于60°；

（5）不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等；

1

口

图③图④

⑹不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等；

（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相等，而且每

一个三角形的三边的比都是1：1：^2,所以对应边长度的比相等；

（8）相似，因为正五边形的各角都等于108。，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等,

所以对应边长度的比相等.

方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须

同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等.

【类型二】相似比

（SB已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EI'GH和四边

形ABCD的相似比.

解：•・•四边形ABCD与四边形EFGH相似，且NA=NE=80",ZB=ZF=75°,

AAB与EF是对应边.

,.EF_6_3

・疝=京=『

3

・・・四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为彳.

方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应

边和对应角的方法.

【板书设计】

「相似图形：形状相同的两个图形

〃相似多边形：各角分别相等、各边成

相比例的两个多边形

似相似比：相似多边形对应边长度的比

图相似多边形《性质：相似多边形的对应角相等，

形对应边长度的比相等

判定：各角分别相等，对应边长度的

、比相等，二者缺一不可

第2课时比例线段

【教学目标】

1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）

2.理解成比例线段的概念；（重点）

3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

清观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

2

OoQQ••

这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段

的长度不同.

二、合作探究

探究点一：线段的比

【类型一】根据线段的比求长度

砸1如图所示，已知M为线段AB上一点，AM：MB=3：5,且AB=16cm,求线段AM、BM的长

度.

解：线段AM与MB的比反映了这两条线段在全线段AB中所占的份数，由AM：MB=3：5可知

35

AM=-AB,MB=-AB.

oo

35

VAB=16cm,.-.AM=-X16=6(cm),MB="X16=10(cm).

方法总结：本题也可设AM=3k,MB=5k,利用3k+5k=16求解更简便，这也是解这类题常用

的方法.

【类型二】比例尺

例3在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的实际

距离是________m.

解析：根据“比例尺=黠器”可求解.设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1：50000

=3:x,解得x=150000cm=1500m.

方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.

探究点二：成比例线段

【类型一】判断线段成比例

晒下列四组线段中，是成比例线段的是()

A.3cm,4cm,5cm,6cm

B.4cm,8cm,3cm,5cm

C.5cm,15cm,2cm,6cm

D.8cm,4cm,1cm,3cm

解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线

段成比例.四个选项中，只有C项排列后有4=白.故选C.

方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：

(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作

出判断；

⑵把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的根与中间两个数的积，看是否相等作

出判断

【类型二】由线段成比例求线段的长

3

@n已知三条线段的长分别为1cm,/cm,2cm,请你再给出一条线段，使得它的长与前面三

条线段的长能够组成一个比例式.

解：因为本题中没有明确告知是求1,镜，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前

三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论•设要求的线段长

为x,若x：1：2,则x=；若1：x=*\j2：2,则x=yj2；若1：*\j2=x：2,则x=yf2；

若1:也=2：x,则x=2由.

所以所添加的数有三种可能，可以是乎，筐，或2啦.

方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为

其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.

【板书设计】

’线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段

AB,CD的长度分别是m,n,那么这两

条线段的比就是它们长度的比，

比即AB：CD=m:n或写成饕=工

例CDn

线成比例线段：四条线段a,b,c,d,如果a与b的比

段等于c与d的比，即三=4，那么这

bd

四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,

<简称比例线段

第3课时比例的性质与黄金分割

【教学目标】

1.掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；（重点）

2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；（难点）

3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.

蔗融水糖水

若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖。千克的糖水/千克……它

们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为:

b十d十…十nb

二、合作探究

探究点一：比例的性质

【类型一】比例的基本性质

4

-iAa+3b7^a,...

砸1已知f—=5，求厂的值.

乙D乙D

解：解法一：由比例的基本性质，得2(a+3b)=7X2b.・・.a=4b,・・*=4.

5一—,a+3b7/口a+3ba,3ba,a

解法一­：由"^7"""=5，得r=7,3=7»/•7'=4.

2b2bbbbb

方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式

表示另一一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.

【类型二】合比性质

画a如图，已知命=万.

DBEC

解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1,便可证明(1)成立;

先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立.

，工的z1V.AB_AC.AB-DBAC-ECm，AD_AE

'止从⑴・DBEC'"DBEC'即DBEC'

/、ADAEDBECDB+ADEC4-AE,,ABACABAD

(2)VDB=EC，'AD=AE/(Z<口比k性jl质)一••丽=症，tI即rl立=在，

方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比洌的性质是解决问题的关铤.

【类型三】等比性质

Qh「

例3已知正数a、b、c,且二厂=一1一===|<,则下列四个点中，在正比例函数y=kx图

b十cc十aa十b

象上的点是()

A.(1,1)B.(1,2)C.(1,-1)D.(1,-1)

a+b+c

解析：求出k的值是关键.’；a、b、c为正数，，a+b+cWO.由等比性质，得

2(a+b+c)

k,即k=],，y=)x.当x=l时，y=]x1=；,・••点(1,J)在正比例函数y=kx的图象上.故选

乙乙乙乙乙

A.

方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在

解题时需注意这一点.

5

探究点二：黄金分割

【类型一】利用黄金分割进行计算

刖如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,BC=mAB,求m的值.

ACBC、历一1

解：•・•点C是线段AB的黄金分割点，，公=市=—一.又・・・BC=mAB,・・.AC=（l—m）AB,・•・

ADAC乙

—

(1m)ABm一1nn1.3—:

---二2'即I"2'・・m=2'

方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC,BC,AB之间的表达式，再利用BC=mAB变形,

求出m的值.

【类型二】黄金分割的实际应用

晒如图所示，乐器上有一根弦AB,两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近

点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d,试求这根弦AB的长

度.

IIII

ADCB

RI）一I

解：根据黄金分割的定义，可知相=正="『，yl5—1

.•.AC=BD=^-T—AB,.*.AD=AB-BD=AB

ADADZ乙

乖一1

AB.

2

ACD=AC-AD-(AB=(/—2)AB=d.

乙乙

,,.AB=^p^d=(V5+2)d.

【板书设计】

（基本性质

比例的性质，合比性质

〔等比性质

比例

的性〃定义

质与V黄金分割点：一条线段有两个黄金

黄金分割点

黄金分割V

分割黄金比：较长线段：原线段=

心：1

第4课时平行线分线段成比例及其推论

【教学目标】

1.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及其推论；（重点）

2.应用平行线分线段成比例定理及其推论来解决问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

6

AD

如图，在aABC中，D为边AB上任一点，作DE〃BC,交边AC于E,用直尺量一量，判断B。

AE

与CE是否相等.

探究点：平行线分线段成立例定理

【类型一】平行线分线段成比例的基本事实

如图，直线11、12、13分别交直线14于点A、B、C,交直线15于点D、E、F,直线14、

15交于点0,且已知EF：DF=5：8,AC=24.

(1)求当的值;

A15

⑵求AB的长.

解析:⑴根据11〃12〃13推出累=界；⑵根据推出代入AC=24

ABDED卜AC8

求出BC即可求出AB.

5/、CBEFCB5

解：(1)・二1〃12〃13,又・・・DF：DF=5:8，AEF:DE=5：3,/.-=-；

ABDEAB3

EFBC5

(2)・♦・11//12〃13,EF：DF=5：8,AC=24,・.而—―..BC=15,・..AB=AC-BC=24-

15=9.

方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置.

【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论

函■如图所示，已知△ABC中，DE/7BC,AD=2,BD=5,AC=5,求AE的长.

解析：根据DE〃BC得到京=不，然后根据比例的性质可计算出AE的长.

ADAv

解:VDE/7BC,・•・AB~AC'即2+5-5'7'

7

方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式.

【板书设计】

1.相似三角形的定义及有关概念；

2.平行线分线段成比例定理及推论；

3.相似三角形的引理.

22.2相似三角形的判定

第1课时平行线与相似三角形

【教学目标】

1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；（重点）

2.会用“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三

角形相似”进行计算和简单地证明.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

二、合作探究

探究点一：相似三角形

【类型一】利用定义判定相似三角形

随I△ABC与4DEF的各角度数和边长如图所示，则aABC与4DEF能否相似？说明理由.

A

解：因为NA=70°,ZB=60°,所以NC=50°.

因为NF=60°,NE=50°,所以ND=70°.

所以NA=ND,ZB=ZF,ZC=ZE.

AB_3BC_3AC3.63

乂区力诟=5'而=5,施=三彳=2，

所喘=BCAC

;所以△ABCS/XDFE.

EFDE

方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比

例.另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上.

【类型二】相似三角形的性质

酮如图，已知△ABCs/XADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=58cm,NBAC=45°,ZACB=40°,

求：

（l）ZAED和NADE的度数；

（2）DE的长.

C

E/\

AB

D

8

解：(1)VAABC^AADE,AZAED=ZACB=40°.

在Z\ADE中，ZADE=180°-40°-45°=95°；

AEDE50DE50X58,、

(2)VAABC^AADE,u即n50+30=就''DE=50+30=3&25(cm).

方法总结：当题目中有相似三角形（或能证明出相似三角形）时，首先考虑用相似三角形的性

质，由性质既能得到相等的角，乂能得到成比例的线段.

探究点二：平行线与相似三角形

画❸如图，已知在ABCD中，E为AB延长线上一点，AB=3BE,DE与BC相交于点F.请找出

图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

解：:四边形ABCD是平行四边形，

；・AB〃CD,AD〃BC,

AABEF^ACDF,ABEF^AAED,

,,.△BEF^ACDF^AAED,

故当△BEFs^CDF时,相似比为BE：CD=BE：AB=1：3；

当△BEFs/\AED时，相似比为BE：AE=1：4；

当△CDFs/\AED时，相似比为CD：AE=3:4.

刖已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已

知窗户AB高为2nbB点距地面高为1.2%求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.

.BCNC1.2NC15

W：VAM//BN,AAANBC^AMAAC,即an*=百,皿凝

【板书设计】

平行「相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成

线与比例的两个三角形

相似《结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或

三角两边的延长线）相交，截得的三角形与原

形〔三角形相似

第2课时相似三角形的判定定理1

【教学目标】

1.能正确地理解相似三角形的判定定理1;（重点）

2.能熟练地运用相似三角形的判定定理1.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

根据相似二角形的定义，二角分别相等、二边对应成比例的两个二角形叫做相似二角形.那么，

两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形

相似的条件呢？

9

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理1

砸1在AABC和△△'B，C中，NA=NA'=80°,ZB=70°,NC'=30。，这两个三角

形相似吗？请说明理由.

解：△ABCSAA'B'C'.

理由：由三角形的内角和是180°,

得NC=1800-ZA-ZB=180°-80°-70°=30°,

所以NA=NA',NC=NC'.

故△ABCsaA，B,C'（两角分别相等的两个三角形相似）.

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题

过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.

探究点二：相似三角形的判定定理1的应用

【类型一】由三角形相似计算对应边的长

酮如图所示，已知DE〃BC,DI^AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长.

解：解法一：因为DE〃BC,所以NADE=NB,ZAED=ZC,所以△ADEs^ABC,

所以京=正，即而，所以BC=15cm.

ADDC4十NDC

又因为DF〃AC,所以四边形DFCE是平行四边形，

即FC=DE=5cm,所以BF=BC-FC=15-5=10（cm）.

解法二：因为DE〃BC,所以NADE=NB.

又因为DF〃AC,所以NA=NBDF,

Ahnp45

所以△ADES^DBF,所以鼠=正，即^=大，所以BF=10cm.

DBBr8Br

方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角

形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

【类型二】由相似三角形确定对应边的比例关系

AFEF

例3已知：如图，ZXABC的高AD、BE相交于点F,求证：—

BFFD

注明：・.・BEJ_AC,AD1BC,

AZAEF=ZBDF=90°.

又・.・NAFE=NBFD,

■AFE_F

.,.△AFE^ABFD,一加一而・

方法总综要证明产所可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑ZWE

10

与△BFD是否相似,利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.

【板书设计】

判定定理1：两角分别对应相等的两个

相似三角形的

三角形相似

判定定理1

判定定理1的应用

第3课时相似三角形的判定定理2

【教学目标】

1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文

字、图形和符号语言表示；（重点）

2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的

问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三

条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什

么结论？

二、合作探究

探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似

砸1已知：如图，在aABC中，NC=90°,点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE=9,

AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8,求证：△ABCs/^BE.

DE

解析•：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB,进而可得到DB：AB的值,

再计算出EB：BC的值，继而可判定△ABCs^DBE.

证明：•・•在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=6,AC=8,AAB=^BC2+AC2=10,/.DB=AD-AB

=15—10=5,...DB：AB=1：2.XVEB=CE-BC=9-6=3,AEB：BC=1：2,.*.EB：BC=DB：AB,

又•・・NDBE=NABC=90°,AAABC^ADBE.

方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹箱才行，还要注意一些隐含条件，如公

共角、对顶角等.

【类型二】添加条件使三角形相似

画3如图，已知AABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6,当

AP的长度为时，Z\ADP和AABC相似.

APADAP6ADAP6

解析：当△ADPs/XACB时.，G=小，・・・石=曰解得AP=9.当△ADPs/XABC时，启

ADAC1ZoA151Z

AP

=G解得AP=4,・,•当AP的长度为4或9时，Z\ADP和AABC相似.故答案为4或9.

O

11

方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可

先假设两个二角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答.

【类型三】利用三角形相似证明等积式

网3如图，CD是Rtz^ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.

求证：AC•CF=BC・DF.

AnACADDP

解析：先证明△ADCs/^DB可得加=记再结合条件证明△FDCs/^AD,可得而=K则可

证得结论.

证明：VZACB=90°,CD1AB,工NDAC+NB=NB+NDCB=90°,AZDAC=ZDCB,且/

ADAC

ADC=NCDB,.'•△ADCsZkCDB,,,•布=而.；E为BC的中点,CD_LAB,,・・DE=CE,・・・NEDC=NDCE,

*DFAD

VZEDC+ZFDA=ZECD+ZACD,AZFCD=ZFDA,又NF=NF,.'.△FDC^AFAD,*CF=DC，

ACDF

‘一乐''AC・CF=BC・DF.

方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角

形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式.

【类型四】利用相似三角形的判定进行计算

例II如图所示，BCJ_CD于点C,BE_LDE于点E,BE与CD相交于点A,若AC=3,BC=4,AE

解析：因为AC=3,所以只需求出AD即可求出CD.可证明aABC与4ADE相似，再利用相似三

角形对应边成比例即可求出AD.

解：在RtAABC中，由勾股定理可得AB=qBC2+AC2=<42+32=5.VBC±CD,BE±DE,

「人ABAC5310

NC=NE,又・・・/CAB=NEAD,AAABC^AADE,A—，a即n6=7;，解得AD=？，ACD=AD

ADAcADZ6

+AC罟+3=?

方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作

辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.

【类型五】利用相似二角形的判定解决动点问题

网3如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,点P从B出发，沿BC方向以

2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以icm/s的速度移动，经过多长时间4ABC

12

和△PQC相似?

解析：由AC与AB的关系，设出AC=3xcm,AB=5xcir.,在直角三角形ABC中，利用勾股定理

列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长.然后设出动点运动的时间

为ts,根据相应的速度分别表示出PC与C'Q的长，由AABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分

两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，

从而得到所有满足题意的时间t的值.

解：由5AC—3AB=0,得到5AC=3AB,设AB为5xcm,则AC=3xcm,在RtZXABC中，由BC=

8cm,根据勾股定理得25x2=9x2+64,解得x=2或x=-2（舍去），.*.AB=5x=10cm,AC=3x=

6cm.设经过t秒aABC和△PQC相似，则有BP=2tcm,PC=（8-2t）cm,CQ=tcm,分两种情况:

①当△ABCS^PQC时，有呼=5，即?=言彳解得t=言；②当△ABCs/WC时，有辞=需

WLrCIo—ZL11rC

即富占，解得t=£.综上可知，经过导婿秒AABC和相似.

方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABCS^PQC与aABC

-AQPC分别列出比例式来解决问题.

【板书设计】

1.三角形相似的判定定理.：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

2.应用判定定理解决简单的问题.

第4课时相似三角形的判定定理3

【教学目标】

1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）

2.能熟练地运用相似三角形的判定定理3.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

如图，如果要判定AABC与AA'B'C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应

边的关系？

可否用类似于判定三角形全等的方法（SSS）,通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条

边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长

都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

二、合作探究

探究点：三边对应成比例的两个三角形相似

【类型一】利用三边长来判定三角形相似

以1如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，AD=3,AE=6,DE

=5,BD=15,CE=3,BC=15.根据以上条件，你认为NB=NAED吗？并说明理由.

13

A

/I

/IE

a------'c

解：ZB=ZAED.

理由：由题意得AB=AD+BD=3+15=18,

AC=AE+CE=6+3=9,

AC_9_AB_28_CB__15_

AD=3=3,AE=T=3,DE=T=3,

AC=AB=CB

所以AD=AE=DE,故△ABCs/\AED,

所以NB=NAED.

方法总结：要说明NB=NAED,只需要得到△ABCS/XAED,根据三边对应成比例的两个三角

形相似可证得△ABCsAAED.

【类型二】网格中相似三角形的判定

画3如图甲，小正方形的边长均为1,则乙图中的三角形（阴影部分）与AABC相似的是哪一个

图形?

②③④

乙

解：由甲图可知AC=dl2+12=，iBC=2,AB=712+33=V10.

同理，图①中，三角形的三边长分别为1,小，2镜;

同理，图②中，二角形的二边长分别为1,&&

同理，图③中，三角形的三边长分别为明，&3；

同理，图④中，三角形的三边长分别为2,小,V13.

,•范_2_亚_6

・「季飞一，・・・图②中的三角形与4ABC相似.

方法总结：（D各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后

根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判定三边是否对应成比

例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相

等来确定两个三角形是否相似.

【板书设计】

相似三角形的判定定理3：三边对应成匕例的两个三角形相似

第5课时判定两个直角三角形相似

【教学目标】

1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；（重点）

2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解：

3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；（难点）

4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.

14

【教学过程】

一、情境导入

1.到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？

答：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

（3）三边对应成比例的两个三角形相似.

2.判定两个直角三角形相似有几种方法？

答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例.

还有没有其他的方法证明直角三角形相似？

二、合作探究

探究点一：判定两个直角三角形相似

【类型一】判定两个直角三角形相似的特殊方法

%

A\

C，A'

睡I如图，在RtZ^ABC中，ZABC=90°,AB=4,AC=5.在RtZ\A'B'C'中，NA'C'B'

=90°,A'C'=6,A'B'=10.求证：△ABCS/XB，C'A'.

解析：先求两直角三角形的斜边AC和A'B'的比，再求两直角边BC和A'C'的比.

TA.I----------------/------------RC31AC51

证明：在RtZXABC中，BC=JAC2-AB2=A/52-42=3,:=&=不・.・=77；=彳，

ACOZAc1UZ

BCAC

・・・”「，.又・・・/ABC=NA'C'B'=90。,.,.RtAABC^RtAB/C'A'.

ACAD

【类型二】网格图中的直角三角形相似

就a如图，下列四个三角形中，与aABc相似的是（）

解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出AABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个

选项即可得解.设网格的边长是1,则AB=d]2+]2=，iBC=M12+32=，T5,AC=^22+22=

2镜，AAB:AC:BC=M:2^2:赤=1：2：小,：.AABC是直角三角形.二•选项A、D中的三

角形不是直角三角形，.••排除A、D选项；TAB：BC=1：2,B选项中的三角形的两直角边的边长

比为1：2,C选项中的三角形的两直角边的边长比为3：2,・・・选项B正确.

方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这

是解题的关键.

探究点二：直角三角形相似的计算

例3如图，在AABC中，ZC=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从B出发沿BC以2cm/s的

速度向C移动，点Q从C出发，以lcm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运

动时间为ts,当t为何值时，4CPQ与△CBA相似？

A

3P

15

解析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式

计算即可得解.

解：当CP和CB是对应边时，ZXCPQsZXCBA,所以左="，即V-=而，解得t=4.8；当

CDCA101Z

CP和CA是对应边时，△CPQsacAB,所以詈=詈，即埠包=白，解得t=^.综上所述，当I

CACD1Z1011

=4.8或YY时，4CPQ与△CBA相似.

方法总结：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于

分情况讨论.

【板书设计】

1.如何判定两个直角三角形相似呢？

一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.

2.直角三角形相似的判定定理的简单应用.

22.3相似三角形的性质

第1课时相似三角形的性质定理1

【教学目标】

1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）

2.运用相似三角形的性质1解决实际问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似

三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角

形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.

二、合作探究

探究点一：相似三角形性质定理1

【类型一】相似三角形对应高的比

睡I如图，Z^ABC中，DE/2BC,AH_LBC于点H,AH交DE于点G.已知DE=10,BC=15,AG=

12.求GH的长.

.,.△ADE^AABC.

XVAH1BC,DE//BC,

AAH±DE.

・匹_生an__I2

，*BC=AH，即记=而

「-AH=18.

.*.GH=AH-AG=18-12=6.

方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的

差.

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【类型二】相似三角形对应角平分线的比

两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm,如果它们对应的两条角平分线的

和为42c*那么这两条角平分线的长分别是多少？

解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm,则另一条角平分线的长为(42—x)cm.

v6

根据题意，得而二=、解得x=18.

4乙XO

所以42—x=42—18=24(cm).

x6

(方法二)设较短的角平分线长为xcm,则由相似性质有方=有.解得x=18.较长的角平分线长

r乙1T

为24cm.

故这两条角平分线的长分别为18cm,24cm.

方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比

才等于相似比，而相似比即为对应边的比.列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.

【类型三】相似三角形对应中线的比

倒❸已知△ABCS^A，B'C',=',AB边上的中线CD=4cm,求A'B/边上的中线

ADO

C'D'的长.

解：VAABC^AA/B，C,CD是AB边上的中线，C＞是A，B'边上的中线，

.CDAB2

D'=A'B'

又・・・CD=4cni,

3CD3

：.CfD'=—=-X4=6(cm).

乙乙

即A'B‘边上的中线C'D'的长是6cm.

方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.

探究点二：相似三角形性质定理1的应用

刖如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的