第1章《空间向量与立体几何》章末重难点检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版

第1章空间向量与立体几何章末重难点检测卷-高二数学上学期人教A

版(2019)

一、单选题

1.已知平面下的一个法向量为方=（4,-2,⑹，直线/的一个方向向量为i7=（T,-3,2）,若/〃*则加=

A.-2B.-1C.1D.2

2.在四面体018。中，（忘=2。5=&沅=?,G为△Z8C的重心，尸在0G上，且而=的，则万=

()

1-1£1-「5一1匚1一

A.——a+—b+—cB.一一a+-b+-c

366666

2.171-

---8-a.+—1br+—1c-D.—a----b----c

999999

3.如图，空间四边形6M8C中，&=%,砺=心无丁点M在。4上,且。必二2历4,N为BC

的中点，则诉=（）

1-2-1-2-11-*

A—a——n+—cB.——a+—n7——c

232322

1-2r1-2-1;1-

C.—a+—b——cD.—a+—D+—C

232322

4.下列可使构成空间的一个基底的条件是)

A.3,51两两垂直B.b=Ac

C.a=mb+ncD.a+b+c=0

5.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面维直的四棱

锥称为“阳马”.今有“阳马''P-/18CQ,P/I_L平面/4CQ,PA=AB=A,AD=2,E,F,G分别

为棱21,AB,PO的中点，则点G到平面C£尸的距离为（）

A.逑

CD

2B-TT-1

6.如图，在60。二面角的棱上有两点X、B,线段打、5。分别在这个二面角的两个面内，并且都垂

8。=6,则线段CO的长为（）

C.2同D.2后

7.在正方体力次券-44GA中，E是棱的中点，则直线EG与平面力CA所成角的正弦值为（）

A.2B.拽C.叵D.妪

3355

8.已知正四面体P-48C的棱长为3,空间中一点M满足丽=x^5+y而+z斤，其中x,y,z£R,

且x+y+z=l.则|而|的最小值为（）

A.x/3B.2C.x/6D.3

二、多选题

9.已知向量后=（1,1,0）,B=（。,M）,5=（1,2,1）,则下列结论正确的是（）

A.向量3与向量B的夹角为:

B.cl（a-^）

C.向量［在向量至上的投影向量为o1）

D.向量）与向量£,5共面

10.如图，在平行六面体/8CO-44GA中，以顶点力为端点的三条楼长均为6,且它们彼此的夹

角都是60。，下列说法中正确的是（）

B.AAi-BD}=36

C.瓦乙与五彳夹角是60。

D.直线月C与直线4G的距离是26

11.在直四棱柱力〃。。-44GA中，底面486是菱形，/BAD=3,AB=AAi=2,七为CG的中

xe[O,l],ye[O,l]),下列结论正确的是()

A.若x=g,则点尸到平面。的距离为百

B.若x+y=i,则四面体4-加沙的体积是定值

C.若4/=石，则点尸的轨迹长为亨

D.若x=l,y=y则存在点尸w48,使得4P+PP的最小值为的+2而

三、填空题

12.已知向量1=(1,1,0),写出一个与£共线的非零向量的坐标为

13.已知万=(1,1,1)为平面。的一个法向量，力(1，0,0)为。内的一点，则点。(LL2)到平面Q的距离

为•

14.在正四棱台48CO—H8'C'Z/中，/4=1,48=2,卜

四、解答题

15.如图，在正二棱柱46C—44G中，AA}=AC=2,D,E分别为CG，/声的中点.

⑴求直线CG与平面ABD所成角的大小；

(2)线段8c上是否存在点G,使得&G_L80?若存在，求出点G到平面力了。的距离；若不存在，说

明理由.

16.如图所示，点P,。分别是正四棱柱力8C。-44GA上、下底面的中心，£是4?的中点,

AA\=2,AB=2后.

⑴求证：4石〃平面尸8C；

(2)求点。到平面尸8C的距离；

(3)求二面角A-PC-B的余弦值.

17.已知四棱锥£—488中，四边形/8CO为等腰梯形，ABHDC,ZDAB=60°,力。=2,/4=4,

△XQE为等边三角形，且平面平面48C。，

(I)求证：AELBD；

(2)是否存在一点“，满足加=/1而(0</ls；l),且使平面4/J”与平面所成的锐一面先的余弦值

为W竺；若存在，指出点尸的位置，否则，请说明理由.

13

18.如图，平行六面体力AC。-44GA的所有棱长均为2,底面力8CQ为正方形，ZDlDJ=ZD1DC=p

点上为8片的中点，点/为CG的中也，动点尸在平面内.

(1)若力。中点为O,求证：。。，平面48。。；

(2)若平面。/E,求线段3长度的最小值.

19.在O/BCD中,AB-3近，BC-2近,N/“C=】20。，过点。作。£_Z交力〃于点E,以DE

为轴，将△4OE向上翻折使平面力。E_L平面8c。七，连接CE,产为线段CE的中点，。为线段/C上

一点.

A,_£

(1)证明：8尸_L平面力CE；

(2)若二面角力-。。-E的余弦值为MH,求黑的值.

37CA

参考答案:

题号12345678910

答案BBDABDDCABDABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据/〃。得到万_L",根据数量积为0求解所.

【详解】因为/〃。，所以万，江，

所以力”7=-4+6+2〃?=0,解得=

故选：B.

2.B

【分析】作出辅助线，根据重心性质得到—%G=：16-+g1c--彳2一*再根据尸为OG的中点，求出

JJJ

—1—1—5-1-1-

AP=—AO+—AG=——a+—b+—c.

22666

【详解】取8c的中点连接

因为G为ZUBC的重心，所以刀=2而,

3

又而=而一次豆+■!"玩一次，

22

则就=丽+；反一刀）=；5+；,

囚为而=所，所以?为OGi勺中点，

-TX1-T7Z1-rpz1_1f1r1_2_15_1r1_

iwAr=-AO+-AG=—a+——b+-c—a=—a+—b+-c.

22221333yl666

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】VOM=2MA,

——2—

：.OM=-OA,

3

•・,N为8c的中点，

.♦.丽=；(砺+无)，

-------------1/\2-21rl

MN=ON-OM=-{OB+OC\一一0A=——a+-b+-c.

2、f3322

故选：D.

4.A

【分析】根据向量共面、不共面以及基底等知识来确定正确答案.

【详解】由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得A正确；

若5=/，则B与m共线，此时日与用己必然共面，所以无法构成空间基底，B错误；

1=〃石+)与不+5+3=0都表不1,5,5共面,c,D错误.

故选：A

5.B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】依题意,如图建立空间直角坐标系,则£(0,0,2),尸(0,2,0),C(2,4,0),G(l,0,2),

所以^^(0,2,-2),宙=(1,0,0),定二(2,2,0),设平面CE尸的法向量为万=(',乂z),

万•EF=2y-2z=0

所以__取万=(1,-1,-1),

nFC=2x+2y=0

_EG-n\1x/3

所以点G到平面CEF的距离d=—r-r-i

于T

6.D

【分析】由图可得丽=蒙+荔+而，再利用数量积的运算律和模长计算求解即可;

【详解】由图可得而+箫+而，

所以而，存。而•在+2行•而+2懑•丽，

因为EJ.方，防1海，

所以3•万=0,丽•刘=0,

CA~BD|c^||5D|cosl20-g66=-18,

所以而？=6?+4?+62-2x18=52，

所以线段C。的长为2/，

故选：D.

7.D

【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,写出点的坐标，求出平面4C"的法向量，利用

线面角向量求解公式得到答案.

【详解】如图，以。为坐标原点，。4。。,。。所在直线分别为》/*轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2,则£(0,0,1),G(0,2,2),/(2,0,0),C(0,2,0),。"0,0,2),

设平面4cA的法向量为沆=(x,y,z),

m-AC=(x,_v,z)-(-2,2,0)=-2r+2y=0

m-ADi=(-2,0,2)=-2x+2z=0

令x=l得J=l,z=l,故而=

设直线EG与平面4cA所成角的大小为0,

则sine-lcos市而|-0|(。，2」)也草)|

川。邛osEC,叶函同一内x疝不

5

8.C

【分析】根据共面定埋的推论判断点M的位置，然后求止四面体的高即可得解.

【详解】因为两=/5+y而+N定，x+y+z=\,所以M,48c四点共面,

所以I而I的最小值即为正四面体产-4山.的舟，

记48的中点为。，作尸。底面彳8c于点。，

由正四面体的性质可知，。为正三角形48C的重心，

所以"=|cQ=gj4C2一姐=|卜2一侍=百,

所以C〃=J0。2-℃2=,3?-(也『=瓜,

即|西|的最小值为卡.

9.ABD

【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确;

根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，彳+5得出向量共面判断D.

【详解】因为"G=lxO+lxl+lxO=l,所以同同cosA2=l,

r.11

可得C0Sb,4=A，、，则向量£与向量B的夹角为；，故A正确：

vr+r+0xvr+r+o乙3

因为不仅一可=0,2,1)(1,0,T)=lxl+2x0+l>(-t)=0,

所以乙即B正确；

根据投影向量的定义可知，向量£在向量B上的投影向量为

同.cosZ九而芹H(0,l,l)=(0,3,所以C错误；

由向量值=(1,1,0),=(0,1,1)fm=(1,2/)，可知2=£+却

向量工与向量2，刃共面，所以D正确.

故选：ABD

10.ABD

【分析】设AB=a,AD=b,AAX-c>依题得|“|=历|=|6|=6,4万=鼠0=(?・4=18,运用向量数量积的运算

律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离

公式计算即可验证D项.

【详解】

如图，设AB=a,4D=b,4Ai=c,

则|〃|=|8|=|c|=6,4/；=Vc=c-a=6x6xcos60=18

对于A,ISCC(=c,BD=b-a.

则<?G-c・(B-a)-c・5-c・a-0,故AjE确；

对于B,因44]=c,BD{=b-a+c»

则熟•西二>(m)=>B-13+内工18-18+36=36,故B正确：

对于C,B^C=h-c^AA}=c,则束•五彳=0工>)=认1内2=]8-36=-18,

且|配|=yl(b-c)2=+\c2-2b-c=A=6,|麴|=6,

设炉与五彳夹角为。，则cos6=离鲁y=-念=-g,因。仪0,汨，则。=g,即C错误;

对于D,在平行六面体ABCD-44GA中，易得AAJIBBy//CC.,AA}=BB、=CC1,

则得。ICQ丸故ACHAG，故点4到直线AC的距离d即直线AC与直线4G的距离.

因k=7+2麴•就=3而+3)=36,

2

且|AAX|=6,\AC\=\j(a+b)=、|a『+2a-b+1B『=6百»

故选：ABD.

11.BCD

【分析】由条件确定点尸的轨迹，证明点尸到平面。的距离为点。到平面。的g,由此判断A,

由x+y=l可得点/的轨迹为CR,结合锥体体积求法即可判断B；由条件确定点尸的轨迹，由扇形

弧长公式即可判断C；把△4/8沿着4R进行翻折，使得4,44,广四点共面，结合平面几何知识可

求力P+P/的最小值，判断D.

【详解】对于A,如图，连接MN,点M为线段。。的中点，点N为线段"G的中点，

则丽,反，DD.=MN,

2

1一-...

因为x=—，DF=xDC+vDD,

2

所以而=g反+,西=血+），加，

贝I」砺=），而，X^e[O,l],

所以点尸的轨迹为线段MN,

因为MN//Cg,CCJIBB\,

所以MN//BB],MNa平面DBB1,BB】u平面DBB1,

所以MN//平面。氏不

所以点F到平面DBB、的距离等于点M到平面DBB、的距离，

又M为DC,

所以点F到平面DBB、的距离等于点C到平面DBB、的距离的1,

连接CD,记其交点为。，

因为底面48CQ是菱形，

所以COJ.80,

由已知_L平面力8。。，COu平面44。。，

所以84JLC。，BBqBD=B,BB、,BDu平面DBB、,

所以CO_L平面。8片，

因为四边形/8CO是菱形，/84?=1，

所以△8CQ为等边三角形，又,48=2,

所以BC=C0=O8=2,所以CO=G，

所以点C到平面DBB、的距离为百，

所以点尸到平面。84的距离为且，A错误；

对于B,连接CR,由4+y=l得点/在线段上，

由44CQ—44GA为直四棱柱得，AB//CR,又FeCD\,

所以△力石尸的面积为定值，又点E平面力由〃的距离为定值,

所以三棱锥E-4严E的体积为定值,

所以四面体4-8石斤的体积是定值，故B正确;

对于C,如图，在平面46£乌中作4K_LGR,垂足为K,

由已知得,。。_1平面4片。。1，且己Ku平面44汗〃,

所以4K1DA，又CQ,。。匚平面OCCQ,且G〃nQA=A，

所以4Kl.平面。CCQ,

因为底面力ACQ是菱形，ZBAD=^1AB=AAi=2,

所以4K=G,K"=l,

在RS%K/中，因为4/=石，所以KF=55=也,

则点尸在以点K为圆心，血为半径的圆上运动，

设此圆与。A交于点4,因为心3=&，且K"=1,

所以/。位4=:，则点尸的轨迹长度为Nx及=但，故C正确;

444

对于D,若.丫=1,)，=：,则点尸与点£重合，

把△448沿着45进行翻折,使得4,48“尸四点共面,

此时力P+PP有最小值"，

在A4FB中,A、F=后,BF=后,4/=26,

所以A1+B"2=4/2,所以乙4由尸=色，所以也，

24

在△ABF中，由余弦定理得cosNABF=月"+6尸一尸；4+5-,二=_2

解得AF=或+2屈，故D正确;

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合所给条件，结合线面位置关系，确定点b的轨迹.

12.(2,2,0)(答案不唯一)

【分析】利用空间共线向量的意义，直接写出坐标即可.

【详解】向量4=(1,1,0),则与4共线的非零向量m=(/U,0),4H0,

取兄=2,得与〉共线的一个非零向量的坐标(2,2,0).

故答案为：(2,2,0)

13.百

【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.

【详解】依题意，^5=(0,1,2),而万=(1,1,1)为平面a的一个法向量,

所以点到平面。的距离3=坦需1=1=6,

故答案为；G

14.75

【分析】根据正四桂台的性质得到4C'与力。的关系，直接求得不，再运用模的计算公式求之.

TT

【详解】由正四棱台川?CO-/"C'Q‘中，AA'=\,AB=2,ZBAAf=-,

TTA'fi'A'C'1

在侧面488W中得=-2A4'cosg=l,由笑=玲，，/c=，

3AHAC2

设而一瓦而一£,五？一d,

1C'=AA'+1^'=7A'+^AC=V+U-+5，

222

|石|=J(J万+4+研2=心万|2+!_|W+©2+万々+九“*.£=

V22V442

故：|Z|=6.

故答案为：\/5

15.(l)j

4

(2)存在,距离为当

【分析】(1)分别取/c,4G中点。，O\，连接。。，。8,进而以。为原点，080COQ所在的直

线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

(2)假设存在点G,设蔗=4^=(-JLt",0),0K4Wl,进而根据4Gl8。得/=],再计算点到

面的距离即可.

【详解】(1)分别取4c4G中点o,q,连接。«,。反

因为44C-44G是正三棱柱,

所以oq//44M4，平面/〃。，0B1AC.

所以OQ_L平面4«C’,o'OCu平面力AC',所以OQ_LOC.

以。为原点，08,OC,O«所在的直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则40,-1,0)，4(0,T,2),C(0,1,0)，G(0,I,2),8(6,0.0),Q(0,1,1).

所以福=(V3,1,-2),CC；=(0,0,2),诙=(-73,1,1).

设平面力产。的法向量为]二(X，NZ)，

所以巴…,即悴

[BDii=0.[―\/3x+y+z=0.

令y=l,解得x=\/J,z=2,所以〃=(VJ,1,2).

设直线CG与平面48。所成角为e,owow5,

则日3Mg叶制:2/3+1+4

所以。J.

4

即直线CC\与平面48。所成角为£.

(2)假设存在点G,设&5=；1与乙=(—Ji</l,O),OW/lWl.

所以G(>/3—x/^4.40)>所以4G=(y/3—>/3A,A+1,-2).

由瓦5=(-J5』,l)知，若&GJ.BD,

贝lj丽•丽=(x/5->A/l)x(-G)+(；l+l)xl+(-2)xl=O.

解得4=1.即G与C为同一个点.

因为丽=(o,o,i),平面4〃Q的法向量为〃=(百J2),

所以点G到平面48。的距离d=匹2皿=10x£+0xl+lx2|=冬

16.(1)证明见解析

⑵不

【分析】(1)解：以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面PHC的法向量为;;=(-1,1,1)和

力山=(―1,1,—2),根据4E.〃=0，得到/E_L〃，进而证得力£//平面“AC：

(2)由(1)知,平面P8C的一个法向量为=,且丽=(0,2,0),结合向量的距离公式，即

可求解；

(3)利用线面垂直的判定定理，证得OB1平面尸4C,得到平面P/C的一个法向量为丽=(0,2,0),

由(1)知平面P8C的一个法向量为；;=(-1,1,1),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)解：以点O为坐标原点，以。户所在的直线分别为xj,z轴，建立空间直角坐标

系，

如图所示，因为44=2,48=20,

则/(2,0,0),4(2,0,2),E(l,l,0)/(0,0,2),8(0,2,0),C(-2,0,0),

可得斓=(-1,1,-2),BC=(-2,-2,0),PB=(0,2,-2),

n-BC=-2x-2y=0

设平面〃8c的法向量为〃=(x,y,z)，则一一

n,PB=2y-2z=0

取z=l,可得x=-l,y=l,所以〃=(一1,1,1),

因为赤.[=()，所以荏_L/1，

又因为平面尸BC，所以4E〃平面P8C.

(2)解：由(1)知，平面?6c•的一个法向量为/；=(-1,1,1),且历=(0,2,0),

OBn22J5

可得d=-pL='=—,

同7(-o2+i2+i23

所以点O到平面P8C的距离为毡.

3

(3)解：在正方形力8C。中，可得O〃_L4C,

因为OP_L平面/AC。，且OAu平面45CQ,所以O81.OP,

又因为42nOP=。，且4C,OPu平面产力。，所以08,平面4C,

所以平面产力。的一个法向量为砺=(0,2,0),

由(1)知，平面PBC的一个法向量为;;

设二面角4一尸。一6所成角的角为夕，且

.一,卜冰同2

所以850=^08,>?=!=^=^^—7-=—,

I|。司同2x63

所以二面角力.-〃所成角的余弦值为且.

3

17.（1）证明见解析

⑵点厂为助中点时，使平面的与平面8以所成的锐二面角的余弦值为咨理由见解析

【分析】（1）取力8的中点G,连接OG,证明△48。是直凭三角形，得从而由面面垂直

的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；

（2）取的中点〃，连接则证明E〃_L平血/4CQ,以为X,），釉，过。平行于£〃的

直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向昼:法求二面角的余弦值，由已知求得见,

说明存在.

【详解】（1）取/仍的中点G,连接QG,

因为45=4,所以/1G=2,又/D力B=60°,所以△4GO是等边三角形，

所以。G=2=g48,所以△48。是直角三角形，所以力O_L8O,

因为平面平面力8C。，8力u平面力8c。，平面力。£D平面48。。=/。，

所以8。工平面4QE,又力Eu平面4QE,所以4EJ.4Q；

（2）尸为E8中点即可满足条件，理由如下：

取4。的中点〃，连接E",则£7714。，

平面力。E_L平面/3CO,EI/u平面4BCD,平面ZOED平面44CQ=力。，

所以£7/_L平面/R?。，由△力QE为等边三角形，可得£77-百，

在直角三角形"力中，BD=26,

以。为坐标原点，以为MP轴，过。平行于E”的直线为z轴建立空间直角坐标系,

则0(0.0,0),A(2,0,0),8(0,2x/3,0),C(-l,瓜0),E(l,0,扬,

则A?=(2,0,0),CB=(1,x/3,0),=(-1,2x/3,-V3),

~EF=AEB=(一％,-百4),DF=75E+EF=(\-4,26/1,6-显),

设平面ADF的一个法向量为防=(X,y,z),

[m-DF=(\-A)x+2j3Ay+(^-&)z=0

则一7,令y=4一1,则X=0,N=22,

IniDA=2x=0

所以平面力。厂的一个法向量为病=(0,4-1,24),

设平面BCE的一个法向量为〃=（a.b,c）.

n-CB=a+y/3b=0“,广

则__厂广，令/>=1,则a=~V3,c=3»

n-EB=-a+2y/3b-x/3c=0

所以平面8CE的一个法向量为7=（-6,3）,

\n-ni\|7-1+6川7651）

于是|cos伉砌=

晶|叶|同=7313\「522=-2=/1」+1=十13-,解得义=；2或之=一；3（舍去），

所以点尸为£8中点时，使平面方与平面8CE所成的锐二面角的余弦值为退

13

18.（1）证明见解析

⑵乎

【分析】（1）利用几何关系求出00=0。=板，证明8_LOA，ODJAC,根据线面垂直判定

定理证明结论：

（2）构造平面〃平面。/七，从而确定点尸必在。〃上，然后利用等面积法求解即可；或者利

用空间向最结合二次函数求最值.

【详解】（1）连接。。，OD、,D}C,

/.D{A=2,同理£>C=2,

•••o是正方形对角线彳C中点，

：.OD}1AC,且4c=2后，

所以0。=。月=亚，

所以。。2+。/2="2,故4/3为等腰直角三角形，

/.OD}=41,

所以。。2+0。；=。。；，

所以ODA.OR,

•・，面力8。。；

（2）法一：

取8c中点H,连接HD,HF,DF,

易得EF//DA,EF=DA,

故四边形EFZM是平行四边形，

/.DFHAE,又。Eu平面D\AE,AEu平面D}AE,

.•.£）尸〃平面D/E,同理FH；/BCJ/DiA,

•/FH（Z平面DiAE,DiAu平面DXAE,

平面且FHcDF=F,尸"Q/u面。/H,

故平