2027高考数学一轮复习通关讲义(解析版)

2027高考一轮复习通关讲义

第1讲集合结论16

结论一、集合的互异性16

结论二、集合相等16

结论三、集合子集个数17

结论四、子集与交集17

结论五、子集与并集17

结论六、子集与空集18

结论七、交集与空集18

结论八、并集与空集19

结论九、反演律(德摩根定律)19

结论十、容斥原理20

第2讲复数的概念和性质22

通关一、复数的定义22

通关二、虚数单位i的周期性22

通关三、复数核心运算22

结论一、复数的分类22

结论二、复数相等23

结论三、共轭复数23

结论四、复数的加法与减法及意义24

结论五、复数的乘法24

结论六、复数的除法25

结论七、复数的模25

第3讲函数三要素28

通关一、函数符号y=f(x)的理解28

通关二、函数的值域28

结论一、具体函数定义域的求解29

结论二、抽象函数定义域的求解29

结论三、同一个函数的判定方法30

结论四、函数表达式30

结论五、换元法求函数的值域31

第4讲函数的单调性33

通关一、函数单调性的定义及几何意义33

通关二、函数的最值34

结论一、定义法证明函数单调性34

结论二、函数单调性的正向与逆向理解34

结论三、单调性结论35

结论四、单调性性质35

结论五、单调性求最值36

第5讲函数的奇偶性38

通关一、函数奇偶性的定义和性质38

·1·

通关二、函数奇偶性的运算38

通关三、一些重要类型的奇偶函数39

结论一、定义域优先39

结论二、函数的构造39

结论三、奇函数特性40

结论四、偶函数特性40

结论五、奇偶性与单调性关系41

第6讲函数的对称性43

通关一、轴对称43

通关二、中心对称43

通关三、常见对称性结论43

结论一、f(a+x)=f(a-x)型44

结论二、f(a+x)=f(b-x)型45

结论三、y=f(x+a)为偶函数型45

结论四、f(a+x)=-f(a-x)型46

结论五、f(a+x)=-f(b-x)型46

结论六、f(a+x)+f(b-x)=c型47

结论七、y=f(x+a)为奇函数型47

ax+b

结论八、f(x)=型48

cx+d

结论九、含绝对值的函数对称性48

结论十、两个函数的对称性49

结论十一、对称轴斜率为1或-149

结论十二、对称性与单调性结论50

第7讲函数的周期性52

通关一、周期概念理解52

通关二、常见周期性结论52

结论一、f(x±a)=f(x)(a≠0)型53

结论二、f(x+a)=-f(x)型53

结论三、f(x+a)=f(x±b)型54

结论四、f(a+x)=-f(x-b)型54

结论五、f(x)+f(x+a)=k型55

1

结论六、f(x+a)=型55

f(x)

1

结论七、f(x+a)=-型56

f(x)

结论八、f(x)·f(x+a)=k型56

1-f(x)

结论九、f(x+a)=型57

1+f(x)

1+f(x)

结论十、f(x+a)=型58

1-f(x)

结论十一、两线型58

结论十二、一点一线型59

结论十三、两点型59

·2·

第8讲二次函数61

通关一、二次函数的解析式61

通关二、二次函数的图像和性质61

结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系62

结论二、二次函数的对称性63

结论三、二次函数的单调性64

结论四、给定区间上的值域65

结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系66

结论六、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布67

第9讲指数运算及指数函数69

通关一、根式的概念和性质69

通关二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像与性质69

结论一、指数基本运算70

结论二、指数比较大小71

结论三、指数函数过定点71

结论四、底数a对指数函数图像的影响72

结论五、指数数数单调73

第10讲对数运算及对数函数74

通关一、对数恒等式与对数的杜质74

通关二、常用对数与自然对数74

通关三、对数函数的图像和性质74

结论一、对数基本运算75

结论三、换底公式76

结论三、对数比大小76

结论四、对数函数过定点77

结论五、底数a对对数函数图像的影响78

结论六、对数函数单调性79

第11讲幂的运算及幂函数80

通关一、五种常见幂函数的图像与性质80

通关二、幂函数的性质80

结论一、幂函数的图像特征80

结论二、幂函数比较大小81

结论三、幂函数单调性82

第12讲分段函数84

通关一、分段函数的含义84

通关二、分段函数求值与不等式84

结论一、分段函数求值84

结论二、分段函数求根85

结论三、解分段函数不等式86

结论四、分段函数的单调性86

结论五、分段函数的奇偶性87

第13讲复合函数88

通关一、复合函数定义88

·3·

通关二、复合函数的单调性(同增异减)88

结论一、复合函数的求值与求参88

结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性89

结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性89

结论四、复合函数的奇偶性(内偶则偶，内奇同外)90

结论五、复合函数的零点91

第14讲抽象函数93

通关一、抽象函数模型93

通关二、抽象函数的单调性93

通关三、抽象函数的奇偶性93

通关四、抽象函数的注意事项93

结论一、f(x+y)=f(x)+f(y)型93

结论二、f(xy)=f(x)+f(y)型94

结论三、f(x+y)=f(x)⋅f(y)型94

结论四、f(xy)=f(x)⋅f(y)型95

第15讲导数的定义和运算96

通关一、导数的概念96

通关二、基本初等函数的导数96

通关三、和、差、积、商的导数97

通关四、复合函数的导数97

结论一、平均变化率和瞬时变化率98

结论二、导数的定义98

结论三、复合函数求导99

结论四、导数的运算99

结论五、fa实际是一个数100

结论六、多用乘法求导运算100

结论七、特殊函数的导函数101

第16讲导数的几何意义103

通关一、导数的几何意义103

通关二、曲线在点P处的切线103

通关三、曲线经过点P处的切线103

结论一、求曲线y=f(x)在x=x0处切线的步骤104

结论二、求曲线f(x)经过点P(x0，y0)切线方程的步骤104

第17讲导数的应用106

通关一、导数的符号与丞数的单调性106

通关二、函数的极值106

通关三函数的最值107

结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法107

结论二、求函数极值的一般步骤和方法108

结论三、求函数在[a，b]上最值的一般步骤和方法110

第18讲角的定义与分类112

通关一、象限角与轴线角的表示112

通关二、弧度制112

·4·

通关三、三角函数线113

结论一、求角所在象限113

结论二、终边相同的角114

结论三、扇形的弧长与面积114

第19讲同角三角函数关系117

通关一、三角函数定义117

通关二、三角函数在各象限的符号117

通关三、特殊角的三角函数值118

结论一、任意角的三角函数118

结论二、三角函数值在各象限的符号118

结论三、已知一个三角函数值,求其余两个三角函数值119

结论四、同角三角函数的基本关系120

结论五、已知tanα值的求值问题(齐次式)120

结论六、三角函数“三剑客”121

第20讲诱导公式123

通关一、各角与角α终边的关系123

通关二、诱导公式(k∈Z)123

通关三、诱导公式化简原则124

通关四、常见角度关系转化124

结论一、诱导公式一124

结论二、诱导公式二125

结论三、诱导公式三125

结论四、诱导公式四125

结论五、诱导公式五126

结论六、诱导公式六126

结论七、常见的一些关于参数k的结论127

第21讲两角和与差公式128

通关一、两角和与差的余弦公式128

通关二、两角和与差的正弦公式129

通关三、两角和与差的正切公式129

结论一、两角和与差的余弦129

结论二、两角和与差的正弦130

结论三、两角和与差的正切131

结论四、正切定值131

结论五、给值求角问题132

结论六、常见角的变换132

第22讲倍角与半角公式134

通关一、二倍角公式134

通关二、半角公式134

通关三、三倍角公式134

通关四、三角函数化简的“三看”原则134

结论一、二倍角正弦135

结论二、二倍角余弦135

·5·

结论三、二倍角正切136

结论四、万能公式136

结论五、半角公式137

结论六、辅助角公式138

第23讲三角函数性质138

通关一、y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像与性质138

通关二、y=Asin(ωx+φ)与y=Acosωx+φ(A>0,ω>0)的图像与性质139

结论一、求三角函数解析式140

结论二、三角函数单调性142

结论三、三角函数奇偶性的结论143

结论四、三角函数对称性结论144

结论五、三角函数周期性结论144

第24讲三角函数图像变换及最值146

通关一、三角函数图像变换146

通关二、三角函数最值题型归类146

结论一、五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像147

结论二、y=asin2x+bsinx+c型函数的最值148

结论三、y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函数的最值148

结论四、y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c型函数的最值149

asinx+b

结论五、y=型函数的最值150

ccosx+d

第25讲解三角形151

通关一、正弦定理151

通关二、正弦定理的推广及其变形151

通关三、余弦定理151

通关四、余弦定理的推广及其变形151

通关五、三角形面积152

结论一、三角形内角和152

结论二、射影定理153

结论三、正弦定理的应用154

结论四、余弦定理的应用154

结论五、边角不等关系等价条件155

结论六、三角形形状判定155

结论七、三角形面积156

第26讲向量的概念和性质158

通关一、向量的线性运算158

通关二、几种特殊向量158

结论一、三角形法则与平行四边形法则159

结论二、单位向量160

结论三、共线向量(平行向量)161

结论四、共线求参162

结论五、平面向量基本定理162

结论六、中线定理163

结论七、向量共线模型164

·6·

第27讲向量的数量积运算166

通关一、平面向量数量积的定义166

通关二、数量积的性质和运算律166

结论一、数量积公式167

结论二、数量积几何意义167

结论三、向量垂直168

结论四、向量求模运算168

结论五、向量的夹角168

结论六、向量夹角的判定169

结论七、a+b与a-b的几何意义170

第28讲向量的坐标运算171

通关一、向量坐标化171

通关二、向量的坐标运算171

通关三、向量位置关系的判定171

结论一、向量坐标的加减法运算171

结论二、向量平行的判定及应用172

结论三、向量垂直的判定及应用172

结论四、向量求模173

结论五、两向量夹角173

结论六、常见的可建系图形173

第29讲三角形四心与向量175

通关一、四心的概念175

通关二、三角形四“心”向量形式175

通关三、重心性质175

结论一、重心175

结论二、垂心176

结论三、内心177

结论四、外心178

结论五、重心与面积178

第30讲数列的概念和性质180

通关一、数列的概念180

通关二、数列的分类180

通关三、数列的通项公式181

通关四、数列an的前n项和181

结论一、数列通项公式181

结论二、数列的周期性183

结论三、已知Sn求an的一般步骤183

结论四、an与Sn混合在一起的处理方法184

结论五、数列单调性的判断方法185

第31讲等差数列通项公式及性质187

通关一、等差数列的定义187

通关二、等差中项187

通关三、等差数列的通项公式187

·7·

通关四、等差数列中的函数关系188

结论一、通项公式理解189

结论二、通项公式变形189

结论三、公差的几何意义190

结论四、下标和相等,项之和相等190

结论五、等差数列线性组合仍为等差数列191

结论六、下标成等差,项也成等差191

结论七、对称项设法192

结论八、等差数列的判定与证明192

第32讲等差数列的前n项和194

通关一、等差数列的前n项和公式194

通关二、前n项和与函数关系194

通关三、Sn=na中(n为奇数)194

结论一、等差数列前n项和公式及其变形195

结论二、前n项和构造等差数列195

结论三、相同项数的和构造等差数列196

结论四、等差数列前n项和与通项关系197

结论五、前n项和比值与通项比值关系198

结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质198

结论七、等差数列前n项和最大、最小值问题199

结论八、数列{|an|}的前n项和的求解200

第33讲等比数列通项公式及性质201

通关一、等比数列的定义201

通关二、等比中项201

通关三、等比数列的通项公式201

通关四、等比数列中的函数关系202

结论一、通项公式及其变形203

结论二、公比q的表示203

结论三、下标和相等，项之积相等203

结论四、等差数列与等比数列相互转化204

结论五、等比数列的构造204

结论六、对称项设法205

结论七、等比数列的单调性206

结论八、等比数列的判定与证明方法206

第34讲等比数列的前n项和208

结论一、等比数列前n项和(当q≠1时)变形公式208

结论二、项数相同的和构造等比数列209

结论三、等比数列前n项和关系特征210

第35讲数列通项公式题型全归纳212

通关一、“叠加法”求通项212

通关二、“叠乘法”求通项212

通关三、“倒数法”求通项212

通关四、“待定系数法”求通项213

·8·

结论一、an+1=an+f(n)213

结论二、an+1=f(n)an214

结论三、an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p-1)≠0)214

n

结论四、an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p-1)≠0)215

结论五、an+1=pan+an+b(p≠1,p≠0,a≠0)216

r

结论六、an+1=pan(p>0,an>0)216

pan

结论七、an+1=(p,q,r≠0且an≠0,qan+r≠0)217

qan+r

结论八、an+1+an=f(n)217

结论九、an+1∙an=f(n)218

第36讲数列求和220

知识通关220

结论一、公式法220

结论二、分组求和221

结论三、倒序相加222

结论四、裂项求和223

结论五、错位相减224

结论六、数列最值225

结论七、数列缩放226

第37讲不等式的性质与解法228

通关一、文字语言与数学符号之间的转换228

通关二、不等式的基本性质228

结论一、不等式的性质228

结论二、比较大小229

结论三、一元二次不等式230

结论四、分式不等式231

结论五、绝对值不等式232

第38讲含参不等式解法233

结论一、利用二次函数的性质233

结论二、分离变量234

结论三、变换主元235

结论五、能成立问题236

结论六、恰成立问题236

结论七、“任意=存在”型237

结论八、“存在=存在”型237

第39讲基本不等式238

通关一、均值不等式的使用条件238

22a+ba+b22

通关二、已知a,b∈R,则a+b≥≥≥ab≥238

+2

221+1

ab

结论一、常见基本不等式238

结论二、和定积最大，积定和最小239

DE

结论三、已知Ax+By=1,求+的范围(A,B,D,E>0)240

xy

·9·

DE

结论四、己知+=1,求Ax+By的范图(A,B,D,E>0)241

xy

结论五、柯西不等式241

结论六、权方和不等式242

第40讲表面积与体积243

通关一、多面体的表面积和体积公式243

通关二、旋转体的表面积和体积公式243

结论一、公式法243

结论二、等体积法(颠倒法)244

结论三、割补法246

结论四、正方体与球的组合248

结论五、正四面体与球的组合248

结论六、表面积和体积最值问题250

第41讲共线、共面与截面253

通关一、公理1253

通关二、公理2253

通关三、公理3254

结论一、共点、共线问题254

结论二、共面问题256

结论三、截面问题257

第42讲空间平行关系259

通关一、直线与平面平行的判定定理259

通关三、平面与平面平行的判定定理260

通关四、平面与平面平行的性质定理260

通关四、平面与平面垂直的性质定理261

结论一、线线平行261

结论二、线面平行262

结论三、面面平行264

第43讲空间垂直关系266

通关一、直线与平面垂直的判定定理266

通关二、直线与平面垂直的性质定理266

通关三、平面与平面垂直的判定定理267

通关四、平面与平面垂直的性质定理267

结论一、线线垂直268

结论二、线面垂直269

第44讲空间角度关系273

通关一、异面直线所成的角θ∈(0°,90°]273

通关二、直线与平面成的角θ∈[0°，90°]273

通关三、二面角273

结论一、线线角273

结论二、线面角275

结论三、二面角277

第45讲空间向量与立体几何279

·10·

通关一、空间坐标系279

通关二、平面法向量的求法279

通关三、用向量法求空间角279

结论一、空间向量的基本定理280

结论二、空间向量的坐标运算281

结论三、平行的判定和性质283

结论四、垂直的判定和性质285

结论五、点到面的距离286

结论六、线线角288

结论七、线面角290

第46讲直线的方程296

通关一、直线的倾斜角296

通关二、求斜率的常用方法296

通关三、直线方程的几种形式296

结论一、直线的倾斜角与斜率297

结论二、三点共线298

结论三、直线过定点模型298

第47讲直线的位置关系300

通关一、两条直线的位置关系300

通关二、两条直线的交点300

通关三、点线对称问题300

结论一、直线的平行301

结论二、直线的垂直301

结论三、直线系方程302

结论四、两点间的距离公式302

结论五、点到直线的距离公式303

结论六、两平行直线间的距离公式304

结论七、中心对称305

结论八、轴对称305

第48讲圆的方程307

通关一、圆的标准方程与一般方程307

通关二、几种特殊圆的标准方程(r>0)307

结论一、圆的一般方程307

结论二、求圆的方程的两种方法308

结论三、点与圆的位置关系309

结论四、与圆有半的对称问题309

结论五、确定圆心位置的方法310

结论六、圆的参数方程311

第49讲直线与圆的位置关系313

通关一、直线与圆的位置关系的判定313

通关二、圆与圆的位置关系313

通关三、圆的方程313

结论一、直线与圆的位置关系判定步骤314

·11·

结论二、切线方程的求解314

结论三、圆的弦长问题处理方法315

结论四、切线长问题316

结论五、圆与圆的位置关系判定步骤317

结论六、相交圆公共弦所在直线的方程317

结论七、与圆的几何性质有关的最值318

结论八、与圆的代数结构有关的最值318

第50讲椭圆的定义和性质320

通关一、椭圆的标准方程320

通关二、椭圆的标准方程a,b,c的几何意义320

通关三、椭圆的几何性质320

通关四、求椭圆的方程有两种方法321

结论一，椭圆定义的理解321

结论二、椭圆上点的性质322

结论三、焦点三角形的周长323

结论四、焦点三角形周长拓展323

结论五、椭圆的标准方程324

结论六、椭圆的标准方程的求法325

结论七、椭圆的通径325

结论八、椭圆的焦半径326

结论九、焦半径最值327

结论十、椭圆中的线段和差最值328

结论十一、焦点三角形面积328

结论十二、焦点三角形内切圆329

结论十三、与焦点有关的三角形面积330

结论十四、椭圆焦点弦弦长330

结论十五、椭圆离心率的几何意义331

结论十六、黄金椭圆332

结论十七、离心率的定义表示333

结论十八、离心率的正弦表示333

结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系334

结论二十、离心率的焦半径比值表示334

结论二十一、椭圆焦半径比例模型335

结论二十二、椭圆焦半径乘积范围336

结论二十三、斜率乘积定值模型(一)337

结论二十四、斜率乘积定值模型(二)338

第51讲双曲线的定义和性质340

通关一、双曲线的标准方程340

通关二、双曲线的几何性质340

通关三、求双曲线的方程的两种方法341

结论一、双曲线定义的理解342

结论二、双曲线上点的性质343

结论三、焦点三角形周长拓展343

·12·

结论四、双曲线的标准方程344

结论五、求双曲线的渐近线344

结论六、双曲线方程的设法345

结论七、点到线距离定值346

结论八、比值为定值346

结论九、等轴双曲线347

结论十、离心率与渐近线斜率关系348

结论十一、过定点直线与双曲线相交问题348

结论十二、双曲线的通径349

结论十三、焦点三角形的面积350

结论十四、焦半径最值350

结论十五、双曲线中的线段和差最值351

结论十六、黄金双曲线352

结论十七、双曲线焦点弦弦长353

结论十八、离心率的定义表示353

结论十九、离心率求值的正弦表示354

结论二十、离心率的焦半径比值表示354

结论二十一、双曲线焦半径比例模型355

结论二十二、斜率乘积定值模型(一)356

结论二十三、斜率乘积定值模型(二)357

第52讲抛物线的定义和性质359

通关一、抛物线性质359

通关二、扡物线焦点弦性质359

结论一、标准方程361

结论二、抛物线焦半径362

结论三、抛物线定义362

结论四、p的几何意义363

结论五、抛物线的通径364

结论六、抛物线最值364

结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值365

结论八、焦半径的倾斜角表示366

结论九、抛物线焦半径比例模型367

结论十、焦点弦长的倾斜角表示367

结论十一、焦点三角形面积368

结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积369

结论十三、焦半径倒数之和为定值370

结论十四、抛物线的中点弦问题371

结论十五、垂直过定点问题371

第53讲直线与圆锥曲线373

通关一、直线与曲线联立373

通关二、中点问题与点差法374

结论一、直线与椭圆交点问题375

结论二、切线问题376

·13·

结论三、弦长问题376

结论四、中点问题377

结论五、垂直问题378

第54讲排列组合380

通关一、分类与分步计数原理380

通关二、排列与排列数380

通关三、组合与组合数380

结论一、加法与乘法原理381

结论二、排列382

结论三、组合383

结论四、特殊元素、特殊位置优先法384

结论五、直接与间接法384

结论六、捆绑与插空法385

结论七、分组与分配386

第55讲二项式定理387

通关一、二项式(a+b)n(n∈N∗)展开式387

通关二、二项式系数与系数387

结论一、展开式特定项系数387

结论二、二项式系数性质388

结论三、(a+b)n与(a-b)n的联系389

结论四、赋值问题389

第56讲统计391

通过一、抽样方法391

通关二、频率分布直方图与茎叶图391

通关三、独立性检验392

通关四、回归分析393

结论一、抽样方法中的计算问题的求法393

结论二、频率分布直方图的理解394

结论三、茎叶图395

结论四、用样本的数字特征估计总体的数字特征396

结论五、独立性检验397

结论六、回归直线方程399

第57讲事件的概率与概型401

通关一、随机事件及其概率401

通关二、概率的几个基本性质401

结论一、独立事件的概率与性402

结论二、条件概率403

结论三、古典概型404

结论四、几何概型405

结论五、随机模拟406

第58讲随机变量分布列、期望与方差408

通关一、离散型随机变量分布列408

通关二、离散型随机变量的均值与方差408

·14·

通关三、正态分布曲缆及特点409

结论一、求解离散型随机变量X的分布到的步骤410

结论二、期望与方差的一般计算步骤411

结论三、二项分布412

结论四、超几何分布413

结论五、利用期望与方差进行决策414

·15·

第1讲集合结论

结论一、集合的互异性

交集A∩B⊆AA∩B⊆BA∩A=AA∩∅=∅A∩B=B∩A

并集A∪B⊇AA∪B⊇BA∪A=AA∪∅=AA∪B=B∪A

补集CU(CUA)=ACUU=∅CU∅=U(CUA)∩A=∅(CUA)∪A=U

对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首

先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例如集合A=a,b,则有a≠b

1设集合A={1,2,3},B=4,5,M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数

为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},所以a+b的值

可能为:1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8.所以M中元素只有:5，6，

7故选B.

2

1已知集合M={x(x-a)x-ax+a-1=0各元素之和等于3,则实数a=

()

3

【答案】2或

2

2

【解析】根据集合中元素的互异性,当方程(x-a)x-ax+a-1=0重根时,重根只能

算一个元素.M={x∣(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.当a=1时,M={0,1},不合题意;当

3

a-1=1,即a=2时,M=∣1,2},符合题意;当a≠1,且a≠2时,a+1+a-1=3,则a=,

2

133

M=,1,,符合题意.综上,a=2或.

222

结论二、集合相等

对于两个集合A与B,如果A⊆B,且B⊆A,那么集合A与B相等,记作A=B.

b

2设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,,b,则b-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

b

【解析】由题意知,0∈1,a+b,a又a≠0,故a+b=0,得=-1,则集合{1,0,a={0,

a

-1,b},可得a=-1,b=1,则b-a=2.故选C.

·16·

2设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,则a+b=()

1=-b

【解析】因为P=Q,所以,所以a=-1,b=-1,所以a+b=-2.

a=-1

结论三、集合子集个数

nn

真子集有2-1个,非空真子集有2-2个.

3已知集合B=(x,y)|4x+3y-12<0,x∈N*,y∈N*,则B的子集个数为()

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】因为集合B=(x,y)∣4x+3y-12<0,x∈N*,y∈N*,

所以B={(1,1),(1,2),(2,1)},所以B中含有3个元素,集合B的子集个数有23=8.

故选D.

3设集合A⊆{1,2,3,4∣,若A至少有3个元索,则这样的A一共有()

A.2个B.4个C.5个D.7个

【答案】C

【解析】因为集合A⊆{1,2,3,4},A至少有3个元素,所以满足条件的集合A有:{1，2,3},

{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},所以这样的A一共有5个.故选C.

结论四、子集与交集

若A⊆B,则A∩B=A;若A∩B=A,则A⊆B.

4已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若A∩B=B,则实数m的值是()

A.0B.2C.0或2D.0或1或2

【答案】C

【解析】因为A∩B=B,所以B⊆A,所以m=0或m=2.故选C.

4已知集合M={x|3+2x-x2>0},N={x|x>a},若M∩N=M,则实数a的取值

范围是()

A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,-1)

【答案】C

【解析】由3+2x-x2>0,即x2-2x-3<0,可得-1<x<3,故M={x|-1<x<3}.

由M∩N=M可得M⊆N,故a∈(-∞,-1].故选C.

结论五、子集与并集

若A⊆B,则A∪B=B;若A∪B=B,则A⊆B.

2

5已知集合P=x|x≤1，M=a.若P∪M=P,则a的取值范围是()

·17·

A.(-∞,-1]B.[1,+∞)

C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

【答案】C

【解析】因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值

范围是[-1,1].故选C.

k1k1

5设全集U=R,若A=xx=+,k∈Z,B=xx=+,k∈Z,则下列正确

3663

的是()

A.CUB⊇CUAB.A∩B=AC.A∪B=AD.CUA⊆B

【答案】B

2k+1k+2

【解析】由A=xx=,k∈Z,B=xx=,k∈Z可得A⊆B,所以A∩B=

66

A.故选B.

结论六、子集与空集

题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.

2

6若集合M=x|x+x-6=0,N=x|ax-1=0,且N⊆M,则实数a=。

11

【答案】0或或-

23

【解析】由x2+x-6=0可得x=2或x=-3,因此M={2,-3}.

(1)若a=0,得N=∅,此时,N⊆M;

11111

(2)若a≠0,得N=.若N⊆M,满足=2或=-3,解得a=或a=-.

aaa23

11

故所求实的值为0或或-.

23

6已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A,则m的取值范围是

【答案】m≤3

【解析】应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.

当m+1>2m-1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A,即m<2;当m+1=2m-1,即

m=2时,B={3},满足B⊆A,即m=2;当m+1<2m-1,即m>2时,由B⊆A,得

m+1≥-2

即2<m≤3;

2m-1≤5

综上,m≤3.故m的取值范围是m≤3.

结论七、交集与空集

由于A∩∅=∅,因此,A∩B=A中的A可以为∅.

7已知集合A=x∣x2-x-12≤0,B={x∣2m-1<x<m+1},且A∩B=B,则

实数m的取值范围为()

A.-1,2B.-1,3C.2,+∞D.-1,+∞

·18·

【答案】D

【解析】由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,得-3≤x≤4,所以A=|x|-3≤x≤

4}.又A∩B=B,所以m≥2.

(1)当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2.

-3≤2m-1,

(2)当B≠∅时,有m+1≤4,⇒-1≤m<2

2m-1<m+1,

综上,m∈[-1,+∞).故选D.

7设A=x|x2-8x+15=0,B={x|ax-1=0,若A∩B=B,实数a组成的集合的

子集有个.

【答案】8

【解析】集合A化简得A={3,5},由A∩B=B知B⊆A,故(I)当B=∅时,即方程ax

-1=0无解,此时a=0符合已知条件.()当B≠∅时,即方程ax-1=0的解为3或5,代人

11113

得a=或.综上,满足条件的a组成的集合为0,,,故其子集共有2=8个.

3535

结论八、并集与空集

由于A∪∅=A,因此,A∪B=B中的A可以为∅.

8已知集合A=|x|x2-2x-3=0,B={x∣mx+1=0},A∪B=A,则m的取值是

()

1111

A.1,-B.0,-1,C.-1,D.0,1,-

3333

【答案】D

【解析】A=x|x2-2x-3=0={x|x=-1或x=3}={-1,3}，B={x|mx+1=0}，

当A∪B=A时,B⊆A.若B=∅,则方程mx+1=0无实数解,此时m=0;B={-1},则

方程mx+1=0的实数解为-1,此时m=1;若B={3},则方程mx+1=0的实数解为3,此

1

时m=-;若B={-1,3},则方程mx+1=0的实数解为-1和3,此时m不存在.综上,m

3

1

的取值是0,1,-.故选D.

3

2

8已知集合P=x|a+1≤x≤2a+1,Q=x|x-3x≤10,若P∪Q=Q,实数a的

取值范围为

【答案】(-∞,2]

【解析】Q={x|x2-3x≤10}={x|-2≤x≤5},因为P∪Q=Q,所以P⊆Q.

(1)当P=∅时,即a+1>2a+1,解得a<0.

a+1≤2a+1,

(2)当P≠∅时,即a+1≥-2,⇒0≤a≤2

2a+1≤5,

综上,实数a的取值范围为(-∞,2].

结论九、反演律(德摩根定律)

·19·

CI(A∩B)=