山东省淄博市沂源县2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题（含答案）

山东淄博市沂源县2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列二次根式是最简二次根式的是（）

a-vlB.

2.若式子v2..|在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x2B.x2C.x2D.x-2

3.下列方程是一元二次方程的是（）

A.=2x,lB.2M3x-0c.r-/ID.2y=O

4.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）

A./-2x=5D-2X2-4X=5C./.4X=5D.=5

5.下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A.一♦|二2xBr+IM)c.XJ-2JC=3D.?-2x=0

6.如果2是方程J-3/Q0的一个根，则常数k的值为（）

A.2B.IC.-lD.-2

7.如图，四边形48co是平行四边形，下列说法不正确的是()

A.当*「即时,四边形48C。是矩形

B.当46=长时,四边形力8CD是菱形

C.当时，四边形48CQ是菱形

D.9（厂时，四边形/SCO是正方形

8.如图，/伙7）是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下:

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乙：分别作//I与的

甲：连接作/（'的

平分线/£、林，分别交

中垂线交8c于E、

BC于点E,交/O于点

F,则四边形是菱

F,则四边形却M事是菱

形

形

则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）

A.汉中止确B.仅乙止确C.中、乙均止确D.中、乙均错误

9.如图，若菱形/加7）的顶点力，5的坐标分别为（3.0）,（2,0）,点。在y轴上，则点C的坐标是（）

C.(4,5)D.(44)

10.如图，点尸是正方形/伙7）的对角线上一点，尸E_L81于点E：P卜.工CD于点、F,连接//,给出下

列五个结论：①②”.//；③,"•/ABAPx④PD二EC；⑤*2/M2，正确的有

A.5B.4C.3D.2

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是

12.已知、/⑵1尸1加，那么a的取值范围是—.

13.若加是方程2--3x-1=0的一个根，则”-加•♦2025的值为

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14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示

的正方形，则图1中菱形的面积为.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形04以.的顶点「在X轴正半轴上，且点彳的坐标为(点〃是对

角线〃•的中点.将菱形依•绕原点。顺时针旋转，每次旋转仪r，则第2024次旋转结束后，点/，的坐标

三、计算题：本大题共2小题，共16分。

16.化简计算：

(3+2石+

17.解方程：

(1)

4?-Kx4l=0

(2)

3?f5(2x41)=0

四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题8分)

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如图，/加7)是正方形，E是1/)边上任意一点，连接/£，作8卜.J.dE，DGL4：，垂足分别为匕(；G.求

证：B卜一DG卜(；•

19.(本小题8分)

阅读下面计算过程：

।二一叵।

V2tl(V2»l)(V2-l)

।1.(6-近J后用

6；废(瓦及).32

।同

&2(7542)(^-2)

试求：

(,)777^6=一!

(2)------!一L(“为正整数)=

⑶六♦右♦右，……的值.

20.(本小题10分)

如图，在A/aC中，48・4C,/D1M,垂足为点。，是&t«C外角/Ct"的平分线，第|垂

足为点E.

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M

BDC

(1)求证：四边形..为矩形；

(2)当八•满足什么条件时，四边形”X，为正方形？给出证明.

21.(本小题10分)

折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学

们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动:

如图1,在矩形/伙7)中，点，“在边,4。上，将矩形纸片/雨。沿所在的直线折叠，使点。落在点。'处,

A“y与取'交于点、N.

如图2,继续将矩形纸片/伙。折叠，使4“恰好落在直线M/7上，点/落在点/处，点/T落在点犷处，

折痕为.

(1)猜想MN与〃的数量关系，并说明理由：

⑵若-3,M)-6,求匿’的长.

22.(本小题11分)

如图，点E是矩形/伙7)的对角线"/)上的一点，且8£=康'，痴-3,做—4,点P为直线".上的一点,

且““灰'于点01次于点后.如图①，当点〃为线段“，中点时，易证得/次〃y

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(1)如图②，当点尸为线段£('上的任意一点(不与点小点C重合)时，其他条件不变，则/次♦20-上是

否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图(3),当点P为线段“•延长线上的任意一点时，其他条件不变，贝心曾与/3之间又具有怎样的数

量美系？

23.

(1)「问题探究］

如图1,在正方形/软。中,对角线/L卅)相交于点。.在线段4)上任取一点尸(端点除外)，连接PH.

DR------------------7c

图1

①求证：PDPB；

②将线段/JP绕点P逆时针旋转，使点。落在Kd的延长线上的点。处.当点P在线段4O上的位置发生变

化时，/OP0的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究与。〃的数量关系，并说明理由.

(2)［辽移探究］

如图2,将正方形换成菱形/取7),且//次’60。，其他条件不变.试探究与(『的数量关系，

并说明理由.

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1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】矩形

12.【答案】a<:

13.【答案】2028

14.【答案】12

15.【答案】

16•【答案】【小题1】

【小题2】

解：（3♦27S）2-（4>V5）（4、5）

=9+l2>/5f20-（16-5）

=9+12/+20-16+5

18M2收

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17.【答案】【小题1】

解：・・,4—二0,

2・

X>

41

gI

X讨=M

-4‘

x

正3

/-

V--4

6

1±-

・2,

6也

1i-J

2I-2

,x

【小题2】

解：原方程整理，得，^x2110x+5=

,：a-36=JO.c=5，

104x3x5-40，

-I0K405±<10

/.x=--------=--------，

2x33

-“痴-5-VlO

4=----，巧=---------

18.【答案】证明：・••四边形/伍7)是正方形,

AB=ADt/lyAB=90,

•.•肝1AEJXi1AE,

JZAFB:ZAGD=ZADG+ZDAG=90，

•・//〃G+/H"=9(r，

:./DAG/HAI,

在M".和.M/X；中，

/RAF=ZADG

vZAFB-ZAGD,

AR-AD

:.ABAF=MDG(AAS)t

：.NhAG,"IX；,

vAGAF+FG,

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RIAG/M；+/G,

・••林-DGFG.

19•【答案】【小题1】

V7-V6

【小题2】

【小题3】

II1II

：1+五'&了……十厢+回♦附

■（丘・1卜……♦（、磁・、9«）.（、100■回）

…5-gy[i-6+……♦厢-麻，痴-回

9.

20•【答案】【小题1】

证明：•"&Ai\AD1H(\

:.ZBAD=/CAD=；/BAC,//PC・90\

；4\是八.，伍.外角/(的平分线，

•・•/CW=/MAN=-/C4”，

2

•••"〃"C4“1X0%

:/M£=£CAD"(〃-/RAC1/CAM900.

22

.(I'.AN,

-Z4R-W,

//DC=90。=ZDAE=/"：(，

.••匹边形为矩形.

【小题2】

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当90"时，四边形为正方形，

证明如下：

-AHA(\/HAC900,

••/ACR/R45。，

・F/九”，

••/。平分/"附’，

.-ZBAC45。，

2

"CAD-〃CD

.CDAD,

♦.♦四边形,〃>C*为矩形,

四边形方N王为正方形.

21•【答案】【小题1】

解：AC21/V，理由如下，

•••四边形/"(7)是矩形,

?.ADUHC.

/(

由折叠的性质得=/("",

/MM

：,MN-CN.

同理：MNAW.

.VVkS\(.

/(2Am.

【小题2】

解：由折叠的性质得ND=3=90°,DC-iye5.MD=M/=6.

设“VACx,

.\A77MirMV6x.

在Ria“/y(中，A7/:♦ireNC.

..(6x)243;xJ.

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解得：x—.

4

2WV号.

22.【答案】【小题1】

解：结论:仍成立.

证明：如图，连接“/，，过点［作CK〃于点火.

皿边形/伙。为矩形,

H(J)M|r',

•.(7)-4H=3.5C=4,

//D=VC^+BC2==5,

•・・Sq=；H(CD=；8/)(A，

.\3x4-5xCK,

：.(K」；，

、(AIMP=|PRBE,，..『二;PQBC,

且S31=S.MP/S..,»

工呜W.

•・•/"：BC,

:.CKPR'PQ,

：CKy,

..PR4PQ-

【小题2】

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解：图（3）中的结论是尸理由如下:

过。作CK1W）交连接册,

:B*HC,

PRPQ（K,

所以图3中的结论足/次/Vy.

23•【答案】【小题1】

①证明：•••四边形/玄。是正方形，

.CD=CB.ZDC<=ZBC4=4$e,

心CP，

•••△DC尸二ABCP,

PD?8；

②/OP0的大小不发生变化，Z/）/X>=W；

证明：作/■/」AB.PN1AD,垂足分别为点M、N,如图,

-ZDXC=ZB4C=45%血B*,

.••四边形4MW是矩形，PM=PN,

:./MYN90",

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•:PD一PQ、PA/一PN,

・R山〃V二）,

：.ZDPN-/QPMt

•••/0/'A+/0P."-9（尸，

"QPN4，DPN=W,即/。产0=9（T；

③40、2OP；