指数函数与对数函数（知识清单+7典例讲义+6方法技巧+分层训练）原卷版-2027届高考数学一轮复习

第13讲指数函数与对数函数

(知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练)

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近3年考查情况题型分值

指数对数大小比较、对数运算性质l0gaMN=10gaM+k)gaN、函数定点(1,0)单选、填空5分

题

对数函数单调性、对数不等式求解10g2(%-1)<1单选、多选5分/6分

题

复合指数函数y=2/-2》单调区间与最值填空题5分

012

指对辕综合比大小：a=2,b=Iog20.1,c=0.1单选题5分

对数换底公式】Ogab=*化简求值单选、解答5分/10分

题

指数型偶函数判定f(%)=标+a-单选题5分

复合对数函数y=logo.5(/-1)定义域、单调性判断单选题5分

指数不等式求解2“1>4“】，同底转化单调性单选题5分

【知识点01】根式

(1)一般地，如果炉=凡那么x叫做i的〃次方根，其中且"WN*.

(2)式子，0叫做根式，这里n叫做根指数.叫做被开方数.

(3)(近)"=@.

当〃为奇数时,

当〃为偶数时，9=同=伫』

【例i】化简下列根式：（1）（昨守；（2）VF可

【知识点02】分数指数第

m

正数的正分数指数幕：='y/a^（a>0jn,n£N*,〃>1）.

m11

正数的负分数指数‘暴：a-n=-4=备（。>0,

0的正分数指数幕等于QQ的负分数指数幕没有意义.

【例2】将下列根式化为分数指数事：（I）相；（2）专

【知识点03】指数塞的运算性质

aras=ar^x"）』贮；（协=建3>06>0"£R）.

【例3】化简成♦成+而

【知识点04】对数的概念

一般地，如果"=MQ（）,且。力）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作尸1。义四,其中更叫做对数的底数，”叫做真

数.

以1（）为底的对数叫做常用对数，记作上乂

以e为底的对数叫做自然对数，记作InJV.

【例4】将指数式化为对数式：（1）34=81；（2）2-3=；

O

【知识点05】对数的性质与运算性质

,ogflAF>

(1)对数的性质：log(/l=0,log^=La=/V(«0,-ELa#l,N>0).

⑵对数的运算性质

如果a>0,且aK那么：

®logM(/W/V)=logaM+lOg〃N；

②1。%々=loa〃N；

③log“M=mog"M(〃£R).

(3)对数换底公式：1。幽=瞥3>0，且。#1；/»0；c>0.且cWl).

logc。

【例5】i+^log612+log63-log66

【知识点06】指数函数及其性质

⑴概念：一般地，函数尸）3>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

⑵指数函数的图象与性质

a>\0<«<1

\y

图象..半%一

-o|i*

-Oli""、

定义域R

值域(0.+8)

过定点(01),即x=0时,y=1

当.v>0时J>1：当.r<0时J>1；

性质

当x<0时.0vy<l当A>0时,0vy<l

增函数减函数

【例6】比较大小：1.8。5与1.8。3

【知识点07】对数函数的图象与性质

a>\0<。<1

[x=l.y

；y=】og/X=1

5.。)

图象

o

：尸lo&A

定义域(0,+8)

值域R

过定点mil,即x=1吐）=（）

性质

当心＞i时，垃；当x>l时,y<0：

当0<x〈l时,v<0当O0V1时,v>0

增函数减函数

【例7】求y=log2a-2）的定义域与单调区间

【知识点08】反函数

指数函数y=r（A0,且a#1）与对数函数y=log,M»0,且〃知）互为反函数,它们的图象关于直线尸x对称.

【例8】已知指数函数y=3、过点（2,9）,求其反函数所过定点，并写出反函数解析式.

0k典例精讲

【题型一】根式与指数幕化简求值

【例1】（2026.重庆沙坪坝.模拟预测）已知集合A={0,1,4},B={l,&/+3},若A=B,则＞=（）

A.yj2B.2C.-1D.1

【变式1】（2026.陕西榆林•三模）己知实数a＞0且awl,h^R.函数,“丫）=■+一十]，若/⑴=3,则

/（-＞）=（）

A.-2B.2C.-3D.3

【变式2】（2026•山西临汾•二模）已知小=4（。＞0,且〃工1）,则〃[+"]=.

【变式3】（2026・陕西安康・三模）若2"=/〃,3=〃，则4“­27"=.（用加，〃表示）

【题型二】对数式化简与求值

【例1】（2026•河南•模拟预测〉1限回】75。+1皿15。）=（）

A.1B.y[iC.75D.2

a、I

【变式1]（2026.甘肃武威.模拟预测）已知函数/。）=/一，若/（〃）=：,则/（-。）=（）

3+15

1「2n4

A.—B.-C.—D.一

195105

【变式2】（2026.山东泰安・模拟预测）已知3m=&，〃=1/36,则〃-2〃?=.

【变式3】（2026.安徽合肥.模拟预测）已知1暇（1。8/）+1呜（1。84）=2,贝ljx=.

【题型三】指数、对数函数定义域求解

【例3】（2025•黑龙江•二模）已知命题〃：Vxe（0,+8）,x>L命题4:小£（0,+8）,。,=111¥,则（）

A.。和4都是真命题B.和q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.力和F都是真命题

【变式1】（多选）（2024.广东.模拟预测）已知函数〃力=11112门+间则（）

A.当小〉;时，/“）的定义域为R

B."X）一定存在最小值

c..«人）的图象关于直线人=-3对称

D.当时，/'（%）的值域为R

【变式2】（2026・贵州毕节•一模）函数〃"=1H2026（/-16耳的定义域为.

【变式3】（2025•湖北恩施•模拟预测）若函数/（幻=皿（奴2-2利+2）定义域为R,则〃的取值范围是

【题型四】指数函数、对数函数的值域

【例4】（2025•甘肃武威・模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（）

A.1/(x)=ln(V^2+l+xjB./(x)=In(&+[_,

C./(x)=InVx2+1+xD./(x)=ln>/x2+1-x

【变式1】（多选）（2026•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知函数=设a/wR且。工〃，下列说法正

k2/

确的有（）

A.f(a)>0B.f(a+b)=f(a)f(b)

D,当匕3<0

C.

佃号a-b

3〉

【变式2】（2025・贵州•二模）已知函数f（x）=（«>0）的图象经过点P（肛3）,Q(小—2).若3"+"=25〃〃”

3x-ax

则"=______

【变式3】（2。25・陕西西安•一模）已知函数g（x）=$,且函数的图象与g。）的图象关于直线x=T对

称.

⑴求了（4）的解析式;

（2）证明：/«>（）.

【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式

【例5】（2026・四川眉山•模拟预测）己知集合A={.\愣>9},集合8={1,2,3,4,5},则（）

A.{2}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【变式1］（多选）（2025・湖北孝感・三模）已知函数〃x）=bga|x-1|在区间（f1）上单调递增，则（）

A.0<。<1B.a>\

C.F（a+2022）>/（2023）D./（^+2022）</（2023）

【变式2】（2025•福建宁德•三模）设函数则满足/"）</（工-1）的x的取值范围是.

4

【变式3】（2025•河北张家口•模拟预测）己知奇函数——-（awR）.

1+2

⑴求。的值；

⑵若对于任意的xw-11,不等式/（，加+x+〃l）+/任-时20恒成立，求〃?的取值范围.

【题型六】比较指数幕、对数式的大小

【例6】（2026・云南•模拟预测）已知。=2"力=3三cnlogQ,则（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.b>a>c

【变式1】（2026•山东临沂・二模）已知实数1y,z满足r3，=/og2），=z310g?z=l,则（）

A.x<y<zB.z<y<xC."zvxD.xvzvy

【变式2］（2024•河北衡水•模拟预测）己知。=怆99,ib=log310,c=KXT0%则（）

A.c<a<bB.c<h<aC.b<a<cD.a<c<b

【变式3］（2024•全国•模拟预测）已知命题“对于Br«0,x）,为真命题，写出符合条件的。的一个

值:

【题型七】反函数问题

【例7】（2026•广东广州•二模）若函数），=."幻的图象与），=log/+〃的图象关于直线y=x对称，且/（2）=18,则

A.-9B.-log,2C.log,2D.9

【变式1］（2025•辽宁鞍山•一模）函数），=-底』2?"的反函数是（）

B.y=^x2-2x+4?x<(

A.y=-x2-2x-4tx<2)

,2

C.y=1x2-2x-4?x>(D.y=^x2-2x+4?x>(

【变式2］（多选）（2024•湖南怀化•一模）已知函数），=x+巳、的本点为阳,y=x+的零点为％2，则（）

A..v(+x2>0B.x{x2<0

r,

C.e+lius=0D.xix2-X]+x2>1

【变式3］（2025•陕西宝鸡•二模）已知不再分别是函数〃力=4+%-2,g（%）=lnx+<-2的零点,则eJlnx?的

值为

【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧

技巧原理：所有根式、负指数、分数有数统一化为幕形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出

错。

核心公式:

arn

am.an=m+nmn

aa~,IogaM+logaN=loga(MN)

【例1】计算iog48+VI*

【解题大招02］指对函数定义域秒杀技巧

技巧口诀：对数真数必大于0,底数大于0且不为1,分母不为0,根式非负，多重限制联立求解。

【例2】求〃乃=品不的定义域

【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法

技巧原理：设复合函数y="9(%)),内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。

xx

单层单调性：n>1,y=a.y=logar递增：Ovavl,y=a.y=logar递减。

【例3】求y=logi(x2-4x)的单调区间

2

【解题大招041指对嘉数值大小比较

解题套路：找中间量0、1分层，先分层再精细对比。

1.指数：a>1底数大则值大；0VaV1底数大则值小;

2.对数：logaX>0(x>1),logax<0(0<x<1)O

3

【例4】比较a=3。2/=log30.2,c=0.2大小

【解题大招05】指数、对数不等式通用解法

核心规则：同底函数单调性脱壳，a>1不等号不变，0<Q<1不等号反向，对数必须保留其数大于0。

【例5］解不等式22%T>2^+3

【解题大招06］反函数性质秒杀技巧

核心结论：y=与y=loga无互为反函数，图象关于y=x对称；原函数点（m,n）,反函数必过（忆旭）。

【例6】已知y=2"过点（3,8）,求其反函数定点。

感>分层训练

【基础过关】（共8题）

一、单选题

1.（2U26•甘肃兰州•模拟预测）记。=2-2，方c=log^6*则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

2.（2026•山西•二模）集合A={即2*2},5={），eN,>8},则A08=（）

A.（3,e2]B.{3,456,7,8}C.{4,5,6,7}D.0

3.（2026•河北保定•三模）已知集合4={xeZ|lnx>l},4={-1,0,1,2,3,4},则AcA的非空真子笑的个数为（）

A.0B.2C.4D.6

二、多选题

4.（2025•河北保定•二模）若函数人幻=也卜总（2/）,则（）

A./(.r)为减函数B./(x)=1ox=5

C./(x)的值域为RD./(x)<2<=>x<50

三、填空题

5.(2026・浙江绍兴•模拟预测)已知〃log*=l,则2-"=.

e'v1

6.(2026•云南•模拟预测)已知/(”=〈’",则/(〃2))=_______

liu;x>\

四、解答题

7.(2024•山东•模拟预测)计算：

(1)(一兀)°+(1.5/再;

(2)V^+疗.行

8.(2024・广东肇庆•一模)已知函数/,)=利"(其中。，。为常量，且。>0,〃工1,。工0)的图象经过点

4(1,10),8(2,50).

(1)求〃的值；

⑵若关于1的不等式(口'之〃?+3在［-2,2］上有解，求”的取值范围.

【拔高选练】(共6题)

一、单选题

1.（2026•陕西榆林•模拟预测）已知集合A=，y|），=（g）,,集合4={xcZ|f_2x-3v（）},则4B=（）

A.（-1,3）B.（0,3）C.{1,2}D.{0,1,2}

2.（2026•山东德州•模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数A与训练数据量x

（单位：GB）的关系式为A=%.].5竽，其中女为常数.当训练数据量为e4GB时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准

确率提升倍数A达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量

约为（）（参考数据：ln2^0.7,ln3«l.l,ln!0«2.3）

A.IO48GBB.IO51GBC.IO54GBD.IO57GB

二、多选题

3.（2026.安徽合肥.模拟预测）已知函数/（x）=log3±|，则（）

人I1

A./（力是奇函数B.一目+2/⑶=1

C.“X）在区间（田,一1）上单调递漕D./（x）</（x2）

三、填空题

4.（2026・江苏•模拟预测）已知A8两点在函数〃力=4'（1>0）的殴象上，C。两点在函数g（x）=2'（x>0）的图象

上，且AD平行于x轴，AC和3。平