立体几何与空间向量解答题（讲义）-2026届高三数学二轮复习（原卷版）

立体几何与空间向量解答题（各种类型）

【题型1求异面直线所成的角】

顼律历法一

求异面直线所成角的方法：

1、通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，将角都放在三角形中，利用余弦定理求解。

2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤

（1）建立空间直角坐标系；

（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；

（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

（4）注意两异面直线所成角的范围是（0,亨即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝

对值.

异面直线所成角：设异面直线小〃所成的角为仇贝iJcos〃=巴旦，其中。，人分别是直线小的方向向

\a\\b\

量.

1.（2025・安徽六安•模拟预测）如图，矩形人8CQ所在的平面和半圆弧AMD所在的平面垂直，且八/>=2八8=4,

NM4/)=60,夕是CM的中点.

（1）证明：AM//平面8DP.（2）证明：⑶求异面直线BM,OP所成角的余弦值.

【题型2求直线与平面所成的角】

规律与方法

求线面角的常用方法:

1、直接作出线面角求解;

2、等体积法求出直线上一点到平面的距离，通过直角三角形可直接确定线面角的正弦值;

3、用向量法求解直线与平面所成角：设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为〃，直线/与平面a所成

的角为夕，向量e与〃的夹角为〃，则有sinc=|cosM

n\\e

1.如图，四棱锥P-A8C。中，布_L底面4BCZ）,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段A。上一点,

AM=2MO,N为PC的中点.

⑴证明MN〃平面PABx

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

2.如图，在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长2的等边三角形，PA=PC=石，点尸在线段8C上，且FC=3BF,

。为AC的中点，E为的PD中点.

(I)求证：肢〃平面Q43；

(II)若二面角P-AC-B的平面角的大小为y,求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.

【题型3求平面与平面所成的角】

规律与方法

求二面角的常用方法

1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形,利用余弦定理求解：

2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一面的垂线，过垂足作楂的垂线，连接点与棱上的垂足，即可

得到二面角的平面角；

3、垂许法：己知二面角内一点到两个半平面的垂线，过两垂线的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角

的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

4、向量法：

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得

到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求知的大小；

（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,

则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小

"A

|cos^|=|cos6>|=­H—

勺%

1.（2023•全国•高考真题）如图，三棱锥4一48中，DA=DB=DC,BD1CD,NADB=NADC=6O,E为

AC的中点.

（2）点/满足E〃=D4,求二面角。-八4-歹的正弦值.

2.（23-24高三下•山东荷泽・月考）如图所示，平面ACFEJ_平面A8C。，旦四边形人。石是矩形，在四边形A8CO

中，ZADC=\20°,2AB=2AD=2CD=BC=6,

一2一

（I）若EM=§E广，求证：AM//平面小）/；

（2）若直线切•与平面A8CD所成角为:，求平面8£D与平面8C/所成锐二面角的余弦值.

3.（2025•全国二卷•高考真题）如图，在四边形A3CD中，AB//CD,ZDAB=90°,产为CO的中点，点正在

上，EF//AD,48=34。,。。二2八。.将四边形瓦7%沿£：尸翻折至四边形£血4',

使得面£FD7T与面EFCB所成的二面角为60。.

⑴证明：A3//平面8'产；

（2）求面BCD'与面EFD'S所成的二面角的正弦值.

AEB

【题型4求空间距离】_____________________________________________________________________________

规律与方法

求空间距离的常用方法：

1、直接法：根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，井进行求解；

2、转化法：如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线

面距和面面距转化为点面距；

3、体积法：对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三楂

锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的；

4、向量法：在立体儿何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法

来求就会很方便。

（1）点到直线的距禽：已知直线”勺单位方向向量为小A是直线/上的定点，P是直线/外一点，

设向量力在直线/上的投影向量为殴="，则点p到直线/的距离为qf一（0〃）2.

（2）点到平面的距离：已知平面。的法向量为〃,4是平面夕内的任一点，尸是平面。外一点，过点P

作则平面a的垂线/,交平面a于点。，则点P到平面a的距离为PQ=4£?

I\n\

（3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

ABn

直线。与平面a之间的距离：d=，其中Bea,〃是平面a的法向量。

ABn

两平行平面a,〃之间的距离：d=——f其中〃是平面a的法向量。

1.（23-24高三下•四川•模拟预测）如图，四棱锥S-A8C力中，底面ABCD为菱形，ND48=1,侧面二SCO是边

长为4的正三角形，S4=2ji6.

（I）证明：平面SCOJ■平面4BCQ；

（2）求点A到平面SBC的距离.

2.（23-24高三下•吉林•模拟预测）妇图，在四棱锥P-A4c。中，24_1平面人8。力,刊?=入7=2、/,

%=改7=2A。=2。。=4,石为3。中点，点尸在梭/格上（不包括端点）.

（1）证明：平面4。_1_平面以。；

（2）若点歹为网的中点，求直线E尸到平面PC。的距离.

【题型5利用向量解决探究性问题】

[规律与方法

;假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建

\方程（组）求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。

j常见位置关系的假设方式：

\尸在直线A8上：三之£冗，使得=

\户在射线48上：三兄£[0,+8）,使得=

尸在线段43上：三几£[0,1],使得AP二；IAB

JP在平面AMN上：三九月£心使得AP=44M+^MN

1.（2025•新疆喀什•三模）如图，在aABC中,ACA.BC,AB=2BC=6,E为AB

的中点，过点£作。£_2/18交AC于点。，将VAO石沿。£翻折至,得到

四棱锥P-BCOE,F为棱PB上一动点（不包含端点）.

⑴若尸为棱”8的中点，证明：CF"平面PDE；

⑵若吁3a，直线稗与平面BCDE所成角的正弦值为冬（团）求若；（0）

求点F到平面PC力的距离.

2.(25-26高三上•黑龙江绥化•开学考试)如图，四棱锥0-A4CD的底面ABC。是正方形，电＞_1_平面48。。,

尸。=4。=2.已知£/分别为PA尸。的中点，平面DEF与棱/有交于点G.

(1)求证：OE_L平面以8：

(2)求平面CDG与平面A8CQ的夹角的余弦值；

⑶判断线段环上是否存在一点“，使得点”到平面CDG的距离为正

?若存在,

10

请求出点〃的位置；若不存在，请说明理由.

3.(23-24高三下.全国•一模)如图，棱柱A8CO-4用GA的所有棱长都等于2,且乙4BC=44/。=60°,平面

(1)求平面04A与平面CAA所成角的余弦值:

(2)在棱CG所在直线上是否存在点P，使得8P//平面。AC.若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理

由.

【题型6空间几何中的最值范围问题】

规律与方法

1、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对•称点A,从而利用三角形

两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.

2、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系，动中

觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬向，是运动的一种特殊形式，然而抓住“静”

的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.

3.转化为函数问题。

1.（2025・湖南永州•模拟预测）如图，在三棱锥4一BC。中，。。_1平面48£>,AB=BD=CD,七是AO的中点,

产是线段AC上的一点（不含端点）.

（1）证明：8后_1平面42。；

⑵若二面角A-CO-8的大小为求直线环与平面ACO所成角的正弦值的最大值.

2.（2025•广西•模拟预测）如图，在四棱锥P-AACD中，底面A8CD是菱形，/班。=120。，AB=2,AC\BD=O,

POJ_底面A8CO,OP=2,点E在棱夕。上.

⑴求证：平面ACEL平面P8O；

⑵当CE取得最小值时，求二面角2-AC-石的余弦值.

3.如图，夕为圆锥的顶点，0是圆隹底面的圆心，4c为底面直径，△ABO为底面圆。的内接正三角形，且边

长为在母线PC上，且AE=y/i,CE=l,EC工BD.

E

(1)求证：平面8EZ)J_平面/W£)；

(2)设线段PO上动点为M,求直线OM与平面A电所成角的正弦值的最大值.

(3人坐。同。,一冬。,E0,0岑)鸣,0,,of-,0,0

则A-,0,0

乙12

...=.ol/\E=f--,O,—l,DO=f-,—,oloP=(0.0,V3)

22।22221)

设平面ABE的法向量为〃=(x,y,z),

题型7：与球相关的问题

1.(2025•陕西西安•二模)如图，已如三棱锥P-A8cA8=4C=。0=1,BP=2,8C=应,NC4P=30.

⑴证明：平面0ACL平面A8C；

。)若三棱锥。-八8。的各顶点都在球。的球面上，求球。的半径:

⑶求直线”与平面3cp所成的角的正弦值.

2(2526高三上•安徽蚌埠•开学考试)如图，在四棱锥/>-A3C。中，VA8C是正三角形,

DA=DC,PA=PC,BD1PA.

⑴求证：平面PAC_L平面A8CD；

⑵设48=26，若点H4B,C,。均在球。的球面上且点。在平面ABCD内.

(i)求四棱锥Q-4AC力的体积；

(ii)求平面必为与平面PC8的夹角的余弦值.

课后作业:

1.(2024•天津•高考真题)如图，在四楂柱A8CO-AgCQ中，AA_L平面48cO,AB1AD.AB//DC,

AB=AA,=2,AD=DC=\.M.N分别为的中点，

⑴求证：DN〃平面CBM；

(2)求平面与平面B8CC夹角余弦值;

⑶求点8到平面CqM的距离.

2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2省的菱形，N8AO=!，平面?ACJL平面48cO,PD1AB.

(1)证明：PB=PD；

(2)设直线CF与平面A6CO所成角为3.

(i)求四棱锥P-人4S的体积；

(ii)若点M为棱CP上的动点(不包括端点)，求二面角A-8M-C的正弦值的最小值.

3.在三棱锥P-ABC中，平面PA3_L平面4BC,AB=2G，8。=2/。=42幺8是等腰直角三角形，PA=PB.

(1)求证：幺_1平面。3。；

(2)求异面直线依与4c的夹角的余弦值;

⑶设点7是三棱锥尸-/WC外接球上一点，求T到平面PBC距离的最大值.

4。(24-25高三上•福建福州・月考)如图，在直四棱柱"C。-人蜴CQ中，底面四边形ABCO为梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=2五，8c=4.

(1)证明：A4_L他;

(2)若直线A8与平面所成角的正弦值为无，求直线BD到平面5CR的距离.

5.(24-25高三上•广东深圳・月考)如图，将长方形。(及其内部)绕。«旋转•周形成圆柱，其中。4=1,

0a=2,劣弧AB的长为a,A4为