平面与平面垂直（基础练）原卷版

第八章立体几何初步

8.6.3平面与平面垂直（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.下列命题正确的是（）

A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直

B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行

C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直

D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行

2.在边长为1的菱形ABCQ中，NA3c=60。，把菱形沿对角线AC折起，使折起后

BD=—,则二面角8—AC—O的余弦值为（）

2

A1R1r2V2NA/3

3232

3.若平面a,B满足a_LB,aClB=l,PEa,PCI,下列命题为假命题的是（）

A.过点P垂直于平面a的直线平行于平面B

B.过点P垂直于直线1的直线在平面a内

C.过点P垂直于平面B的直线在平面a内

D.过点P且在平面a内垂直于1的直线必垂直于平面B

4.己知平面生/和直线！，则下列说法正确的是（）

A.若/〃a,/〃尸，则a〃/B.若///a,/u//,则。〃力

C.若/_La,/u£,则。_1_4I）.若/则。_14

5.己知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）

A.若加//尸，〃二，aJ_q，则〃?_L〃

B.若m_La,则a〃夕

C.若〃？//a,〃//£,a11P.则加〃"

D.若a10,a'p=m,〃u/?,tnLn,则〃_La

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多

选不得分）

6.己知平面a,。,直线1,m,且有7_La,〃?u/7,下列结论正确的有（）

A.若。〃力，贝B.若〃/〃?，则。_LQ

。若。_14，则〃D.若/_L〃?，则a%

7.如图直角梯形A8CQ中，AB//CD,AB工BC,BC=CD=-AB=\,E为48中

2

点.以力七为折痕把「.AOE折起，使点A到达点P的位置，且尸。=6则（）

A.平面「石£>_1_平面2。£）B.PC上BD

C.二面角尸一。C—8的大小为工D.PC与平面庄D所成角的正切值为立

39

8.如图，在三棱柱ABC-A用G中，CG，底面ABC,AC_LC8,点。是A3上的动

点.下列结论错误的是

A.AC1BC}

B.存在点。，使得4a〃平面CDB1

C.不存在点。，使得平面。。四_1_平面A4万8

D.三棱锥A-CO4的体积是定值

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一

空2分）

9.已知平面a_L平面B,直线1_L平面B,则直线1与平面a的位置关系为.

10.如图，PAJLCO所在的平面，是。0的直径，C是。。上的一点，分别是

点A在P3,尸。上的射影.给出下列结论：

®AF±PB；②EF1PB；③A尸_L3C；④4石_1_面03c.

其中正确命题的序号是.

11.如图所示，四棱锥。-4BCO的底面4BCO是边长为1的菱形，Z^CD=60°,E是

C7）的中点，B4_L底面ABCD,PA=2.

平面PAE与平面Q43的位置关系是；平面PAD和平面夕的所成的二面角的正弦

值________.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。）

12.如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于底面底BJ_BC,E、F分别是AC、BC的中点.

（1）求证:平面ABEJL平面BiBCCi；

⑵求证:CF〃平面ABE.

A级必备知识基础练

1」探究点一］如图所示，在三棱锥P-A8C中，附_L平面AAC,NMC=90。,则二面角8-%-C的大

小为（）

8

A.90°B.60c

C.45°D.30°

2」探究点三］在长方体向GOi的棱A4上任取一点E,作EFA.AiBi于点£则无厂与平

面4用iG小的关系是（）

A.平行

B.Eru平面ABICDI

C.相交但不垂直

D.垂直

3」探究点三］设a/为不重合的平面,〃八〃为不重合的直线厕下列命题正确的是（）

A.若〃1_1_夕,。_1_及则tn//a

B.若/〃ua,〃uA〃?_L〃,贝ljn_a

C.若i〃〃夕，则

D.若_L以/〃_L£,则mLa

4」探究点三］如图所示ABC。为空间四点，在△A8C中48=24C=BC=O,等边三角形AOB

以AB为轴运动,当平面AD8J_平面ABC时,CD=.

5」探究点三］如图,在空间四边形ABCD中，平面48D_L平面8CQ,/8A0=90。,且A8=4D,则

AD与平面BCD所成的角是.

6」探究点三］如图，在三棱锥P-ABC中，平面两。_!_平面ABC,且/%090。,必=1,AB=2,则

PB=

7.［探究点三］三棱锥V-ABC中，平面以4J.平面ABC,^VAB为等边三角形工CJ_8C且

AC=8C=Q,O,M分别为”,例的中点.

(1)求证:丫3〃平面MOC;

(2)求证:平面MOC_L平面VAB\

(3)求点B到平面MOC的距离.

8」探究点一、二］如图所示,四棱锥P-ABCD的底面4BCD是边长为1的菱形,N8CD=60。方

是CD的中点，阴_L底面

(I)求证:平面平面布优

（2）求二面角A-RE-P的大小.

B级关键能力提升练

9.如图所示,三棱锥P-A8c的底面在平面Q内，且AC_LPC,平面以C_L平面PBC,点PA3是定

点,则动点。的轨迹是（）

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

10.（多选题）设是两条不同的直线,a/是两个不同的平面，给出如下命题,其中正确的是

（）

A.若a±pyaC\p=w,nca,/?1my510nA.p

B.若a_L//,且〃_1_夕”_1_，〃，则w±a

C.若a_1_伙机则m!/a

D.若Q_LK，〃〃a4Jtn邛

H.如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中,/孙。=90。,8。1_L4C,则过点G作G”J_平面ABC垂足

为“，则”必在（）

A.直线A8上

B.直线8C上

C.直线AC上

口.△48C的内部

12.（多选题）如图，在四棱锥P-A8CD中，底面A8CQ为菱形,ND48=60。,侧面以。为正三角形,

且平面附加J■平面/WCD则下列说法正确的是（）

A.在棱40上存在点忆使4。_1_平面PMB

B.异面直线A。与P8所成的角为90。

C.二面角P-BC-A的大小为45°

D.8O_L平面PAC

13.如图A氏CQ为空间四点，在△A4C中44=2/C=8C=我等边三角形AQ8以"为轴运动,

当平面平面ABC时,CQ二.

14.如图,Z\A6c和△5C。所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2.ZABC=ZDBC=120°,£,F,G

分别为AC,。。工。的中点.

A

⑴求证:£7」平面BCG;

(2)求三棱锥D-BCG的体积.

15.图1是由矩形ADEB^ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=\,BE=BF=2,

NF4C=60。.将其沿AB.BC折起使得BE与BF重合，连接0G如图2.

图2

(1)证明:图2中的4,C,G。四点共面,且平面A8CJ_平面BCGE;

(2)求图2中的四边形ACG。的面积.

16.如图，在三棱锥P-ABC中,P/壮平面ABC4ABC是直角三角形,448。=90。,/“，=8。=2,/

附3=45。,。石下分别为AC,AB,BC的中点.

(1)求证:£：/_12。；

(2)求直线P户与平面PB。所成的角的正弦值;

(3)求二面角EPF-B的平面角的正切值.

C级学科素养创新练

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面%C_L平面ABCD.R%_LAC,以=40=2,四边形ABCD满

足BC//ADABLADAB=BC=\,FPC上的任意一点.

(1)求证:平面"平面PAI3.

⑵是否存在点E使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长;

若不存在,请说明理山.

参考答案

1.A•・・也_1平面A8CBA.C4U平面ABC.

因此NH4C即为二面角B-B4-C的平面角.

又NB4C=90。,故选A.

2.D在长方体ABCD-AB\CyD｝中，平面4AB8_L平面且平面AM881n平面

4BGDi=A|Bi,又ER=平面A|A88|,E)_LA•,・・・所_1_平面ABCD,D正确.

3.D当mua时,〃?_1_夕,。_1_夕也可以成立，所以A选项错误;若aD/?=〃,显然〃ua,这时

〃?ua,〃u/V〃_!_〃也可以成立，所以B选项错误;当m//n时，显然a,〃〃“成立，所以

C选项错误;因为，…小〃人及所以加〃儿又因为〃，兄所以〃?_1_。,所以D选项正确.故选D.

4.2取A8的中点、瓦连接DE,CE.因为AADB是等边三角彩，所以DE上AB.当平面ADB

，平面ABC时，因为平面A。8n平面A8C=AB,且。&LA8,所以DE_L平面A8C,故OEJ_

CE.

由已知可得DE=6,EC=\、在RtADEC中,

y/DE2+CP

CD=

5.45°

过A作AO_LBO于点O,

A

•・•平面A8O_L平面BCD,

，AOJ_平面BCD则ZADO即为AO与平面BCD所成的角.

■:/84。=90。,48=4。，

・•・NAOO=45。.

6.蓬•・•平面%C_L平面48C,平面%C与平面A8C的交线为4。,/8^=90。,%(=平面

PAC,

，%_L平面A8C,

又A8u平面A8C,・••必_LA8,

.JPA2+AB2=JN+22=6

••PB=

7.(1)证明・・・0,M分别为A仇仇的中点,・・・OM〃VA

又VBQ平面MOCOMu平面MOQ

・"8〃平面MOC.

(2)证明.・・4C=〃C,。为AB的中点,.・.OC_LAA

又平面％8_1_平面A8C,平面弘8n平面A8OA仇且OCu平面ABC,

・・・OCJ•平面以及又OCu平面MOC,

・•・平面MOCJ_平面VAB.

(3)解连接加反丫0,过时作加。_1_人员垂足为Q图略，设”为点B到平面MOC的距离/为

点M到平面BOC的距离.

,**V.MBOC=VBMOC,:・3s^Bocxh=^SdMocXh：

•・•平面%8_1_平面A8C*0_LA8,，VO_L平面ABC.

又为等边三角形/CJ_BC且4C=8C=e,0为AB中点,・・.W?=H.

又MD±AB,M为E4中点,・・・/3。="0=/尸2.

*/SABOC=2X1x1=2,SA,WOC=2X1X1=2,

：.h'=2，即点B到平面MOC的距离为2.

8.(1)证明如图所示，连接B。,由底面A8CO是菱形且NBCD=60。知,△BCO是等边三角形.

因为E是CO的中点，所以BELCD.

又因为人3〃。。,所以8七_1_人3.

又因为%_L平面A8CO,8Eu平面ABCD,

所以以_L8£而PAQAB=A,

因此8E_L平面PAB.

又因为BEu平面PBE,所以平面P8从L平面PAB.

(2)解由(1)知,8E_L平面朋B,P8u平面PAI3.

所以P8_LB£又因为4B_L8E,

所以/P8A是二面角A-BE-P的平面角.

在Rl△布B中,tan/尸BAJ'，/尸84=60。,故二面角A-BE-P的大小是60°.

9.D•・•平面B4C_L平面P8C,ACJ_PC，平面BACTl平面PBC二「CACu平面PAC,：.ACL

平面PBC.

又BCu平面PBC,：.AC1BC.：.ZACB=90°.

・•・动点C的轨迹是以A8为直径的圆，除去A和B两点.

10.AC根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中刈还可能在。内或〃?〃。或/"与a

斜交,B不正确;C中,a_L£,〃…小〃血a时，只可能有，〃〃a,C正确;D中,切与夕的位置关系可

能是m//p或mup或〃？与夕相交,D不正确.故选AC.

11.A因为8G_LAC48J_AC8GnA8=8,

所以4cL平面A8G.

因为ACu平面48C,所以平面48c_L平面ABC\.

又因为平面A8CCI平面ABC\=AB,

所以过点Ci再作G”_L平面ABCMHWAB,

即”在直线上.

12.ABC如图，对于A,取AD的中点M,连接PMBM「：侧面PAD为正三角形，

・・・FM_LA£),又底面A8CD是菱形，ND45=60°,I.△月5。是等边三角形，，A。J_6M,又

PMCBM=M,PM,BMu平日PMB,

・・・AD_L平而PMB,故A正确；

对于B「・・AO_L平面刊?必・・/。，。8,即异面直线4。与P8所成的角为90°,故B正确；

对于C「・•平而P8CCI平面ABCD=BC,BC〃AD,

.•・8CJ_平面PBM、：.BC工PB,BC上BM、

：./PBM是二面角P-BC-A的平面角，设A8=l,则BM=2,PM=2,

PM

在RtAPBM中,tan/P8MJ"=l,即NP8M=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正

确；

对于D,因为8。与外不垂直，所以8。与平面%C不垂直，故D错误.

13.2取AB的中点E,连接DE,CE,

因为是等边三角形，所以DE1AB.

当平面AD8L平面ABC时，

因为平面ADBC\平面ABC=AB,

所以。£_1_平面ABC.

可知。E_LC£.

6JD^+CE2

由已知可得DE=V3,EC=1,在RtADEC+,CD==2.

14.(1)证明・.•A8=8C=8D=2,ZABC=ZDBC=120。,

:.△AB8ADBC,，AC二DC

•:G为AD的中点,・・・CG_LAa

同理8G_LAD

•・・CGnBG=G,CG8Gu平面BCG,

・・・ADJ_平面BCG

又E,F分别是AC.CD的中点,

・•・£万〃AQ.・•・£/_!_平面BCG.

⑵解在平面ABC内，作A0_LC8,交CB的延长线于点0.

V/\ABC^/\BCD所在平面互相垂直，平面A6CA平面3cO=8C,且AOu平面ABC,

・・・AOJ_平面BCD.

・:G为A。的中点，

点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.

在

在AAOB中/。=ABsin60°=^,.,.//=<

11

△BCD的面枳S^cD=2BCBDsinZZ?BC=2x2x2xsin120°=^.

iixV3x^=l

•9•VDBCG=VGBCD=S^BCD-^=3***

15.(1)证明由已知得BE,CG〃BE的以AO〃CG,故AD,CG确定一个平面，从而

A,C,G,O四点共面.

由已知得A8_L8E,A8_L3C,故A8_L平面BCGE.

又因为A8u平面A8C,所以平面A〃CJ■平面BCGE.

(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为A8〃OE/BJ_平面BCGE,所以OE_L平面BCGE,

故DE.LCG

由已知，四边形8CGE是菱形，且NE8C=60。得EMJ_CG,故CG_L平面DEM.

因此OM_LCG在RtADEM中,OE=1,EM=6,故。"=2.所以四边彩ACGO的面积为4.

16.⑴证明连接BD、在4ABC中,N4=90".

•••AB=8C,点。为AC的中点,・・・BO_LAC

又平面A8C4Cu平面ABCS.ACLPB.

•・・BZ)nPB=8,・・・AC_L平面PBD.

/分别为A5,BC的中点,

，EF//AC,・•・EFJ_平面PBD,

PDu平面PBD,・•・EF.LPD.

(2)解连接BD交EF于点。，由(1)知EEL平面PBD,

：.NFPO为直线P尸与平面PBD所成的角，且POu平面PBDS.EFLPO.

平面ABCBC工Bu平面ABC,

：.PB上AB,PBLBC.

丁ZPAB=45°,：.PB=AB=2.

:V\fPB2+BF2=VS

a：OF=^AC=2,：.PF=

OF_vTfl

在RtAFPO中,sinNT尸O="10,

vlo

,直线PF与平面户8。所成的角的正弦值为10.

⑶解过点B作BMLPF于点、M.连接EM.

•・•ABJ_PB.AB±BCTBCBC二B、

・・・A8_L平面PBC,

平面PBC.

•・•PFu平面PBC,/.PF±BE.

又PF1：.P