鲁教版（五四制）七年级数学下册《第十一章 三角形的证明及其应用》单元测试卷及答案

鲁教版（五四制）七年级数学下册《第十一章三角形的证明及其应用》单元测试卷及答案

专题训练一全等三角形的常见模型

模型平移型

1.如图，在4ABCaUDEF中/B=/DEF,AB=DE,现增力n一个条件证明AABC三ADEF,下列符合要求的条件有

个.

①4A=2D②ACIIDF

③BE=CF@AC=DF

模型对称型

2.如图,AB=AC,CD_LAB,BE_LAC,垂足分别为D,E.

⑴求证:AABEE^ACD;

⑵若AE=6,CD=8,求BD的长.

模型旋转型

类型一不共顶点型旋转

3.如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D,C,F在同一条直线上，且AF=DC,BC=EF,BC||EF.

(1)求证:ABIIDE;

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(2)若乙A=20O/AFE=102O44E的度数.

第3题图

类型二共顶点型旋转（含手拉手型）

探究拓展题综合与探究【问题背景】两个顶角相等的等腰1四形，如果具有公共顶角的顶点，并将它们的底角顶点

分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.

【基本模型】（I）如图I，在“手拉手'’图形中，AB=AC,AD=AE/BAC=4DAE,连接BD,CE.求证:4ABD三ZkACE;

【变式探究】（2）如图2,AABC和4ADE都是等腰三角形抑AB=AC,AD=AE,1,ZBAC=ZDAE=90°,B,C,D在同一条

直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的关系，并说明理由；

【拓展应用】（3）如图3,AB=BC/ABC=BDC=60。,若zA=a,则Z.C=.（用含a的式子表不）

图2图3

第4题图

模型四一线三垂直模型

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5.如图，在三角形ABC中/ACB=9()o,AC=BC,直线MN经过点C,且AD1MN于点D,BE_LMN于点E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时：

①求证:ZkADC三ACEB;

②试探索DE,AD,BE的数量关系,并说明理由；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试探索DE,AD,BE的数量关系,并说明理由；

⑶行直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系，不

需要证明.

模型五半角模型

6.如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，

并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北

偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰

艇之间的夹角4E0F为70。，则此时两舰艇之间的距离为海里.

第6期困

7.如图CABC中两边AB,AC上有两点M,N,D为AABC外一点，且乙A=80O/BDC=I00O/MDN=5()O,BD=DC.

(1)猜想线段MN,BM,NC之间的数量关系并证明；

(2)若AB=7,AC=8,求AAMN的周长.

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A

D

第7题图

专题训练二等腰三角形中的分类讨论思想

类型当顶角或底角不确定时，分类讨论

1.等腰三角形中，有一个内角为80。，则该等腰三角形的顶角为（）

A.50°B.80°

C.80。或20°D,20°

2.等腰三角形的一个外角是110。，则它的顶角的度数为（）

A.70°B.70。或40°

C.40°D.40。或110。

3.若△ABC是等腰三角形/B=3（）o/A的度数为.

类型当底和腰不确定时，分类讨论

4.若实数x.y满足|x-4|+百刁=0,则以x,y的侑为边长的等腰三角形的周长为（）

A.17B.17或22

C.22D.13

5.已知AABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线，且4BAD=40。,点E是边AC上的一点，若AADE为等腰三角形,

则乙EDC的度数是.

6.已知等腰三角形的周长为10,一边长为2,那么它的腰长为.

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7.将一根长为30cm的木条折成一边为6cm的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为.

类型当高不确定时，分类讨论

8.已知等腰AABC中一腰上的高与另一腰的夹角为32。，则4ABC的顶角的度数为.

9.等腰AABC中,BDL\C,垂足为点D,且80=例C,则等腰AABC底角的度数为。

类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论

1().在AABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角乙B的度数为.

类型五由腰上的中线引起的分类讨论

11.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为()

A.6cmB.6cm或8cm

C.8cmD.5cm或9cm

类型六由动点引起的分类讨论

12.如图，已知aABC中/ACB=9()o/A=40。,在直线AC取一点P,使得4PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共

有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

13.如瓯在RSABC中/ACB=90。,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运

动的时间为t秒，当AABP为等腰三角形时，t的取值为.

第13题图

参考答案

专题训练一全等三角形的常见模型

1.3

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2.解:(1)证明:；CDL\B,BE_LAC

.-.ZAEB=ZADC=9O°

Z.AEB=Z.ADC,

ffiAABE和AACD中｛4BRE=/.CAD,

AB=AC,

.-.△ABE^AACD(AAS);

(2)VAABE«AACD,/.AD=AE=6

在RtAACD中力C=y]AD24-CD2=V62+82=10

.-.AB=AC=10

.*.BD=AB-AD=10-6=4.

3.解:(1)证明:•••AF=CD

•••AF+FC=CD+FC,即AC=DF.

vBC||EF,.-.Z.ACB=zDFE

AC=DF,

在AABCWADEF中｛44CB=乙DFE,

BC=EF,

.-.△ABC^ADEF(SAS)

.-.ABHDE;

(2)vzD=zA=20o,zAFE=102o,.-.zE=zAFE-zD=102o-20o=82°.

4.解：(1)证明:•••NBAC=NDAE

•••ZBAC-^CAD=4DAE-4CAD

.-.ZBAD=ZCAE

AB=AC,

SAABDfDAACE中｛^BAD=^.CAE,

AD=AE,

.-.△ABD^AACE(SAS);

(2)BD=CE,BD1CE,理由如下：

vzBAC=zDAE=90°

.-.ZBAD=ZCAE

AB=AC,

在AABD和Z\ACE中｛ZB4D=/.CAE,

AD=AE,

.-.△ABD=AACE(SAS)

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.•.BD=CE/ADB=ZAEC

vzECD+ZADB=ZEAD+zAEC

.•ZECD=4EAD=90。

.-.BD1CE;

(3)如图，延长DC至P,使DP=DB,连接PB

vzBDC=60°

D

第4ftS

.•.△BDP是等边三角形

••.BD=BP

Z.DBP=60°.

vzABC=60°

••.Z.ABC=Z.DBP

.­•ZABC-ZDBC=ZPBD-ZDBC,&PZABD=ZPBC

BD=BP,

在AABDWACBP中｛N/80=^CBF,

AB=CB,

.•.△ABD=ACBP(SAS),AZBCP=ZA.

vzBCD+zBCP=180°

AZBCD+ZA=180°

•••4人=3213。口=180。也,故答案为:180。7.

5.解:(1)①证明:•••AD1MN,BE1MN,，ZADC=NCEB=9O。

AZDAC+ZACD=90°.

vZACB=90o,.-.zBCE+zACD=90°

.-.ZDAC=ZBCE

Z-ADC=乙CEB,

在AADC和ACEB中｛NO4c=乙ECB,

AC=CB,

.-.△ADC=ACEB(AAS);

②DE=BE+AD,理由如下:

-.△ADC=ACEB

.-.AD=CE,CD=BE

.*.DE=CD+CE=BE+AD

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即DE=BE+AD;

(2)AD=BE+DE,理由如下：

VAD1MN,BE1MN

.-.ZADC=ZCEB=9O0

.­•zDAC+zACD=90°.

vzACB=90°,.-.zBCE+zACD=90°

AZDAC=ZBCE

乙ADC=乙CEB,

在AADC和^CEB中｛乙04C=Z.ECB,

AC=CB,

/.△ADC=ACEB(AAS)

.•.AD=CE,CD=BE

••.AD=CE=CD+DE=BE+DE,即AD=BE+DE;

(3)BE=AD+DE.

6.210解析:如图所示，连接EF,过点B作BHlx轴于点H

根据题意得OA=OB,ZAOM=30°乙BON=90°-70°==50°,

•••在Rtz\AOM,RtABOH中4OAM=60°/OBH=70。,则/OBF=zOBH+乙HBF=700+50°=120°,

•••△AOB=4AOM+匕MON+4BON=30°+90°+20°=140°.

•••乙EOF=70°,ZAOE+ZBOF=Z.A0B-乙EOF=140°-70°=70°.

•••舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙以80海里/小时的速度前进，行驶1.5小时

/.AE=60x1.5=90(海里),BF=80x].5=120(海里)

如图所示，延长MA至点P,使得AF=BF,则/.OAF'=180°-WAM=180°-60°=120。，

OB=OA,

在AOBF和aOAF中｛4。8尸=^OAFr,

BF=AFl,

••.△OBF三△OAF'(SAS)

.­.OF=OF\ZBOF=ZAOF'

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乙EOF'=LAOE+/-AOF'=LAOE+乙BOF=140°-70°=70°=4EOF

二在AEOF和AEOF中｛/尸八度）时”

'乙EOF=Z.EOF,OE,

•••△EOF三AEOF（SAS）

AEF'=EF=AE+AF'=AE+BF

.•.EF=90+120=210（海里）

••・此时两舰艇之间的距离为210海里.

7.解:⑴MN=BM+NC;理由如下：

延长AB,在AB的延长线上取BE=CN,连接DE,如图

•.•ZBDC=1OO°,ZA=8O0

二ZABD+ZACD=360°-4A-zBDC=180°.

vzABD+zDBE=180°

.-.ZDCN=^DBE.

vBE=CN,DB=DC

•••△BDE三ACDN(SAS)

••.ZBDE=ZCDN,DE=DN.

vzMDN=50°

.-.zBDM+^BDE=zBDM+zCDN=100°-乙MDN=