第九章 因式分解（知识清单）-苏科版八年级数学下册【含答案】

第九章因式分解

思维导图

定义：多项式r几个整式的积

与整式柒法：互逆变形

分解原则：必须分解彻底

结果要求：只含积，不含加减

找公因式：系数最大公约数+相同字母最低次现

1.提公因式法公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

易错：首项为负要提负号、别漏写1

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

二、常用方法完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

3.十字相乘法ox2+：p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

因适用：四项及以上多项式

4.分组分解法

式©28:分组后可提公因式/套公式

一提:优先提公因式

分

二套:套用乘法公式

三、一般步骤

解三分:分组继续分解

四查:检查是否彻底'符号正确

提公因式不彻底

提负号后不变号

混淆平方差与完全平方

分解不彻底

结果写成加激形式

/一化简求值

，/一简便运算

五、熨际应用

几何面积计算

、一判断三角形的形状

知识清单

一、因式分解的概念

1.多项式的因式：

一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多

项式的因式.

2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分

解.因式分解也可称为分解因式.

二、因式分解的方法和步骤：

1.提公因式法：

试卷第1页，共6页

当多项式的各项含有公因式时,可以采用建括号的方法把公因式提到括号外，把多项式写成

公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.

ab+ac+ad=a[b+c+d)

2.公式法：

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因公分解的方法叫作公式法.

a2-b2=(a+b)(a-b)

a'+2ab+b2=(a+b)~

a2-2ab+b2=(a-b)2

3.因式分解的方法步骤和目标：

方法步骤：

(1)先提公因式;

(2)再运用公式;

(3)检查检查每个因式是否可以继续分解.

目标：

必须把每一个因式都分解到不能再分解为止.

易错总结

一、因式分解的概念理解：

1.错误：混淆“因式分解”与“整式乘法”概念.

注意：

因式分解与整式乘法是互逆的过程，整式乘法是将积的形式变成多项式，而因式分解是将一

个多项式变成积的形式.

(I\

2.错误：认为“42-4=/1一一”也是因式分解.

IX)

注意：因式分解是将多项式变成几个因式积的形式，它是在整式范围内的一种整式恒等变

形，结果中不能含有不是整式的部分或因式.等号右边括号中的」已经不是整式了，所以

X

这个不是因式分解.

二、因式分解的方法和步骤

试卷第2页，共6页

1.错误：提取多项式的各项系数的公因数时，没有提取最大公因数，导致提取不彻底.

注意：例如，对多项式8d-12x,提取公因式时，系数只提取2,得到2x（4.・6）,括号内

仍可以继续提取公因数2,所以导致因式分解不彻底.

2.错误：第一项系数为负数时，负号忘记提取

注意：当多项式的第一项系数为负数时，通常把负号作为公因式的符号进行因式分解.忘记

提取负号也是经常见到的一种错误，所以拿到囚式分解题目时，首先认真审题是非常重要的，

尤其是首项带有负号的.

3.错误：因式分解通常分为3个步骤，第三步“检查”常常被忽略，认为检查不检查无所谓

提醒：因式分解一般步骤分为3步，一是提取公因式：二是运用公式；三是检查.大部分同

学只注意第一二步，对于第三步检查感觉无所谓，只要自己认真点，第3步要不要无所谓,

其实，这是不对的.很多错误都是由于对第三步的轻视导致的，这一步非常关键，重视，才

会减少错误.

易错训练

知识点1训练：利用因式分解的概念判断

1.下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）

A.x2-4=（x-2）2+4xB.X3-6.V+9=（X-3）2

C.=/D./-1+2。=（。++2。

2.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

.1（.1Y..

A.1-----=1+-1----B.x'-1=x-x-1

a~a八a

C.(a+b)(a-b)=a2-b22am+bm=m(2a+b)

3.下列因式分解正确的是（

2x2-4x=2x(x-4)X2+X-6=X(X+1)-6

C.X2+2=Xx+—X1-16=(x+4)(x-4)

X)

知识点2训练：找多项式各项的“最大公因式”

4.多项式6a3b3+12/#o-3/6中，各项的最大公因式是（

A.-azbzB.3/bC.3(rbcD.a2b

试卷第3页，共6页

5.把多项式2/+4.口分解因式，应提取的公因式是()

A.XB.yC.2xD.2y

6.下列多项式中，各项的公因式为5/Z,的是()

A.30ab2-10/6B.15a%+20//

C.\Oa2b-2Oab3D.15a%+5"

知识点3训练：判断能否利用公式进行囚式分解

7.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()

A.X2-10X-25B.a2+4t/+I6C.4.r2+4xD.4x2-8x+4

8.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是()

A.-x2+16/B.-x2-lx-\

、21)、

C.nr——mn+—n2D.-x2-v2

39”

9.下列多项式：①4/一8。+4；②9/+16必一20。％：③彳―y+1;④/+2x+4；⑤

〃2_6“—9.其中能用完全平方公式因式分解的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

知识点4训练：综合运用提公因式法和公式法因式分解

10.把下列各式因式分解.：

(1)3w'-6w;

2

(2)4X-9/;

(3)*+4xy-4y2:

(4)(/+/>2)2-4a2b~.

11.因式分解：

(1)-6a'b+3ab’-12abc:

⑵/-6y%

(3)\6x2y+24xy+9yi

(4)4(x+»-16(x-y)2.

12.把下列各式因式分解..

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(1)3(X-3)2-12；

(2)-4x2y+16xy-\6y；

(3)25-10(x+y)+(x+y)2：

(4)6(x+»-2(.—)

知识点5训练：利用囚式分解求代数式的值

13.如果a+b=2,ab=]f那么如6+2/〃+加的值为()

A.1B.3C.4D.8

14.若6ab=6,贝lj的值为()

A.6B.12C.18D.24

15.若x+y+z=2,-(y+z『=6,则x-y_z=.

知识点6训练：因式分解的综合应用

16.运算能力从边长为〃的正方形中剪掉一个边长为。的正方形(如图①)，然后将剩余部

分拼成一个长方形(如图②).

图①图②

(1)上述操作能验证的等式是一(填选项).

A.a1-b1=(«+/?)(«-/7)

B.a~-2ab+b2=(a-h\

C.a2+ab=a(a+b)

(2)若x+y=8,求T的值.

V；[2?)I32)I42JI20202)I20212J

17.通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，图1可以

得到(。+8)2=/+2M+〃，基于此，请解答下列问题.

试卷第5页，共6页

(1)根据图2,写出一个代数恒等式：；

⑵利用(1)中的结论对多项式进行因式分解：x2+5.r+6=；

(3)类似地，用两种不同的方法计算几何体的体枳同样可以得到一些代数恒等式.图3表示

的是一个边长为x的正方体挖去一个长、宽、高分别为1，2,2的小长方体后重新拼成的一

个新长方体.请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：.

18.如图所示，骐膜中学劳动实践基地有两块边长分别为〃?，〃的正方形地块，它们的公共

部分(图中阴影所示部分)不能使用，其面积为S,左边正方形能使用部分的面积为5左，

右边正方形能使用部分的面积为S行.

(1)用含加，〃，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为

(2)设两个正方形能使用部分的面积差为：S笠=S「S右.

①求S差的值(用含加，〃的代数式表示)，并对S差分解因式：

②若S羌=56,且/〃+〃=]4,求〃?，〃的值各是多少？

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形

为从左到右，根据定义即可判断各选项.

【详解】解：•••因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式，

••.A选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；

B选项中，左边是多项式，右边(x-3『=(x-3)(x-3),是两个整式的积的形式，变形正确，

是因式分解；

C选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；

D选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解.

2.D

【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形

式，根据定义逐一判断选项即"J得到答案.

【详解】解：A、1-与是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不

a'

属于因式分解，不符合题意；

B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；

C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意；

D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意.

3.D

【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平

方差公式对各选项逐一判断即可.

【详解】解：A、2X2-4X=2X(X-2)^2X(X-4),选项错误；

B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为

x2+x-6=(x+3)(x-2)^x(x+l)-6,选项错误；

C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中工是分式，不是整式，选项错误；

X

D、X2-16=X2-42=(X+4)(X-4),选项正确.

4.B

【分析】此题考查了多项式的最大公因式.

根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次

答案第1页，共1()页

鼎，结合选项判断即可.

【详解】解：•.•多项式+2c各项系数6、12、-3的绝对值的最大公约数是

3,各项都含有的字母为。、从。的最低次暴是2,6的最低次暴是1,

•••该多项式的最大公因式可以为3a%,

故选：B

5.C

【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量

的公共部分，组合即为公因式.

【详解】解：•••多项式为2.d+4个中系数2和4的最大公因数为2,变量部分/和中的公共

因子为x，

・•・应提取的公因式为2x.

故选：C.

6.B

【分析】本题考杳公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键.

确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数;

②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）：③定指数，即各项相同字母

因式（或相同多项式因式）的指数的最低次品；据此即可求得答案.

【详解】解：A、30a/、10/6的公因式为10c力，不符合题意；

B、"、20a2川的公因式为5的公符合题意；

C、10/力、20a1的公因式为10帅,不符合题意;

D、15a%、5a8的公因式为5M,不符合题意；

故选：B.

7.D

【分析】根据完全平方公式的结构］±2尤+/=（〃±力?，判断各选项是否符合该公式结构

即可.

【详解】解：AX2-10X-25,常数项为-25,是负数，不满足公式结构，不符合要求：

B/+4a+16,若符合公式结构，中间项4a=2xax2,对应常数项应为2?=4,不是16,

不匹配，不符合要求；

C4F+4X,只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求：

答案第2页，共1（）页

D4/_以+4,首项（2xf,末项22,中间项-8x=-2-（2x）・2,符合完全平方公式结构，分

解得4/_8x+4=（2x-2『=4"-1）2,符合要求.

8.D

【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：A、-x2+\6y2=\6y2-x2=（4y+x）（4y-x）,故此选项不符合题意：

B、-x2-2x-l=-（x2+2.r+l）=-（x+l）2,故此选项不符合题意：

C、〃/一2〃〃7+2〃2故此选项不符合题意；

39I3J

D、-x2-/=-p+r）»不能用公式法分解因式，故此选项符合题意；

9.A

【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍,

逐•判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果.

【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为加2±2〃〃!+〃2=（〃?±〃）2,逐一判断：

①对于442-84+4=4（/—24+1）=4（〃2-2々1+『）=4（4-1）2,

・•・①可以用完全平方公式因式分解；

②对于9/+1682-20。力=（34『一20Q》+（4》『，完全平方结构要求中间项应为

-2（34）（4力）=-24时工-20必,不符合完全平方结构，

②不能用完全平方公式分解；

③对于己-y+l=（4-2A+l2=f^-ll,

③可以用完全平方公式因式分解：

④对于X2+2X+4=/+2X+22,完全平方结构要求中间项为2N2=4X,与原式不符，不

能用完全平方公式分解；

⑤对于常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，

不能分解；

综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个.

答案第3页，共1（）页

10.(1)3/W(,H2-2)

⑵(2x+3y)(2x-3y)

⑶-(x-2»

(4)(a+b)2(a-by

【分析】(1)提取公囚式，即可得到答案；

(2)直接利用平方差公式分解因式即可得到答案；

(3)首先提取-1,再利用完全平方公式分解因式可得答案;

(4)利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案.

【详解】⑴解:3心6明

=-2)

(2)解：4x2-9y2

=(2叶-(3犷

=(2x+3y)(2x-3y)；

⑶解：*+4折4y2

=-(x2-4xy+4y2)

=-(x-2y)2；

(4)解：-4a泞

=(a2+b2^-(2ab)2

=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)

=(a+b)~(a-b)2.

11.(1)-3"(2/-力+4。)

⑵(x+2y)(7,)2

⑶*4x+3『

(4)4(3x-y)(3y-x)

答案第4页，共10页

【详解】(1)解：-6a3b-¥3ab2-\2abc

=-3ab(2a2一人+4c)；

(2)解：x4-8x2y2+16/

=(X2)2-2X2X4/+(4/)：

=(X2-4/)2

=[(X-2J，)(X+2疥

=(x+2y)2(x-2y)2-

(3)解：\6x2y+24xy+9y

=^(16X2+24X+9)

=>'(4x+3)2；

(4)解:4(x+y)2-16(j-y)'

=4[(x+4-4(x—y『

=4(x+y+2x-2y)(x+y-2x+2y)

=4(3x-y)(3y-x).

12.(l)3(x-5)(x-l)

⑵-4y(I)?

⑶(5-x-»

(4)4(x+y)(x+2y)

【分析】(1)先提公因式3,再利用平方差公式进行因式分解即可；

(2)先提公因式-4y,再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(3)把K+V看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可;

(4)直接利用提公因式法进行因式分解即可.

【详解】(1)解：3(X-3)2-12

答案第5页，共10页

=3[(A3)2-4}

=3(x-3-2)(x-3+2),

=3(x-5)(x-l).

(2)解：-4x2y+16xy-\6y

=-4v(x2-4x+4),

=-4y(x-2)2.

(3)解：25-10(x+y)+(x+j)2

=[5-(x+j)]2,

=(5-A:-JV)2.

(4)解：6(x+y)~-2(x-y)(x+y)

=2(x+y)[3(x+y)-(x—)],

=2(x+y)(3x+3y-x+y),

=2(x+y)(2x+4y)t

=4(x+y)(x+2y).

13.C

【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进

行变形，转化为用已知条件。+6和他表示的形式，再代入计算即可.

3223

【详解】解：ab+2ab+ab

=ab(a2+lab+b1),

=ab(a+b)2,

将。+。=2,ab=l代入得：原式=1x2?=1x4=4：

故选：C.

14.A

【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及了整体代入的思想方法.先对所求代数式因式分

答案第6页，共10页

解•，转化为含已知条件的形式，再代入已知值计算求解.

【详解】•••日_2/〃+而3

=ab(a2-2ab+)

=ab(a-b)2

又，:b-a=-1

:.a-b=1

且a6=6

二原式=6x]2=6，

故选：A.

15.3

【分析】根据x2-(y+z)2=6可推出(x+y+z)(x—y—z)=6,结合己知条件可得答案.

【详解】解：•.■x2-(y+z)2=6,

••・[x+(y+z)][x_(y+z)]=6,

.,.(x+y+z)(x-y-z)=6,

•：x+y+z=2,

.-.x—y—z=3.

16.(I)A

⑵2

【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形

与交叉约分的技巧是解题的关键.

（1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式；

（2）利用平方差公式x2-/=（x+y）（x-y）,代入已知值求x-y；

（3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算.

【详解】（1）解：图①面积：a2-b2

图②面积：（a+b）（a-b）

因为剪拼前后面积相等，

答案第7页，共1（）页

所以验证的等式是：a2-b2=(a+h)(a-b)

故选：A.

(2)vx2-/=(x+y)(x-^)=16,x+y=S,

.\8(x-^)=16,

：.x-y=2.

(3)解：原式

1

2O7F

13243520202022

二­X—X—X—X—X—X…X---X----

22334420212021

=\_2022

-2X202T

1011

=2021'

17.(1)x2+or+版+“6=(x+0)('+»；

⑵(x+2)(x+3)；

⑶/-4x=x(x-2)(x+2).

【分析】本题考查了因式分解在几何图形中的应用.

(1)根据图形，用两种方法表示图形的面积即可，

(2)把