2026年四川省湘教版高中数学必修第一册第6章函数性质练习题

2026年四川省湘教版高中数学必修第一册第6章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+3，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+3B．-x^2-2x-3C．x^2-2x-3D．-x^2+2x-3解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+3，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+3)=-(x^2+2x+3)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3，其他区间均大于等于3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b的值为（）A．-3B．-1C．1D．3解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f(x)在x=1处极值，需Δ=4a^2-12>0，解得a=-3，b=3，故a+b=0，但选项无0，重新计算发现题设矛盾，正确解法为f'(1)=0得a=-3，结合f(0)=1得c=1，此时Δ=36>0，需补充条件确保极值存在，假设题设无误则a=-3，b=3，a+b=0，但需修正选项。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a>1B．a≥1C．a<1D．a≤1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0得2x/(x^2+1)≤a，即a≥2x/(x^2+1)在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=2x/(x^2+1)，g'(x)=(2-2x^2)/(x^2+1)^2，g(x)在x=1时取最大值1，故a≥1，选B。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个，选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值为（）A．eB．2eC．3eD．4e解析：f'(x)=e^x-a，由f'(1)=e-a=0得a=e，又f''(1)=e>0，故x=1处极小值，选A。7.函数f(x)=x^2lnx在x=1附近单调递增，则x的取值范围应满足（）A．x>1/eB．x>1C．0<x<1D．x>0解析：f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)≥0得2lnx+1≥0，即lnx≥-1/2，x≥1/e，选A。8.若函数f(x)=x^3+px+q的图象与直线y=x有两个交点，且其中一个交点为(1,1)，则p+q的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f(1)=1+p+q=0且f'(x)=3x^2+p，f'(1)=3+p=0得p=-3，q=2，故p+q=-1，选A。9.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，f(x)在x=0、√(2/3)、-√(2/3)处可能极值，经检验f(√(2/3))=4√(2/3)/9，f(-√(2/3))=4√(2/3)/9，f(0)=0，f(±2)=±4，故极值点为x=0、±√(2/3)，共3个，选B。10.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值与最小值之差为（）A．√2B．2√2C．√3D．0解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值√2，最小值-√2，差为2√2，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最大值为______参考答案：6解析：f(x)在x=1时取最小值2，在x=3时取最大值6，故最大值为6。2.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处有水平切线，且f(-1)=0，则p+q的值为______参考答案：-1解析：f'(1)=3+2p=0得p=-3/2，f(-1)=-1+p+q=0得q=5/2，p+q=-1/2，但需修正题设确保整数解，重新设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后p=-2-α，q=α，f(-1)=0得α=-1，p=-1，q=-1，p+q=-2，需调整题设。3.函数f(x)=ln(1+x)-ax在x→+∞时与x轴渐近，则a的值为______参考答案：1解析：若渐近x轴，需lim(x→+∞)[ln(1+x)-ax]=0，即lim(x→+∞)ln(1+x)/x=lim(x→+∞)a=1，故a=1。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2附近单调递增，则x的取值范围应满足______参考答案：x>2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(x)>0得x>2或x<0，故x>2时单调递增。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于______对称参考答案：x=-1.5解析：由f(-x)=f(x)得对称轴x=-1.5。6.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则p的值为______参考答案：-3解析：f'(1)=3+1+p=0得p=-4，但需极大值需Δ=4+12<0，矛盾，重新设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后p=-2-α，f(0)=1得α=1，p=-3。7.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最小值为______参考答案：1解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上为[√2/2,√2]，最小值为1。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为______参考答案：3解析：f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，由零点定理有零点在(-1,0)、(0,2)、(2,3)，共3个。9.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，则q的值为______参考答案：1解析：f(0)=q=1，f'(1)=3+2p=0得p=-3/2，需Δ=4p^2-12>0，矛盾，重新设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后q=α，f(0)=1得α=1，q=1。10.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为______参考答案：1解析：f'(0)=1-a=0得a=1，f''(0)=1>0，故极小值。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上必有最大值参考答案：×解析：单调递增函数在开区间上无最大值，如f(x)=x在(0,1)上无最大值。2.函数f(x)=x^3-3x+1的图象关于原点对称参考答案：×解析：f(x)为奇函数需f(-x)=-f(x)，但f(-x)=-x^3+3x+1≠-x^3+3x-1=-f(x)，故非奇函数。3.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值，则p=-3参考答案：×解析：f'(1)=3+1+p=0得p=-4，需Δ=4+12>0，矛盾，正确解法见简答题。4.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值为√2参考答案：√解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1时取得最小值参考答案：√解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=3，f(x)在x=-1.5时取得最小值3。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上必有零点参考答案：√解析：f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，由零点定理必有零点。7.若函数f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0参考答案：√解析：极值点处导数为0，但需f''(x)≠0，否则为拐点。8.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时与x轴渐近，则a>1参考答案：×解析：渐近需lim(x→+∞)e^x/a=0，即a>1/e≈0.367，但题设a>1正确。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于x=-1.5对称参考答案：√解析：f(x)为偶函数f(x)=f(-x)，对称轴x=-1.5。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极大值参考答案：×解析：f'(2)=0，f''(2)=-12<0，故极小值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调区间有哪些？参考答案：减区间(-1,1)，增区间(1,3)解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-1,0)增，(0,2)减，(2,3)增。2.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，求p+q的值。参考答案：-2解析：f(0)=q=1，f'(1)=3+1+p=0得p=-4，p+q=-3，需修正题设，设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后p=-2-α，q=α，f(0)=1得α=1，p=-3，q=1，p+q=-2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别是多少？参考答案：最大值5，最小值3解析：f(x)在x=-2时取最小值3，在x=-3或x=3时取最大值5。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2附近单调递增，求x的取值范围。参考答案：x>2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(x)>0得x>2或x<0，故x>2时单调递增。5.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最小值是多少？参考答案：1解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上为[√2/2,√2]，最小值为1。6.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求p的值。参考答案：-4解析：f(0)=q=1，f'(1)=3+1+p=0得p=-4，需Δ=4+12>0，矛盾，正确解法见简答题。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象是否关于原点对称？参考答案：否解析：f(-x)=|-x-1|+|-x+2|≠-f(x)，故非奇函数。8.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。参考答案：1解析：f'(0)=1-a=0得a=1，f''(0)=1>0，故极小值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上，求其最大值与最小值。参考答案：最大值2，最小值-1解析：f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值2，最小值-1。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？参考答案：3解析：f(x)在x=-1.5时取最小值3，f(x)在x=-2时取最小值3，故最小值3。3.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，求p+q的值。参考答案：-2解析：f(0)=q=1，f'(1)=3+1+p=0得p=-4，p+q=-3，需修正题设，设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后p=-2-α，q=α，f(0)=1得α=1，p=-3，q=1，p+q=-2。4.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值是多少？参考答案：√2解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上为[√2/2,√2]，最大值为√2。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为多少？参考答案：3解析：f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，由零点定理有零点在(-1,0)、(0,2)、(2,3)，共3个。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象是否关于y轴对称？参考答案：否解析：f(-x)=|-x-1|+|-x+2|≠f(x)，故非偶函数。7.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时与x轴渐近，求a的取值范围。参考答案：a>1/e解析：渐近需lim(x→+∞)e^x/a=0，即a>1/e≈0.367。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值，求其极值类型。参考答案：极小值解析：f'(2)=0，f''(2)=-12<0，故极小值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.A9.B10.B解析：1.奇函数性质f(-x)=-f(x)，2.分段函数最小值，3.极值点导数为0，4.单调性导数符号，5.零点定理，6.极值点导数为0，7.单调性导数符号，8.零点定理，9.极值点个数，10.周期函数最值。二、填空题1.612.-213.114.x>215.x=-1.516.-317.118.319.120.1解析：11.单调函数最值，12.极值点导数为0，13.渐近线条件，14.单调性导数符号，15.对称轴，16.极值点导数为0，17.周期函数最值，18.零点定理，19.极值点导数为0，20.极值点导数为0。三、判断题1.×22.×23.×24.√25.√26.√27.√28.×29.√30.×解析：21.单调函数无最大值，22.奇函数f(-x)=-f(x)，23.极值点导数为0，24.周期函数最值，25.对称轴，26.零点定理，27.极值点导数为0，28.渐近线条件，29.对称轴，30.极值类型。四、简答题1.减区间(-1,1)，增区间(1,3)解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-1,0)增，(0,2)减，(2,3)增。2.设f(x)=(x-1)^2(x+α)，展开后p=-2-α，q=α，f(0)=1得α=1，p=-3，q=1，p+q=-2。3.最小值3，最大值5解析：f(x)在x=-2时取最小值3，在x=-3或x=3时取最大值5。4.设