2026年概率的初步测试题及答案

2026年概率的初步测试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.袋中装有4个红球、3个白球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差异。从中随机取出1个球，记事件A为“取出红球”，事件B为“取出白球”，则P(A∪B)的值为（）A.B.C.D.2.抛一枚均匀的骰子两次，记第一次点数为m，第二次点数为n，则“m+A.B.C.D.3.已知事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∩B)和P(A∪B)分别为（）A.0，0.7B.0.12，0.7C.0，0.58D.0.12，0.584.在区间[0,10]内随机取两个数x和y，则“x+A.B.C.D.5.已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，且A与B独立，则P(A∪B)的值为（）A.0.8B.0.7C.0.6D.0.56.某射手射击一次命中目标的概率为0.8，连续射击3次，至少命中2次的概率为（）A.0.896B.0.768C.0.64D.0.5127.随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3则E(X)和D(X)分别为（）A.1.1，0.49B.1.1，0.69C.1.3，0.49D.1.3，0.698.袋中有5个球，其中3个红球、2个白球，不放回地取2次，每次取1个。已知第一次取到红球，则第二次取到白球的概率为（）A.B.C.D.9.甲、乙两人独立解同一道题，甲解出的概率为0.6，乙解出的概率为0.7，则恰好有一人解出的概率为（）A.0.46B.0.54C.0.38D.0.2210.若随机变量X服从参数为n=4，p=0.5的二项分布（即X~B(4,0.5)），则P(X=2)的值为（）A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共20分）11.抛一枚均匀的硬币4次，恰好出现3次正面的概率为________。12.从10张分别标有1到10的卡片中随机抽取2张，这两张卡片上数字之和为偶数的概率为________。13.已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.2，则P(B|A)的值为________。14.某公交车站每隔10分钟发一班车，乘客随机到达车站，则乘客等待时间不超过3分钟的概率为________。15.随机变量X的分布列满足P(X=k)=ck（k=1,2,3,4），其中c为常数，则c的值为________。三、解答题（共50分）16.（8分）袋中装有2个红球（记为R₁、R₂）和3个白球（记为W₁、W₂、W₃）。现进行两次不放回抽取，每次取1个球。（1）写出所有可能的样本点；（2）求“第一次取红球且第二次取白球”的概率。17.（10分）某工厂生产的产品中，一等品占60%，二等品占30%，三等品占10%。一等品的合格率为95%，二等品的合格率为80%，三等品的合格率为50%。现随机抽取一件产品，求：（1）该产品合格的概率；（2）若已知抽到的产品合格，求它是一等品的概率（结果保留三位小数）。18.（12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先胜3局者获胜，比赛结束。已知每局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。（1）求比赛在3局内结束的概率；（2）求甲最终获胜的概率。19.（10分）随机变量X的分布列如下：X-1012P0.10.3a0.2（1）求常数a的值；（2）计算E(X)和D(X)。20.（10分）在区间[0,2]内随机取两个数x和y，记事件A为“x²+y²≤4”，事件B为“x+y≤2”。（1）求P(A)；（2）求P(B|A)。答案一、选择题1.B2.B3.A4.A5.A6.A7.A8.C9.A10.A二、填空题11.（或0.25）12.13.0.514.（或0.3）15.三、解答题16.（1）样本点共有5×(R₁,R₂)、(R₁,W₁)、(R₁,W₂)、(R₁,W₃)、(R₂,R₁)、(R₂,W₁)、(R₂,W₂)、(R₂,W₃)、(W₁,R₁)、(W₁,R₂)、(W₁,W₂)、(W₁,W₃)、(W₂,R₁)、(W₂,R₂)、(W₂,W₁)、(W₂,W₃)、(W₃,R₁)、(W₃,R₂)、(W₃,W₁)、(W₃,W₂)。（2）设事件C为“第一次取红球且第二次取白球”，则C包含的样本点有：(R₁,W₁)、(R₁,W₂)、(R₁,W₃)、(R₂,W₁)、(R₂,W₂)、(R₂,W₃)，共6个。总样本点数为20，故P(C)==。17.（1）设事件A₁=“一等品”，A₂=“二等品”，A₃=“三等品”，B=“合格”。由全概率公式：P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)=0.6×0.95+0.3×0.8+0.1×0.5=0.57+0.24+0.05=0.86。（2）由贝叶斯公式：P(A₁|B)==≈18.（1）比赛在3局内结束的情况有两种：甲3连胜或乙3连胜。甲3连胜的概率为=0.216乙3连胜的概率为=0.064故所求概率为0.216+0.064=0.28。（2）甲最终获胜的情况包括：3局胜：0.6³=0.216；4局胜（前3局甲胜2局，第4局甲胜）：××5局胜（前4局甲胜2局，第5局甲胜）：××总概率为0.216+0.2592+0.20736=0.68256。19.（1）由分布列的性质，0.1+0.3+a+0.2=1，解得a=0.4。（2）E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+1×0.4+2×0.2=-0.1+0+0.4+0.4=0.7；E(X²)=(-1)²×0.1+0²×0.3+1²×0.4+2²×0.2=0.1+0+0.4+0.8=1.3；D(X)=E(X²)-[E(X)]²=1.3-0.7²=1.3-0.49=0.81。20.（1）x和y的取值范围为[0,2]×[0,2]，对应平面区