人教版九年级数学上册《配方法》导学案汇编（含两个导学案）

25.2.1配方法（第1课时直接开平方法）

（导学案）

01学习目标

（I）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解V=p（p20）和。加+〃）2=〃（〃20）

型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程.

（2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁

移、归纳总结和代数运算能力.

（3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数

的信心，培养严谨细致的运算习惯.

重点：掌握直接开平方法解/=/.，（〃A0）和（〃3十〃）2型一元二次方程的方法及规范解题步骤.

难点：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p的正负，区分方程实数根的三种情况；避免开

平方时遗漏负根.

02

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

复习提问：①什么是平方根？②正数、。、负数的平方根各有什么性质？

③求下列各数的平方根：4、0、1>-2.

情境设问：若一个数的平方等于9,这个数是多少？若f=9,如何求解x?

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本第5・6页的内容

【学法指导】自研课本P5.6页内容

（一）解一元二次方程的基本思想

活动1：解一元二次方程的基本思想

追问1：怎样解一元一次方程的？

解一元二次方程的基本思想：降次转化为一元一次方程.

（二）基础型方程/=〃

活动2：怎样解/=〃型方程

交流思考：解方程/=4,炉=0,犬=-2,

追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？

根据平方根性质有三种情况，/=〃是由〃决定的

追问2：对方程/=〃的根有几种情况？由什么决定？

师生归纳：当〃>0时，方程f=〃有两个不相等的实数根：X2=-y[p；

当P=0时，方程V=〃有两个相等的实数根：X1=X?=。；

当p<0时，方程/=〃无实数根（平方数非负）.

及时巩固：用直接开平方法解方程V—25=0.

解题示范：移项得,/=25,因为25>0,所以x=±5,即％=石/2=-6.

（三）探究复合型方程（〃“+〃）2=〃

活动3：怎样解（〃tv+〃y=〃型方程

交流思考：如何解方程（X+1）2=4?能否把x+1看作一个整体？

追问1：如果把X+1设其为y,方程变形为什么？怎样解方程呢？

设户x+1,方程转化为丁=4,先求，再反求X.

直接开平方，求出y，即x+1,可以求出x.

巩固练习：解方程2（x-3p=8.

系数化为I得（X-3）2=4,开方得x-3=±2,解得、=5,々=1

追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论.

师生总结解题步骤：

①整理方程：化为（侬+〃?=〃的标准形式；

②判断符号：看常数p,是负数没有实数根；

(3)开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程；

©求解整理：解一元一次方程，写出方程的根.

【自研自探】

自研课本P5.6页内容

典型例题

例1.解下列方程：

(I)4X2-3=0;(2)(X+2)2-9=0.

【分析】按解一元二次方程的步骤，先转化为。山+〃『=〃形式，直接开平方.

【详解】解：(i)移项，并将二次项系数化为1,得

4

由此可得/=±当，

即士=手工2=--

(2)移项，得(x+2)'=9

由此可得x+2=±3

x+2=3,或x+2=-3,

即石=

例2.解方程：4(X-2)2-25=0

【分析】将一元二次方程转化为(,甘+〃)2=〃形式，再直接开平方.

【详解】解：移项，并将二次项系数化为1，得(X—2)2=B

此题考查了一元二由此可得X-2=±3

2

c5Tr5

x-2=—>或工-2=—>

22

9I

即再二了占二一］.

第二环节合作探究

I.讨论解一元二次方程的基本思想

2.讨论怎样解/=〃型方程

3.讨论怎样解+=p型方程

拓展提升：

1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的

31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率.

【详解】设月平均降价率是x，

依题意得：39（1）2=31.59

解得：％=0.1=10%,%=1.9（不符合题意，舍去），

•••月平均降价率是10%.

E巩固练习

课本课堂练习（P6）第1题、第2题（1、3、5）.

0真题感知

1.（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为戈，

根据题意得:25（1+x）2=36,

解得：犷=0.2=20%,X2=~2.2（不符合题意，舍去），

•••该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.

故选:B.

2.（2025•台湾）已知甲方程式为（「4）2=9,乙方程式为（x+9）2=-4.关于甲、乙两方程式的解的

情形，下列叙述何者正确？（）

A.甲有两个相异的解，乙无解

B.甲有两个相异的解，乙有两个相异的解

C.甲有两个相同的解，乙无解

D.甲有两个相同的解，乙有两个相异的解

【解答】解：对于方程（x-4）2=9,

.V-4=±3,

解得川=7,X2=l；

对于方程（x+9）2=-4.

因为负数没有平方根，

所以此方程没有实数解.

故选：A.

05随堂笔记

1.知识技能：（1）解一元二次方程需要“降次”,即把二次方程转化为一次方程.（2）掌握了完整解题步骤：

整理方程T判断P的符号T开方降次T求解根,同时能准确判断方程有无实数根.

2.思想方法：（1）核心数学思想为转化降次思想:将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程,

化未知为己知；（2）运用整体思想，把多项式m迎看作整便简化运算，这是后续配方法解题的核心思维.

3.易错提醒：（I）开平方时必须保留正鱼号，极易遗漏鱼损，导致少解一个根:（2）当p<0时，方程无实

数根，不可强行开方求解;（3）解方程前需先将方程化为平方等于•常数的标准形式，注意系数化为I；（4）

p=0时，方程有两个相等的实数根,不可只写一个根.

25.2.1配方法（第2课时配方法）

（导学案）

01学习目标

（1）熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次

方程化为（1+〃）2=p的标准形式，并根据p的取值判断方程根的情况.

（2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解''的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数

变形、归纳总结和逻辑推理能力.

（3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻揖性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主

探究意识和数学学习自信心.

重点：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1和不为1的一元二次方程.

难点：二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1的变形操作；配方时准确确定“一次项系数一半的平方”,

保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

L回顾完全平方公式：(«±/>)2=^±2ab+b2.

2.配方凑形：x2+6x+=(X+3)2,X2-4X+=(x-2)2.

3.梃问：如何用直接开平方法解方程(1+3)2=5.

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本第7・8贝的内容

【学法指导】自研课本P7・8页内容

(一)探究二次项系数为1的方程配方解法

活动1：用配方法解方程f+6%+4=0.

追问1：能否将方程转化为(1+3丫=5,转化的关键是什么？

学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式.

追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0的形式？你能说出理由吗？

学生交流讨论：1.移项：将常数项移到方程右侧，得V+6x=-4；

2.配方：两边加一次项系数一半的平方(gj=9,得f+6x+=-4+9.

3.凑完全平方：(x+3『=5;

4.开方求解：解得用=一3十J5，%=-3-岳

师生小结：二次项系数为1的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方.

(二)探究二次项系数不为1的方程配方解法

活动2：用配方法解方程-4工-6=0.

追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？

二次项系数不为1

追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程.

学生自主解题：

1.化系数为1：方程两边同时除以2,得丁—2x—3=0；

2.移项：f—2x=3；

/八2

3.配方：两边加-=1，得（工-1）2=4；

4.开方求解：解得斗=3,x2=-1.

（三）归纳配方法通用解题步骤

活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程a?+法+c=0（。。。）的步骤.

学生交流讨论：

1.化：二次项系数化为I（方程两边同除以二次项系数）；

2.移：常数项移到方程右边；

3.配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方：

4.整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项；

5.开：根据平方根的意义开平方；

6.解：解两个一元一次方程，得出方程的根.

（四）探究方程根的情况

活动4：配方后方程为（工+〃『=〃，〃的取值对根有什么影响？

学生交流讨论，师生共同总结：

1.当p>0时，方程有两个不相等的实数根%二-〃+），%,=-n-；

2.当p=0时，方程有两个相等的实数根入1=%=-〃；

3.当〃<（）时，方程无实数根.

【自研自探】

自研课本P7・8页内容

典型例题

例1.解下列方程：

（1）?-8%+1=0;（2）2/+l=3x;⑶3f-6x+4=0.

【分析】（1）方程二次项系数为1,直接运用配方法.

(2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法.

(3)类似(2)运用配方法.

【详解】解：⑴移项，得=

配方，W(x-4)2=15.

由此可得x-4=±Ji£,

即W=4+小，苍二4一而..

(2)移项，W2X2-3X=-1.

二次项系数化为1,得/_二=」.

22

配方，得1一3]=_1..

I4J16

由此可得x二=士L,

44

,1

即占=1,々二鼠

(3)移项，得3/-6X=-4.

二次项系数化为1,得12一2八二-上

3

配方，f#(x-l)2=-l<0..

原方程无实数解.

第二环节合作探究

1.讨论二次项系数为1的方程配方解法

2.讨论探究二次项系数不为1的方程配方解法

3.讨论归纳配方法通用解题步骤

拓展提升：

1.阅读下面的材料：

为解方程卜一7)-5(--1)+4=0,我们可以将炉-1视为一个整体，然后可设/一1=)，,则*一])2=/,

原方程可化为V-5)，+4=O,用配方法解得y=L%=4.

当y=i时，x2-l=l,%=2,...x=±6；

当y=4时，X2-1=4,x2=5,cxr

综上所述，原方程的解为玉=石，X'=-后.

⑴根据材料解方程：X4+X12-6=0.

（2）已知实数“，/?满足（a+〃》（a+加-2）=24+4〃-4,求4〃+助-1的值

【详解】（1）解：设-则原方程可化为V+y-6=°,

用配方法解得）%二-3,乃=2.

当产-3时，X2=-3,无实数根；

当？=2时，/=2,解得工=±五.

综上所述，原方程的解为％=应，

（2）解：令a+»=x,则原方程可化为MX-2）=2X-4,（十一2）-=（）.

解得百=々=2,即〃+%=2.

.4”十助-l=4（a+%）-l=4x2-1=7

.•.4〃+助-1的值为7.

03巩固练习

课本课堂练习（P8）第1题、第2题（1、2、3）.

04真题感知

1.（2025.包头•校考期中）解方程：£+12x+27=。

【详解】：X2+12A=-27

x'+12x+36=-27+36

(X+61=9

x+6=3曲+6=—3

解得％=-3,

2.（2025.阿克苏校考）解方程：X2-2X-8=O.

［详解］解：x--2r-8=0,

移项得f-2x=8,

配方得Y-2X+1=8+1,即（X—17=9,

x-\=3ngx-l=-3,

解得X=4,勺=-2.

3.（2025•青浦•八年级校考期中）配方法解方程：3/-6》-1=0

【详解】