相似三角形应用举例 巩固练-2025-2026学年九年级数学下学期（人教版）

27.2.3相似三角形应用举例巩固练2025-2026学年

下学期初中数学人教版九年级下册

一、单选题

I.测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长A8为15米（如图），然后在4处树立一根高2米的

标杆，测得标杆的影长4。为2.5米，则楼高为（）

X00

/00

CAB

A.10米B.12米C.2.5米D.22.5米

2.如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体A8=30,根据图中尺寸（A8〃C。），则8

A.15B.30C.20D.10

3.如图，某次课外实践活动中，小红在地面点3处利用标杆FC测量一旗杆EQ的高度.小红眼睛点

A与标杆顶端点凡旗杆顶端点七在同一直线上，点&C,D也在同一条直线上.已知小红眼睛到

地面距离A5=1.6米，标杆高FC=3.8米，且BC=1米，CO=7米，则旗杆EO的高度为（）

C.17.6米D.19.2米

4.如图，路灯0P距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点0）20米的点A处，沿0A

所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（)

OBNAM

A.变长了1.5米B.变短了2.5米C.变长了3.5米D.变短了3.5米

5.如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达8处时，测得影子3C长

为I米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达处，此时影子/无:长为()

6.如图所不，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏

中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为()

7.如图，4(-3,0)、8(0,4)、户(4,0),A8=5,历、N两点分别在线段A3、y轴上，则

8.凸透镜成像的原理如图所示，AO〃/〃8C,若物体到焦点的距离班与焦点到凸透镜中心线。8的

距离。尸之比为3:2,则该物体缩小为原来的()

二、填空题

9.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆6E测量建筑物的高度，已知标杆5E高为1.5〃?，测得A6

=3m,AC=\0m,则建筑物CQ的高是m.

□

□

□

10.如图，电灯。在横杆AA的正上方，在灯光下的影子为CO,AB!/CD,AB=2cm,CD=5cm,

点2至I]C。的距离是3cm,则点P到AB的距离是

/

\

8

\

✓

Z

Z\

Z

Z

Z

Z

CZ

11.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高

度时，发现树的影子不全落在地面上，有•部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为1.6米，落在地

面上的影长为3.6米，则树高为米.

12.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于

井上，从木末望水岸，入径五寸.问井深几何？''意思是：如图，井径AB=5尺，立木高BZ)=3尺,

8石=5寸=0.5尺，则井深AC为尺.

D

13.高6cm的旗杆在水平面上的影长为8cm,此时测得一建筑物的影长为28m,则该建筑物的高为

14.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A,在近岸分别取点B,D,E,C,使

点A,B,。在同一条直线上，且点A,C,E也在同一条直线上，且。石〃8c.经测置3c=24

米，加＞=12米，。匠=40米，则河的宽度A4为米.

15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体的高度为36"明求它在暗

盒中所成的像。。的高度.

16.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们

通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE

=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆

的高度.

17.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中.如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C

的水平距离为8.8m,在阳光下某一时刻测得/米的标杆影长为0.8m,树影落在斜坡上的部分8=3.2m,

已知斜坡C。的坡比i=l：G，求树高AB.（结果保留整数，参考数据：73=1.7）

18.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、

Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与

过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.

STa

19.天小雯和小华去某影视基地游玩，小雯站在地面上给站在城楼上的小华照相时发现：她的眼睛A

点、凉亭顶端C点、小华头顶E点恰好在同一条直线上（如图）.已知小雯的眼睛离地面的距热

为1.68米，凉亭顶端离地面的距离。。为3.50米，小雯到凉亭的距离8。为3米，凉亭离城楼底部的

距离。尸为15米，小华身高石G为1.45米.请根据以上数据求出城楼的高度NG.

A:

BD

15米

20.小明想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是L4米；

此时，他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测

得BD=II.2米，CD=3米，求旗杆AB的高度.

□□

□□

□□

□□

□□

参考答案

题号12345678

答案BDDDBCBC

1.B

【分析】本题考杳了相似三角形在测量高度时的应用，在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻

的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对

应边的比相等，即可求解.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立

适当的数学模型来解决问题.

【详解】解：•••标杆的高：标杆的影长二楼高：楼的影长，

・•・楼高=12（米）.

故选：B.

2.D

【分析】根据题意△。。。。△办以根据三角形高的比等于相似比，进而即可求解.

【详解】解：依题意，AODCS^OAB

.AB36

••-----=—

CD12

•・•AB=30

：.CD=1x30=10,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

3.D

【分析】作交尸。于点G,把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比

例列出方程，解方程即可.

【详解】解：作交氏7于点G,如图所示：

E

VFCIBZ),ED工BD,AHLED交FC于点G,

:.FG//EH,

AHVED,BDLED,ABLBC,EDLBC,

，四边形A8。“、A8CG是矩形，

..AH=HD,AG=BC,

AB=\.6tFC=3.8,BC=l,CD=7,

...尸G=3.8-16=2.2,80=1+7=8,

FG//EH,

：・AAFG~-AEH

FGAG

2.21

0即I1——=-

EH8

解得：EH=176,

.-.ED=17.6+1.6=19.2(m)

答：旗杆的高E。是19.2米，

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形.利用相似三角形对应边成比例是解决

问题的关键.

4.D

【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化.

【详解】设小明在A处时影长为x,B处时影长为y.

VAD/70P,BC/7OP,

/.△ADM^AOPM,△BCN^AOPN,

.AD_MABC_BN

••而一前，7)P~ON，

，AD・MO=MA・OP,BC・ON=BN・OP,

则l.6x(x+20)=8x,1.6x(y+20-14)=8y,

x=5,>=L5,

:.x-y=3.5,

故变短了3.5米.

故选：D.

【点睛】本题是相似三角形的应用题，考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应达成比例,

应注意题中三角形的变化.

5.B

【分析】利用相似三角形的性质即可求得。£的长.

【详解】如图,'：FB//PA,GD//PA,

/.△Cra^AC«A,△EGD^AEPA.

.FBBCGDDE

**RA-AC'PA"'

•；FB=Gg.6米,AB=Bl)=4^t801米，

：.AC=AB+BC=4+\=5(米)，.4房48+8。+。月=4+4+。石=(8+0为米，

.BCDEI

♦♦----=-----=—.

ACAE5

：,AE=5DE,

即8+DE=5DE,

解得：DE=2.

即此时影长为2米.

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

6.C

【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和基本性质是解题关键.

【详解】解；如图:

由图可知，

*/BCED,

:.LABCS^ADE,

,AF_BC

•・而一而‘

又£>E=]0米，4尸=3米，FG=2米,

:.AG="+FG=5米

解得8C=6米,

故选C.

7.B

【分析】如图，连接PN,作NM_LA8于M,作?“J_ABfM咬V轴于点N：根据垂线段最短

可知，PN+MN的最小值为线段W的长，再证明AABCSM尸“，可得笆=照；，由此即可解

APPM

决问题;

【详解】解：如图，连接PN,作力△于M,作尸加」45于“，交了轴于点乂二

PN+MN4PN'+N'M',

^PN+MN<PM't

根据垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段网小的长,

ZI3AO=ZPAM',Z4O，=Z4M'P=90。，

.•.AA88AAPM',

ABOB

…Ap-PM、'

—5=--4-，

7PM,

，“哼

.•.川+加的最小值为三,

故选B.

【点睛】本题考查垂线段最短，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用垂线段最短解决

问题，属于中考常考题型.

8.C

【分析】先证出四边形O8CG为矩形，得至l]OB=CG,再根据VAgsVBO”,求出缥，从而得到物

CO

体被缩小到原来的几分之几.

【详解】解•：BC//1,CG1/,8011,

.•・四边形O8CG为矩形，

:.OB=CG，

物体到焦点的距离//与焦点到凸透镜中心线DB的跑离O”之比为生2,

.HF、咻_3

~OF~~OF\~2f

AH±HO,BOLHO,ZAFiH=ZBFlOt

.AH_HF_3

•・前一而-3,

AH3

/.-----=-，

CG2

•••物体被缩小到原来的:2倍，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三年形的性质

进行求解是解题的关键.

9.5

【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出C。的长，从而可以解答本题.

【详解】VEB1AC,DCLAC,

：.E13//DC,

AZAEB=ZADC,ZABE=ZACD,

又・・・NA=NA,

・•・△ABES/XACO,

.AB_BE

''~AC~~CD'

VBE=1.5in,AB=3tn,AC=10/n,

.31.5

••=,

10CD

解得，CD=5,

即建筑物C。的高是5m,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键.

10.-

5

【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答.

【详解】解:AB//CD

;.MAB^PCD

AB:8=〃到AB的距离：点P到CD的距离.

・•.2:5=P到A3的距离：3

.•/到A8的距离为当"，

•-

故答案为5.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三

角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出。到八8的距离.

11.6.1

【分析】设从墙壁的影子的顶瑞到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高

度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高.

【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，

得上噎，

解得x=4.5,

；・树高为4.5+1.6=6.1（米），

故答案为：6.1.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一

时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

12.27

【分析】根据AC〃4。，得到七，进而得到、=▼，代入数值，求出AC,问题得

BDBE

解.

【详解】解：：AC〃用九

:.AACESABDE,

,ACAE

••=,

BDBE

nnAC5-0.5

30.5

解得4c=27,

故井深AC为27尺.

故答案为：27

【点睛】本题考杳了相似三角形的应用，解题的关健是根据AC〃B。得到△ACES2X8DE.

13.21m

【详解】设建筑物高为hm,依题意得

6_/?

8=28

解得，h=21

故答案为21m

【点睛】本题考核知识点：成比例性质，解题关键点：理解同一时刻，物高和影长成比例.

14.18

【分析】设河的宽度AB为x米，则AO=(12+x)米，由DE//BC可•得△ABCs^ADE,根据相似三角

形的性质可求出x的值，即可得答案.

【详解】设河的宽度AB为x米，则AO=(12+x)米.

•:DE//HC,

Ai.ABCADE,

.ABBC

"AD=DEF

解得x=18.

故河的宽度AB为18米.

故答案为：18

【点睛】本题考查相似三角形的应用，如果-一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，

那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个

三角形相似；如果两个三角形口勺三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三:先形一边的

直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；热练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

15.它在暗盒中所成的像CDR勺高度为16cm

【分析】过点0分别作0石_146,0尸_1。。，垂足分别为点£下,因为人8〃©口所以4人809/^^0,

则有言哮而AB的值已知，所以可求出CD.

【详解】解：如图，过点0分别作OE_LA8,OFVCD,垂足分别为点E,F.

•・•AB“CD,

；・NR4O=NOCO,NABO=tCDO.

MOBs^cOD.

.ABOE

••-----=------•

CDOF

*/AB=36cm.OE=45cm.OF=2()cm.

**•»解得CO=16.

x--

：•它在暗盒中所成的像CD的高度为16cm.

【点睛】此题考杳相似三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理.

16.旗杆的高度为11.5m

【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；

【详解】解：由题意可得：△DEFs/XDCA,

•・・DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m,DC=20m,

.0.50.25

••9

20AC

解得:AC=IO,

故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m).

答：旗杆的高度为11.5m.

【点睛】本题主耍考食了相似二角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键.

17.树高A8为16m

【分析】点。作QEJ■人从。匚LAC，构建直角三角形，根据三角函数的计算和相似三角形的相似比

求解.

【详解】解：过点作。DFA.AC,垂足分别为£F,如图，

•・•斜坡CD的坡比j=l：G，即碗NQCG也，

3

ZDCF=30°,

而CQ=3.2m,

/.DF=gCD=1.6/??,CF=6DF=1.6>/3m,

VDF1AC,DE±AB,AC_L4B,

・•・四边形4ED”是矩形，

.\AE=DF,DE=AF,

VAC=8.8m,

/.DE-AF-AC+CF-^.^1.6万，

.BEDE_S.S+\.6y/3

・丁一证一(18

・・・8E=ll+25

.\AB=BE+AE=\2.6+2y/3~16Im).

答：树高A8为16m.

【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了相似三角形的性质，解直角三角形，理解坡比，构造直

角三角形是解题的关键.

18.90米

【分析】根据相似三角形的性质得出p：鼠喈，进而代入求出即可.

【详解】解答：根据题意得出：QR〃ST,

则4PQRsZXPST,

HrPQQR

PQ+QSST*

VQS=45m,ST=90m,QR=60m,

・0。二60

••尸。+45