第一章 三角形的证明及其应用 单元培优题（含解析）2025-2026北师大数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用单元培优题2025-2026北师大数学八年级下

册

一.选择题（共5小题）

1.如图，△力8C中，AB=AC,N6=40°,D为线段8c上一动点（不与点8,。重合），连接力。，作N

ADE=40°,OE交线段力。于E,以下四个结论：@ZCDE=ZBAD；②当。为8c中点时，DE±

AC；③当△力。£为等腰三角形时，ZBAD=20a；④当NB4）=3O°时，BD=CE,其中正确的结论

的个数是（）

C.3D.4

2.如图，在四边形力8C。中，NDAB=NBCD=90°,分别以四边形44CQ的四条边为边向外作四个正

方形，面积分别为a,b,e,d.若。=2,b+c=12,则4为（）

A.8B.10C.12D.14

3.如图，在△力3。中，彳。是高，力E是角平分线，若NB=a,ZC=p,贝1叱。力5=（

90°-a+/?90。+/

仁-2~D."I-

4.如图，在△力8C中，ZABC.24C8的角平分线交于点P,将沿。£折叠使得点力与点。重合,

若Nl+N2=80°,则N8PC的度数是（）

第1页（共39页）

B

A.100°B.110°C.120°D.130°

5.如图，OP=1,过点P作PP_LOP,得001=鱼：再过点Pi作PIP2_LOPI，且P1P2=1，得。。2=遮：

又过点P2作P2P3_LOP2，且P2P3=1得OP3=2,依此法继续作下去，得OP2018=（）

OP

A.V2018B.2018C.V2019D.1

二.填空题（共5小题）

6.在。中，AB=\3cm,AC=20cm，8C边上的高为12a小则△力8c的面积为_____________cm2.

7.三个全等三角形按如图的形式摆放，则N1+N2+N3的度数是___________.

8.在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正

放置的四个正方形的面积依次是Sl，S2，$3，S4，则S+S2+S3+S4=_

53s]

I

9.如图，△4BE和△力CO是△力8c分别以48、4C为对称轴翻折180°形成的，若Nl：Z2：Z3=29：

4：3,则Na的度数为__________.

第2页（共39页）

10.如图，在第1个△/a小中，N8=40°,ZBAA\=ZBA\A,在力用上取一点C,延长44|至1」42，使

得在第2个△小。2中，ZJiC/12=ZJ1/I2C：在A1C上取一点D,延长AIA2到43,使得在第3个△力山3

中，//力力3=/4乂3。；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以43为顶点的内角的度数

11.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）

如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点历，N表示大学，AO,40表示公路）.现计划修建一

座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定仓库P应该建在

什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.

12.如图，△48C丝△力EQ,点E在线段8C上，Zl=64°,求N3的度数.

13.如图，在△48。中，48边的垂直平分线A交8c于点。，力。边的垂直平分线/2交AC于点区/1与

/2相交于点。，连接08,OC,若△力OE的周长为6c“3△08C的周长为16a”.

（1）求线段4C的长：

（2）连接CM,求线段04的长；

（3）若NB4C=120°,求/。4七的度数.

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A

If

BDV~/EC

14.如图，在△/16C中，AB=AC,6c=10c,〃,点。在力8上，且6。=6c〃：点M从6出发以每秒lc，〃

的速度向点C运动，同时，点N从。出发向点力运动，设运动时间为f秒，连接。A/、MN.

(1)用含/的式子表示8必、MC;

(2)若点N的运动速度也为每秒比小，/为何值时，△DBM/AMCN；

(3)若点N的运动速度和点”的速度不相等，要使△OBMgANCW,则点N的运动速度为多少？全

等时z为多少？

A

15.如图，在△43。中，AB=AC,尸是射线4c上一点，过点P作PELAC,垂足分别为。，E,

过点“作2户_L4C.垂足为凡连接4P.

(I)如图1,点P在边AC上，写出线段?。，PE,4厂之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图2,点P在8C的延长线上.当S/\”c=10,AB=5,PE=2时，求线段PQ的长.

图1图2

16.已知：如图，在中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点8出发沿射线8c以1cm/s

的速度移动，设运动的时间为，秒.

(1)求8c边的长；

(2)当△力3尸为直角三角形时，求/的值；

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（3）当△48〃为等腰三角形时，求/的值.

17.如图，中EC=6,点。从点8出发沿射线84移动，同时，点。从点C出发沿线段

4C的延K线移动，已知点产、。移动的速度相同，产。与直线6C相交卜点。.

（1）如图①，当点。为的中点时，求CO的长；

（2）如图②，过点P作直线8C的垂线垂足为E,当点P、。在移动的过程中，线段BE、DE、CO中

是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

18.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段

的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用：在等腰三角形中，AB=AC,其一腰

上的高为从M是底边BC上的任意一点，M到腰/出、/1C的距离分别为/小hi.

（1）请你结合图形来证明：h\+h2=h；

（2）当点“在延长线上时，hi、In、力之间乂有什么样的结论.请你画出图形，并直接写出结论

不必证明；

（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线小产条+3,在尸・3x+3,若/2上的

3

一点M到/|的距离是5求点M的坐标.

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（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块直角三角尺XYZ放置在△/出。上，使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过点儿C,

/4=54°,则°；

②如图3,DC平分/<DB,EC平分/^EB,若ND4E=a,NDBE=0,请用含a和p的式子表示NOCK

的度数.

20.图1,线段48、CO相交于点O,连接4。、C8,我们把形如图1的图形称之为“8"字型.如图2,

在图1的条件下，ND48和N3CO的平分线/P和C尸相交于点P,并且与分别相交于M、N.试

解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出乙八/B、NC、NQ之间的数量关系：；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；

（3）图2中，当/。=50度，/月=40度时，求/尸的度数.

（4）图2中/。和4B为任意角时,其他条件不变，试问ZP与ND、/B之间存在着怎样的数量关系.（直

接写出结果，不必证明）.

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D

D

AM

图1图2

21.如图，已知四边形/168中，AB//CD,BC=AD=4,AB=CD=\D,NZX?6=90°,E为8边上的

一点，DE=1,动点P从点力出发，以每秒1个单位的速度沿着边力4向终点3运动，连接。石，设点

产运动的时间为/秒.

（1）求8f的长;

（2）若ABPE为直角三角形,求/的值.

22.在△力BC中，AB=AC.

(1)如图1,如果N比10=30°,力。是8C上的高，AD=AE.则NE0C=

(2)如图2,如果NMO=4Q°,力。是〃。上的高，AD=AE,则NKOC=

(3)思考：通过以上两题，你发现/B/1。与NEOC之间有什么关系？请用式子表示:

如图3,如果力。不是8c上的高，AD=AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理

由.

图2图3

23.现有一张△NBC纸片，点力、£分别是边上两点，若沿直线QE折叠.

研究（1）：如果折成图①的形状，使点力落在CE上，则N1与N/1的数量关系是

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N1+N2与N4的数量关系是；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想Nl、N2和/力的数量关系，并说明理由.

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图①图②图③

24.如图，乙408=90°,点C、。分别在射线。力、08上，CE是乙1。的平分线，CE的反向延长线与

的平分线交于点反

(1)当NOCO=50。(图1),试求NF.

（2）当C、。在射线。/、08上任意移动时（不与点0重合）（图2）,N尸的大小是否变化？若变化,

（1）如图1,将E8延长，延长线相交于点。

①求证：BE=AD\

②用含a的式子表示N4O4的度数（直接写出结果）:

<2）如图2,当a=45。时，连接〃。、AE,作CW_!_/£■于“点，延长/WC与8Z）交于点M求证：N

是4。的中点.

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第一章三角形的证明及其应用单元培优题2025-2026北师大数学八年级下

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参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

题号12345

答案CBABC

一.选择题（共5小题）

1.如图，△/AC中，AB=AC,/5=40°,。为线段8c上一动点（不与点4,。重合），连接力力，作N

ADE=40°,。石交线段4C于巴以下四个结论：①NCDE=NB4D；②当。为8c中点时，DEL

AC；③当△力。E为等腰三角形时，ZBAD=2Q°；④当NB4O=30°时，BD=CE.其中正确的结论

的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据等腰三角形的性质得到N8=NC=40°,根据三角形的内角和和平角的定义即可得到/

BAD=ZCDE；根据等腰三角形的性质得到4Q_L8C,根据三角形的内角和即可得到。E_L4C；根据三

角形外角的性质得到/4£。>40°,求得N4OEWN4EO,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得

至|JN84D=6O°,根据全等三角形的性质得到

【解答】解：①•••45=/C,

••・NB=NC=40°,

40=180°-40°-/ADB,NCQE=180°-40°-/ADB,

・・・/8力£>=/。。匕故①正确；

②•・•£）为8c中点，AB=AC,

：・AD1BC,

AZADC=90°,

AZCDE—50°,

第9页（共39页）

VZC=40°,

AZDEC=90°,

：.DE±AC,故②正确；

（3）VZC=40°,

AZAED>40°,

JNADE于NAED,

•••△4OE为等腰三角形，

：.AE=DE,

：.ZDAE=ZADE=40（i,

VZZ?JC=1800-40°-40°=100°,

：.ABAD=W,

或,••△/QE为等腰三角形，

；・AD=DE,

：.^DAE=ZAED=70°,

VZ5JC=180°-40°-40°=100°,

：・NBAD=30°,

故③错误，

④TN24£）=30°,

：.ZCDE=30°,

:・/ADC=70°,

AZCJD=180°-70°-40°=70°,

・•・ZDAC=ZADC,

：・CD=AC,

*：AB=AC,

：.CD=AB,

:.△ABIY^RDCE（ASA）,

故④正确：

故选：C.

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【点评】本题考杳了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一:角形的内角和，正确的识别图形

是解题的关键.

2.如图，在四边形48。中，/DAB=/BCD=90°,分别以四边形力8CQ的四条边为边向外作四个正

若a=2,b+c=12,则"为()

C.12D.14

【分析】利用勾股定理的几何意义解答.

【解答】解：由题意可知：a=AB2,b=BC2,c=CD2,d=AD2.

如图，连接A。，

在直角△44。和△8CQ中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,

即a+d=b+cf

•二。=2,b+c=12,

t/=12-2=10.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边.

3.如图，在中，力。是高，力E是角平分线，若NB=a,ZC=p,贝()

第11页(共39页)

A

【分析】根据三角形的内角和定理，用a和。表示出ZD4E•的度数即可.

【解答】解：VZ^C+Z5+ZC=180°,NB=a,NC=p,

工/B4c=180°-a-p.

HE平分NA4C,

：.ZCAE=^ZBAC=90°

•；ADtBC,

••・/。。=90°-p,

:・/DAE=/CAD・NCAE=900-p-(90°一一:?)=竽.

故选：A.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键.

4.如图，在△44C中，NABC、NT/CB的角平分线交于点P,将△川9c沿。E折叠使得点力与点尸重合,

若/1+N2=*O°,则NAPC的度数是()

【分析】根据折叠得出NPOE=N4)E,/PED=/AED,再由三角形内角和和平角定义求出4力=

1(zl+z2)=40°.根据三角形内角和定理可得N48C+N4cB=180°-ZJ,根据角平分线的定义可

得N〃PC=180°-QPBC+/PCB)=90°+*乙4，由此即可得答案.

【解答】解：•・•将△48。沿。£折叠使得点力与点P重合，

••・由折叠可知：ZPDE=ZADE,/PED=/AED,

.,.Zl+2ZJ/)E=180o,Z2+2ZJED=180°.

AZ1+Z2+2(ZIADE^ZLAED')=360",

第12页(共39页)

又・・・N4OE+N4EO=180°・N4

AZ1+Z2+2(180°-ZJ)=360°,SPz/1=y(zl+z2)=40°,

11

■:乙PBC=3乙ABC,乙PCB=5乙ACB,N4BC+/4CB=180,-N4

L乙

，乙PBC+乙PCB=1(^ABC+乙ACB)=1(1800-ZZ1),

AZ5PC=ISO0-(ZPBC+ZPCB)=90°4-1z/l.

:.乙BPC=90o+1x40°=110°.

故选：B.

【点评】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是解题关键.

5.如图，OP=\,过点P作。外_LOP,得OP尸我；再过点P作P|P2_LOPI，且夕产2=1，得。。2=遮;

又过点P2作尸2P3，。乃，且尸2P3=1，得0尸3=2,依此法继续作下去，得。。2018=（）

A.V2018B.2018C.72019D.1

【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案.

【解答】解：VOP=1,OP\=V2,OP2=x/3.OPy=x/4=2,OP4=x/5,

以此类推，OP20i8=V2019.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解

此题的关键是能根据求出的结果得出规律.

二.填空题（共5小题）

6.在△48C中，AB=\3cm,AC=20cm,8。边上的高为120〃，则△X8C的面积为126或66c〃/.

【分析】此题分两种情况：为锐角或/48c为钝角已知力片、力C的值，利用勾股定理即可求出8C

的长，利用三角形的面积公式得结果.

【解答】解：当为锐角时（如图1）,

在心△48。中，

BD=7AB2—=V132—122=3（cm）»

第13页（共39页）

在RtZL4OC中，

CD=yjAC2-AD2=V202—122=16(cm),

：.BC=2\,

^SMBC=i-BC-=Ix21X12=126(cw2)；

当N/出。为钝角时(如图2),

在Rt△月6。中，

BD=>JAB2-AD2=V132-1Z2=5(cm),

在Rt△力。。中，

CD=y/AC2—AD2=V202—122=16(cm)>

:・BC=CD-BD=\6・5=T1(cm),

2

^•SAABC=J-FC-/ID=Ix11X12=66(cw),

【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键.

7.三个全等三角形按如图的形式摆放，则N1+N2+N3的度数是.180°.

【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出N4+N9+/6=180",

Z5+Z7+Z8=180°,进而得出答案.

【解答】解：如图所示：

第14页（共39页）

由图形可得：Nl+N4+N5+N8+/6+N2+N3+N9+N7=54D°,

•・•三个全等三角形，

AZ4+Z9+Z6=180°,

XVZ5+Z7+Z8=180°,

・・・N1+N2+N3+18O°+180°=540°,

•••N1+N2+N3的度数是180°.

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题

关键.

8.在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正

放置的四个止方形的面积依次是Si，S2，S3,S4,则S+S2+S3+S4=l

【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答.

【解答】

解：观察发现,

•；AB=BE,N/1CB=NBDE=9O°,

：,ZABC+ZBAC=90°,NABC+NEBD=90°,

:"BAC=/EBD,

：./\ABC^^BDE(AAS),

:,BC=ED,

第15页（共39页）

,:AB2=AC2+BC2,

，AB2=AC2+ED2=SI+S2，

即S1+S2=1,

同理S3+S4=3.

则SI+S2+S3+S4=1+3=4.

故答案为：4.

【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理.注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的

正方形的面积.

9.如图，ZX/IBE和△力CO是△/8C分别以力8、4C为对称轴翻折180°形成的，若Nl：Z2：Z3=29：

4：3,则Na的度数为7度.

【分析】根据轴对称的性质可得AABC=/EBA,再根据三角形的内角和等于180°

列式计算即可N2+N3的度数.然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出Na.

【解答】解：由题可得，ZACB=ZACD,ZABC=ZEBA,

*/Z1：N2：N3=29：4：3,

7

.,.Z2+Z3=180°x套=35°,

AZa=ZEBC+ZDCB=2(N2+N3)=2X35°=70°,

故答案为：70°.

【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的

内角和定理，熟记性质并表示出Na是解题的关键.

10.如图，在第1个△力8小中，NB=40°,NB44=NB44,在小8上取一点C,延长力小至1」42，使

得在第个△力。血中，ZA1A2C；在A1C上取一点D,延长出血到使得在第个△加。力

21ZAICA2=43,33

中，/加。43=/彳乂3。；…，按此做法进行下去，笫3个三角形中以加为顶点的内角的度数为

70°

17.5。；第〃个三角形中以4为顶点的底角的度数为_后_.

第16页(共39页)

3

■*"A：Ai

【分析】先根据等腰三角形的性质求出/4的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质

分别求出/。血小，及NE4小的度数，找出规律即可得出第〃个三角形的以4为顶点的底角

的度数.

【解答】解：•・•在△48小中，N8=40°,AB=A\B,

：.ZBAiA=^(180°・NB)=*(180°-40°)=70°,

,：A\A2=A\C,/〃由力是△出力2。的外角，

/.ZCA2A\=^BA\A=IX705=35°；

11

同理可得,/。4342=/7()。=17.5°,NE4M3=/7()。，

以此类推，第〃个三角形的以4为顶点的底角的度数=，3.

70°

故答案为：17.5°,—.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出N。4|，NDAX2及4

E4U3的度数，进而找出规律是解答此题的关键.

三.解答题(共15小题)

11.作图题：(不写作法，但必筑保留作图痕迹)

如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，(点M,N表示大学，40,8。表示公路).现计划修建一

座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定仓库夕应该建在

什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.

>

【分析】先连接MM根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线再作出/力。〃的平

分线。凡OE与。尸相交于P点，则点P即为所求.

第17页(共39页)

【解答】解：如图所示:

（1）连接A/M分别以M、N为圆心，以大于3/N为半径画圆，两圆相交于。£连接OE,则即

为线段MN的垂直平分线；

（2）以。为圆心，以任意长为半径画圆，分别交04、08于G、H,再分别以G、〃为圆心，以大于3汨

为半径画圆，两圆相交于尸，连接。F,则。/即为/408的平分线（或/力。8的外角平分线）；

（3）OE与。/相交于点P,则点P即为所求.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键.

12.如图，△48cgA4EQ,点E在线段BC上,/]=64。，求/3的度数.

【分析】根据全等三角形的性质得到N^C=NEW,AE=AB,从而得到N2=N1=64°,从而求出

N8+N3=U6°,进而根据等边对等角即可解答.

【解答】解：•：AABCWAAED,

："BAC=NEAD（全等三角形对应角相等），AE=AB（全等三角形对应边相等）.

第18页（共39页）

/.ABAC-ZEAC=/EAD-"AC,

AZ2=Z1=64°,

••・N4+N3=1800-N2=180°-64°=116°,

,AE=AB,

••・N3=NB=58°.

【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握.

13.如图，在△/3C中，力4边的垂直平分线八交4C于点。，/C边的垂直平分线右交4c于点区/1

/2相交于点。，连接O&OC,若△力。E的周长为6cm,的周长为16c/〃.

（1）求线段8C的长：

（2）连接04求线段04的长；

（3）若NR4C=12（）°,求ND4七的度数.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到。4=。8,EA=EC,根据三角形的周长公式计算即可;

（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；

（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算.

【解答】解：（1）・・Z是48边的垂直平分线

:・D4=DB,

•・・/2是力。边的垂直平分线，

:・EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；

（2）•・•/］是48边的垂直平分线，

；・04=08,

•・・/2是力。边的垂直平分线，

：,OA=OC,

,：OB+OC+BC=i6cm,

第19页（共39页）

，OA=OB=OC=5cm；

(3)VZBJC=120°,

AZABC+ZACB=60<>,

*：DA=DB,EA=EC,

:.NBAD=NABC,NEAC=NACB,

JZDAE=NBAC-NB4D-ZfJC=60o.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等.

14.如图，在△N8C中，AB=AC,4c=10c〃?，点。在小上，且40=6cm；点M从8出发以每秒lc〃?

的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点/运动，设运动时间为/秒，连接。必、MN.

(1)用含，的式子表示8M、MC；

(2)若点N的运动速度也为每秒1。〃?，，为何值时，△DBM/AMCN；

(3)若点N的运动速度和点”的速度不相等，要使408朋且△NOW,则点N的运动速度为多少？全

等时/为多少？

【分析】(1)根据题意列代数式即可；

(2)由点N的运动速度也为每秒lc〃?，则NC=f,8M=NC,再由则MC=8O=6,

所以10-/=6,然后求解即可；

(3)由点N的运动速度和点M的速度不相等，则8MWNC,△DBM^ANCM,则NC=BD

=6,即邮为8c中点，所以尸10一，然后求解即可；

【解答】解：(1)由题意得：BM=t,MC=10-Z：

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（2）•・•点N的运动速度也为每秒lew,

：.NC=t,BM=NC,

'：4DBM@/XMCN；BD=6cm,

：.MC=BD=6cm（全等三角形对应边相等），

A10-/=6,

解得/=4,

・丁=4时，△DBM/4MCN;

（3）由点N的运动速度和点切的速度不相等，则8MWNC

:.BM=MC,NC=%?=6%（全等三角形对应边相等），

・•・.”为中点，

A/=10-/,

解得：z=5,

••・点N的速度为每秒gem.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的

关键.

15.如图，在△48C中，AB=AC,尸是射线8C上一点，过点P作PD上/IB,PEtAC,垂足分别为Z）,E,

过点8作8/LL力C,垂足为R连接4P.

（1）如图1,点尸在边6c上，写出线段产。，PE,8厂之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,点尸在8c的延长线上.当SA48c=1（），AB=5,PE=2时，求线段。。的长.

图1图2

【分析】（1）由题意得出5沙g=5y外+5y小，则有•BF=^AB•PD+|/1C-PF,再结合AB

乙乙乙

=AC即可得出结论：

<2）山题意得出打4如=5g18/>--BF=^AB-PD-AC-PF,再结合

乙乙/1

第21页（共39页）

得出由三角形的面积求出86的长，最后即可得出答案.

【解答】解：(I)BF=PD+PE,理由如下：

•:PDLAB,PELAC,BFLAC,

:・SdABC=SAABKS&APC，即;力。•BF=-AB-PD+-AC-PF,

乙乙乙

•：4B=AC,

/.BF=PD+PEx

(2)*：PDLAB,PE1,AC,BFLAC,

111

••S^ABC=S^ABP-S&APC，即34c•BF=-AB-PD--AC-PE

乙乙乙f

*：AB=AC,

:・BF=PD-PE.

**Si\ABC=10»

1

：,-AC*BF=\Q,

2

t：AC=AB=5,

1

-o

2

整理得，58F=20,

解得即=4,

；・PD=BF+PE=4+2=6,

所以线段尸。的长为6.

【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等积法是解题的关键.

16.已知：如图，在RI△48。中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点尸从点8出发沿射线AC以\cm/s

的速度移动，设运动的时间为/秒.

（1）求8C边的长；

（2）当△48P为直角三角形时，求/的值：

（3）当△力8。为等腰三角形时，求/的值.

【分析】（I）直接根据勾股定理求出4C的长度;

第22页（共39页）

(2)当△48P为直角三角形时，分两种情况：①当/4P8为直角时，②当N84。为直角时，分别求

出此时的I值即可;

(3)当△4B尸为等腰三角形时，分三种情况：①当力8=4P时；②当0时；③当尸时，

分别求出8P的长度，继而可求得/值.

【解答】解：(1)在RtZ\4?C中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

BC=4(cm)；

(2)由题意知8P=/c加，

①当N4P8为直角时，点P与点。重合，BP=BC=4cm,即，=4；

②当NA4P为直角时，BP=tcm,CP=(Z-4)cm,AC=3cm,

在RtZX/b中，

4P2=32+(z.4)2,

在Rt△比1尸中，AB2+AP2=BP2,

即：52+[32+(/-4)2]=t2,

解得：/=予，

故当△N8P为直角三角形时，f=4或f=空；

(3)①当力8=8。时，1=5；

②当48=力。时，BP=2BC=8cm,，=8；

③当8尸=4。时，AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,

在心△4“中，AP2=AC2+CP2,

所以尸=32+(47)2,

解得：/=等.

综上所述：当△力8。为等腰三角形时，/=5或/=8或/=券.

第23页(共39页)

图①图②

【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分

情况讨论，注意不要漏解.

17.如图，△48C中力EC=6,点尸从点8出发沿射线切移动，同时，点。从点C出发沿线段

4C的延长线移动，已知点尸、。移动的速度相同，与直线8C相交于点。.

（1）如图①，当点尸为的中点时，求。。的长：

（2）如图②，过点尸作直线8c的垂线垂足为£,当点P、。在移动的过程中，线段8E、DE、CQ中

是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

（分析］（1）过点尸作PF平行于AQ,由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC,

根据等边对等角得角8和角4c8的相等，根据等量代换的角8和角尸网的相等，根据等角对等边得

BP=PF,又因点。和点。同时出发，且速度相同即4P=CQ,等量代换得尸P=C。，再加上对等角的

相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=

而又因。是力4的中点，尸尸〃力0得出厂是5C的中点，进而根据已知的4c的长，求出CF,即可得出

CD的长.

（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段4月上，根据等腰三角形的三线合一得8E=ER再乂第

一问的全等可知OP=C。，所以ED=EF+FD=BE+DC=3BC=3,得出线段。E的长为定值；第二种情

况，尸在8/的延长线上，作PM平行于4c交〃。的延长线于根据两直线平行，同位角相等推出

角PMB等于角ACB,而角力C8等于角力8C,根据等量代换得到角力8。等于角PM8,根据等角对等边

得到等于P8,根据三线合一，得到等于同理可得△PMO全等于△。8,得到8等于

DM,根据。E等于EM减。M,把EM换为8c加CM的一半，化简后得到值为定值.

【解答】解：（1）如图，过P点、作PF//AC文8C于F,

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・・•点）和点。同时出发，且速度相同,

：,BP=CQ,

'：PF//AQ,

NPFB=ZACB,NDPF=4CQD,

又・.・48=力。，

:・NB=NACB,

：.4B=/PFB,

:.BP=PF,

：,PF=CQ,又/PDF=/QDC,

，证得△PF。丝△。8,

:,DF=CD=

又因尸是/〃的中点，PE//AQ,

是8c的中点，即尸C="C=3,

:.CD=^CF=I；

（2）分两种情况讨论，得为定值，是不变的线段,

如图，加果点夕在线段力“上.

过点P作PF//AC交8C于凡

•・•△尸8尸为等腰三角形，

:・PB=PF,

BE=EF,

:,PF=CQ、

:.FD=DC,

/.ED=EF+FD=BE+DC=^BC=3,

・・・七。为定值，

同理，如图，若q在A4的延长线上，

第25页（共39页）

作PM//AC的延长线于“，

，NPMC=N4CB,

又•••48=力。，

:・/B=NACB,

；・4B=/PMC,

：,PM=PB,根据三线合一得BE=EM,

同理可得△PMOgZi0C。，

所以CD=DM,

•；BE=EM,CD=DM,

:・ED=EM-DM=叱,M_p^=竿+粤-DM=3+DM-DM=3,

综上所述，线段£7D的长度保持不变.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一

道综合题.

18.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段

的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用：在等腰三角形48C中，AB=AC,其一腰

上的高为人"是底边4c上的任意一点，M到腰力以1C的距离分别为加、hi.

（1）请你结合图形来证明:加+〃2=爪

第26页（共39页）

A

（2）当点M在8c延长线上时，hi、B、〃之间又有什么样的结论.请你画出图形，并直接写出结论

不必证明；

（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线尸%+3,田产・3x+3,若/2上的

【分析】（1）根据S^A/iC=S^ABM+S^AMC即可求出答案；

（2）h\-h2=h；

（3）先求得。为等腰三带形，再根据（1）（2）的结果分①当点用在3C边上时，②当点“在

CS延长线上时，求得M的坐标.③当点M在8c的延长线上时，h\=^<h,不存在：

【解答】（1）证明：连接4W,由题意得加=ME,h?=MF,h=BD,

「JSC=A/C»

S^AB.vf=xJZ?XME=gxABXhi，

S^AMC=xJCXMF=X/1CXhi,

又•：SAABC=XAC又BD=xACXh,AB=AC,

111

xACXh=|xABXh\+^x/CX〃2，

,\h\+h2=h.

（2）解：如图所木:

h\-ln=h.

第27页（共39页）

(3)解：在了=不¥+3中，令戈=0得y=3；令y=0得x=-4,

所以4(-4,0),B(0,3)同理求得C(1,0).

AB=>/OA2+OB2=5,AC=5,所以力8=%。，

即△〃火;为等腰三角形.

.3OO

①当点必在AC边上时，由拼+〃2=/?得：-+My=OB,Mv=3-^=^

把它代入尸・3/3中求得：Mx=1,

13

所以此时M（―,—

②当点必在C8延长线上时，由指-62=方得：%-3=03%=3+：=2

1

把它代入》=-3x+3中求得：%=-中

19

所以此时M（-义，-）.

乙Z

③当点时在4C的延长线上时，/n=1</n不存在；

1319

综上所述：点A/的坐标为A1%,-）或（一亍

LL乙L

第28页（共39页）

【点评】（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果.

19.如图1,像我们常见的学习用品一一圆规，我们把这样图形叫做“规形图”.

（2）请你直接利用以上结论，