2025年北京某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025北京北师大附中高二(下)期中

数学

考

1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.

生

2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.

须

3.考试结束后，考生应将答题纸交回.

知

一、选择题共10小题，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.在等差数列｛"J中，%%则4=()

A.4B.5C.6D.9

2.己知函数/(x)=cos2x,则/'()

A.-2B.-1C.2D.1

3.学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人

随机选择一个目的地，不同选法的种数是()

A.81B.64C.24D.12

4.已知函数/(x)=Sinx—；x,则在下列区间上，/(x)单调递减的是()

A.1别B.陷

5.设等比数列｛%｝的前〃项和为S”.若q=l,S3=|,则S4二()

751

A.-B.-C.0D.--

882

6.已知函数/(x)=3(2—〃门x—小/在工=1处取得极小值，则〃?的值为()

A.-2B.1C.一2或ID.-1或2

7.等比数列｛qj中，公比为g,则“%+2>%”是“4>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

8.已知定义在R上的函数/(K)的导函数/'(x)的图象如图所示，下列命题中正确的是()

A.7是/(力的极值点

B./")在区间(-8,-3)上单调递增

C.-3是/,(X)在区间[-4』上的最小值点

D.曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线斜率小于零

9.设数列｛%｝的前〃项和为5“.若％=2,S”=(〃+?凡,则4=()

A.18B.12C.6D.3

1().若数列｛%｝各项均为正数，且川则下列结论错误的是()

A.对任意〃22,an>\B.当q<2时，存在〃之2,使得勺>2

C.｛%｝可以是常数列D.当q>2时，对任意〃22,an<a]

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.曲线y=xlnx的一条切线斜率为0,则该切线的切点坐标为.

12.3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为.(结果用数字作

答)

13.己知函数/(力=处的导函数为了'(X),对任意xwO,/(x)>/'(x)恒成立，则。的一个取

A

值可以是________

14.数列｛%｝满足：对任意左数列%i，-。2r是公差为4.的等差数列，且数列｛4｝

也是等差数列.若q=0,%=4,%=24,则氏=；｛%｝的前9项和等于.

15.己知函数/。)=1三一(丘+b),k,bwR,给出下列四个结论：

①当女=0时，/(工)有1个极值点；

②当时，/(x)存在极值点；

O

③当人=0时，有1个零点；

④当0<6<:时，存在实数A,使得了（x）有3个零点.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在等差数列｛〃”｝中，a6=-6,a7=-3.

（1）求｛%｝通项公式及其前〃项和S.的最小值；

（2）若数列也｝为等比数列，旦4=佝，&=%,求也｝的前〃项和7；.

17.已知函数/'（x）=>-3%2-9X+C（C£R）.

（1）求/（X）的单调区间；

<2）若/（X）在区间［-2,4］上的最大值为7,求它在该区间上的最小值.

18.在数列｛。”｝中，q=2,an+｝=aH+T.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若数列出“｝满足对任意［wN"，2凰="+&2,且4=3,4=%+1，设其前〃项和为

S”.

「'冷新万J1I的、,.〃西和+r步1T，

（1）设数列的刖〃项和为4,求证：Tn<—\

5）若对任意〃wN*，4-5W/1%恒成立，写出实数4的最小值.（结论不要求证明）

19.已知函数/（x）=e'（V+。工+1）（。GR）.

（1）当。=0时，求曲线J，=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）求/（力的单调区间，

（3）若对任意xe（0,+8）,/（x）〉l恒成立，求实数〃的取值范围.

20.已知函数/⑴Jn（l+"2（〃—R）的定义域为（一1,0）。（0，+8）.

X

⑴求加的值;

（2）求证：/（工）不存在极值点；

（3）对任意给定的。£（0』），求证：关于x的方程/（工）=。恰有一个正根.

21.已知数列｛%｝,若存在TwN'，使得对任意〃EN*，都有氏+7=凡，则称｛%｝为周期数列,

2bit,2bn<a,

其中满足条件的最小的7称为｛%｝的最小周期.设数列也｝满足4=6,b>>+]=

2b“-a,2b,t>a.

其中a>b,a手2卜b，AwN.

（1）当Q=5,/）分别为1,2,3,4时，直接写出数列也｝的最小周期；

（2）当。=17时，求证：对任意bwNZ也“｝的最小周期为定值；

（3）当。为大于2的质数，6=1时，设7为也｝的最小周期，S…+.求

a

证：S为整数.（参考结论：若p为大于2的质数，则2。一1一1是2的倍数）

参考答案

一、选择题共10小题，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式来求解即可.

【详解】由设等差数列的公差为4,则二"二七一’:3,

9-54

故4=6+"=3+3=6,

故选：C.

2.【答案】A

【分析】利用复合函数求导，再求值即可.

，兀、71

【详解】求导得/”(x)=-2sin2x,所以/'-=-2sin-=-2,

故选：A.

3.【答案】B

【分析】利用分步计数原理即可求解.

【详解】学生可以从华山、衡山、恒山、富山四个景点中任选一处前往，

则每人有4种选法，所以3个好朋友的选法共有4'=64种，

故选：B.

4.【答案】D

【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解.

【详解】因为/(x)=sinx-」x,所以/'(x)=cosx-‘，

22

令/即cosx-，<0,解得Z+2E<X<2+2E,AEZ,

233

所以函数的单调递减区间为(：+2E,£+2E)入Z,结合诜项可知只有D符合撅意.

故选：D

5.【答案】B

【分析】利用等比数列的求和公式即可求解.

【详解】设等比数列｛为｝的公比为人由于S3H3q,所以9工1,

%(1-0

1-q-.23

则由公式可得$3==­9

1一夕i-q

解得q=-所以84二二——L—

2"q1+18

2

故选：B

6.【答案】A

【分析】利用极值点的导数值为0,再进行检验，即可得解.

【详解】求导得/'(x)=3(2—〃1')一3机则/⑴=3(2-m')-3m=0,

解得：加=一2或〃2=1,

当〃z=—2时，/'(X)=-6+6x?,

由于XE(-1,1),/''(工)二-6+6/<(),xw(l,+8),/(X)=-6+6/>o,

所以函数在x=l时有极小值，

当〃7=1时，/''(X)=3-3x2,

由于不£(一1,1),/z(x)=3-3x2>0,XG(1,+<X>),/'(J)=3-3x2<0,

所以函数在X=1时有极大值，故舍去〃?=1,

故选：A.

7.【答案】D

【分析】由等比数列的性质判断％+2与的推出关系，结合充分、必要性的定义即可得答

案.

【详解】由%+2=//>〃”，

所以《二或〈，故不一定有9>1，充分性不成立；

0<夕2<］曾2〉］

2

当4>1时，an+2=anq,当。〃<0则q*<。“，当。”>0则凡+2>。〃，必要性不成立；

所以“%+2是“4>1”的既不充分又不必要条件.

故选：D

8.【答案】C

【分析】根据导函数的正负，可确定/,(x)的单调性，即可结合极值和选项逐一求解.

【详解】由/'(X)的图象可知:当x<—3时，/\x)<0,当xN-3时，/'(J)NO,

故/(x)在(一。,一3)单调递减，在(-3,+动单调递增，

故x=-3是函数/(x)的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确,

由图可知：/'（o）>（）,因此曲线歹=/（》）在点（OJ（O））处的切线斜率大于零，故D错误，

故选：C

9【答案】B

【分析】根据%=S”-Sx（〃N2）作差得到（〃-再一一求出前几项即可.

【详解】因为S"=（"+l"”,当〃22时Si二岁，

所以S“一S”.=5+1）/_^±±,即2%=（〃+1）。“一〃。1,

nn-I22"\〃•1

所以（〃-1）%=〃%.］，

又q=2,所以％=2%=4,

由2。3=3。2，则生=6,由3%=4%,则％=8,由4%=5%,则％=10,

由5a6=6a5,则％=12.

故选：B

■.【答案】B

【分析】先求得%M与%的递推关系式，利用差比较法、换元法，结合二次函数的知识以及差比

较法求得正确答案.

【详解】由匕i一〃“+1=atl，得一%+「/=°，

则△=1+4%,依题意见>0,所以A=l+4%>1〉（），

由于1-J1+4%<。所以可由—%.一4=0,解得。用=1+"：4一（负根舍去），

对于A：由于1+4%>1,所以Ql+Jl+也>匕1=］,即对任意〃22,%>1,故A正

22

确；

对于B：因为匕］-%=%&>0）,

又0<%<2,则0<。；一生<2,即1<生<2,

又4；一生二。2，即1<。；一为<2,则1<<2,

同理可得，当〃22,都有故B错误；

对于C〃…+①,

〃十】〃2〃22〃

若g+J*_4:0,解得a〃=2,此时｛%｝是常数列，故C正确；

对于D：因为*+「《用=%＞0），

当q＞2,则域一生＞2，即。2＞2,

同理可得，当“22,都有勺＞2,

乂/+「〃”=2。,川一匕小。川（2一。0+J＜0,即数列｛an｝为递减数列,

即当〃之2时，2＜%＜《，故D正确.

故选：B

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】

leej

【分析】利用乘积导数，结合导数的几何意义，即可求解.

【详解】求导得V=l+lnx,由曲线y=Wnx的一条切线斜率为o,则

y'=1+Inx=0nx=一,

e

又当x=，时，＞»=—lni=--,

eeee

（11）

故该切线的切点坐标为一，--，

kecj

故答案为：f—-

\ee；

12.【答案】72

【分析】不相邻问题用插空法，先将3名学生全排列，再将2位老师插空.

【详解】先将3名学生全排列,有A；种排法，

再将2位老师插空，有A；种排法，

所以一共有A；A；=72种排法.

故答案为：72

13.【答案】1（答案不唯一，只要满足。＞0即可）

【分析】求导，根据/（x）＞/'（x）恒成立，化简，将问题转化为£＞0,即可求解。＞0.

【详解】由/"）=辿可得/'（X）="心：一、="'（：一1）,

XXX

由/（x）＞r（x）可得竺1＞竺工二。对任意工/o恒成立,

XX

故1）=幻值_4]对注意xwO恒成立，

X二X\XXJ

故二＞（）对任意xwo恒成立，因此只需要。〉0即可，

厂

故答案为：1（答案不唯一，只要满足。〉0即可）

14.【答案】①.12②.140

【分析】设等差数列｛4｝的公差为，/,利用，/依次表示。5,生,进而求出4%；再求出他即可求

出前9项和.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,依题意，卬,生，。3成等差数列，公差4=4二?'=2,

由小，/，牝成公差为4的等差数列，得。$=小+2出=4+2（2+d）=8+2d,

由A，6,。?成公差为4；的等差数列，得由=%+2c/j=8+2d+2（2+2c/）=12+6d.

而为=24,即12+64=24,解得c/=2,所以6=12；

则4=4+34=8,由《7,4，。9成公差为d4的等差数列，得4=。7+2〃4=40,

所以｛。〃｝的前9项和Sg=%+"+%+%:%+%+%+%

=3%+2（%+%+%）+3/=3x0+2（4+12+24）+3x40=140.

2222

故答案为：12；140

15•【答案】①④

【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数：对②：借助导函数的导函数研究导

函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为

直线＞="+/）与曲线y二7，的交点个数，从而可通过研究过（0力）的曲线歹二^^的切线,

1

结合零点的存在性定理得到直线y=去+/，与曲线V=的关系.

3+x2

]/12x

【详解】对①：当女二。时，/（上.》/“（*E'

则XE（-8,0）时，当XW（0,+8）时,/\x）＜0,

故/⑺在（-8,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，

故对任意bwR,/（X）有1个极大值点x=0,故①正确；

-2x

对②：当〃时，/'（X）,2

oI3+X

17必须有解'

若/‘(X)存在极值点，则/“(X)有变号零点，则“二

一2（3+/）+8/（3+/）_-2x24-8x2-6_6（x-l）（x+l）

则g'（x）

（3+n4-（3+1）3-（3+/7

故当工£(-8,-1)。(1,+8)时，g'(X)>0,当XE(-1,1)时，g'(X)<0,

故g(X)在(-8,-1)、(1,+8)上单调递增，在(T1)上单调递减，

,、,、-2x(-1)1

又xNO时,g(x)<o,g(-I)=2=-,

(3+1)8

即g(x)〈)恒成立,

故当时,故②错误;

8O

对③：当b=0时，/(x)=—二一区，

JI人

当左二。时・，/(x)=—!-^>0,此时函数/(工)无零点，故③错误；

。I.1

对④：当0<6<?时，若存在AwR,使得/(x)有3个零点，

则直线歹二履+力与曲线>=—!~二有三个不同交点，

3+x

1(1A

由直线>=区+6过点(0,6),曲线y二:;——过点0,-,

3IX\3,

又y=■是偶函数，旦在(0,+。)上单调递减，

故当A<0时，直线>与曲线)>二」下在第二象限必有一交点,

3+广

同理，当〃>0时，直线)，="+6与曲线在第一象限必有一交点,

3+x

过点(0/)作曲线歹=1的切线，设切点为％,］、

3+x3+x工

_

1_2x0

则切线方程为“不T3痴（io）,

3（3+1）J

由o</?<•!■,则即（年+1）2-5卜；+1）+4>0,

3

即（x；+l-4）（*+l-l）=x；（x；-3）>0,即x；23,

故当0c时，存在与4一8,-6）U（6,+8）,

1（।A

使曲线歹=——T有过点（0力）的切线，且切点为x,--

3+厂I03+xJr

（--2xo0

当方>退时，切线斜率为0十及1°，

则当左£--二T,0时，有〃Xo）vO，又/（0）=:-〃>0,

［。+犷J3

则存在石£（0,玉），使/（百）=0,

此时函数歹=去+方单调递减，而y=丁二>0恒成立，

3+厂

故存在/£（/，+8）,使/（工2）=0，

/\

即当%>6时，存在"£口。、一0，使得/（x）有3个零点,

〔（3+片一

同理可得，当x0<—时，存在kw0-2X（）,使得/（x）有3个零点，故④正确.

［（3+斓1

故答案为：①④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.【答案】（1）%=3〃-24,最小值为-84

（2）北二抑7）

【分析】（1）根据题意，列出关于4，d的方程，代入计算，再由等差数列的前〃项和公式，即可

得到结果；

(2)根据题意，由等比数列的前〃项和公式，代入计算，即可得到结果;

【小问I详解】

设等差数列｛%｝的公差为d.

a.=-6[a,=—21

因为〃6=-6,%=-3,所以《।…解得】.，

q+6d=-3[a=3

所以=q=3/?-24.

J_15?_675

所以s_(%+%)〃—(3"-45)〃_2J4•

J”===

"222

因为〃eN*，所以当〃=7或〃=8时S.取得最小值，

且最小值为SLSL'qS"7"

【小问2详解】

由(1)可得：。=佝=3,b2=a1]=9,

b9

所以等比数列｛"｝的公比为q=j=5=3,

所以"=*/I=3〃，所以等比数列｛bn｝的前〃项和Tn==3(；；)=|(3"-1).

17.【答案】(1)单调递减区间为(一1,3),单调递增区间(一巴一1),(3,+8)

(2)-25

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间;

(2)结合(I)可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出。的值，即可求出函数的最小值.

【小问1详解】

函数/匕)=丁-3/-9x+c(cwR)的定义域为R,

又/'(%)=3%2-6x-9=3(x-3)(x4-1)

令/'(x)<0,解得一l<x<3,令/'(x)〉0,则x<—1或x>3,

所以/(x)的单调递减区间为(-1,3),单调递增区间(-%-1),(3,+。).

【小问2详解】

由(1)可知/(x)在上单调递增，在(-1,3)上单调递减,在[3,4]上单调递增，

又/(_1)=_|—3+9+C=5+C,/(4)=-20+c,

则5+c=7,解得c=2,

所以/(力二/一3/一”+2,又/(—2)=0,/(3)=-25,

所以/⑴在区间［-2,4］上的最小值为-25.

n

18.【答案】(1)an=2

(2)(i)证明见解析；(ii)1

【分析】(1)利用累加法计算可得；

］2

(2)(i)依题意可得｛，｝为等差数列，求出其通项公式，却可求出S.，由不二1

3〃—53〃一5

利用裂项相消法计算可得；(ii)参变分离可得对任意〃wN"，2之一^广恒成立，令。

利用作差法判断其单调性，即可求出从而求出义的取值范围.

【小问1详解】

因为。向=/+2",即％川-%=2"，

:

所以%-4=2、-a2=2,...»%=2"7将这〃一1个等式累加,

2—2'1\

得=2+2?+…+2〃T__^J=2"_2，

“11-2

又q=2,所以4=2”,

因为q=2也满足为=2",所以凡=2”.

【小问2详解】

(i)因为乃川=包+4+2,所以也｝为等差数列，

设公差为4,又h=3,4=43+1=9,所以d=：=3,

所以a=3〃，则S“二(3+3〃)〃

2

22

<3；

3

(ii)因为对任意〃EN"，"一“恒成立,

即对任意〃<N*，3〃-54〃2”恒成立,

3〃一5

所以对任意〃WN"，4之一-—恒成立，

2"

3/7-53/7-23/2-53/2-2-2(3/?-5)8-3〃

令c〃二方二，则-----十=------/-----i二行丁，

J乙乙乙乙

所以当1W〃W2时％+]—q,>0,当〃之3时%+1-c“<0,

所以qV。2<。3>。4>。5>…，

所以(C)=1,所以丸之工，则实数彳的最小值;.

\n/maxZ

19.【答案】(1)y=x+\

(2)答案见解析(3)[-L+8)

【分析】(1)求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程；

(2)求出函数的导函数，分。<0,4=0,。>0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

(3)结合(2)分〃20、一[44<0、QV—1三种情况说明/(1)在(0,+8)上的单调性，再由

/(0)=1,即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

当a=0时/(x)=e'(F+]),则/(o)=i,/,(x)=ev(x2+l)+2A-ev,

所以/"(0)=1,则切点为(0,1),切线的斜率％=1,所以切线方程为y=x+l；

【小问2详解】

函数/(x)=e'(V+ax+l)的定义域为R,又/'(x)=e'(x+〃+l)(x+l),

当〃<0时，则当一1<工<一1一Q时/'(工)<0,当x>-1一。或工<一1时/”(x)>0,

所以/(x)的单调递减区间为(一1,一1一。)，单调递增区间为(—1一。,+8)，(-8,—1):

当a=0时/'(X)=e、(x+l)&0(当且仅当x=—l时取等号)，

所以/,(x)的单调递增区间为(一%+R),无单调递减区间：

当〃>0时，则当一1-q<x<T时/'(x)<0,当x>-1或工〈一1一0时/'(x)>0,

所以/(工)的单调递减区间为(一1一。,一1)，单调递增区间为(-1,+。)，(-09,-1-67)；

综上可得：

当〃<0时/(X)的单调递减区间为(一1,一1一。)，单调递增区间为(一1一出+8),(-8,-1)：

当。=0时/(X)的单调递增区间为+。)，无单调递减区间；

当Q>0时/"）的单调递减区间为（一单调递增区间为（-1,+功，（-8,-1一〃）.

【小问3详解】

由（2）可知，当时/（工）在（0,+。）上单调递增，/'（0）=1,

所以当X«（）,+8）,/（可>1恒成立，符合题意；

当。<0时，

若"，即-1<4<。时/"）在（°，+。）上单调递增，/（°）=晨

所以当xe（0,+8）,/（x）>l恒成立，符合题意;

若一1一〃>0,即4<一1时/（x）在（0,-1一〃）上单调递减，在（-1-Q,+8）上单调递增，

所以当xw（O,—l—a）时/（”</（0）=1,不符合题意；

综上，当时，对任意的工£（0,+8）,/卜）>1恒成立，即实数。的取值范围为[-1,+8）.

20.【答案】（1）1（2）证明见详解

（3）证明见详解

【分析】（1）分析出要使函数/（x）有意义，须满足｛1；肃*>0,再分〃7>0和〃7<0解不等式组

即可求出〃，的值；

（2）先求出/'（X）,构造函数g（x）=x-（l+x）ln（l+x）,借助导数研究其单调性及最值，得到

g（x）vg（0）=0,而1=0不在函数/（x）的定义域内，即可得证：

（3）由（2）推出/（x）在（0,+纥）上单调递减，再由洛必达法则求出x->0+和工->”时

/"）=■（+*）的极限值,即xw（O,+。）时/（x）的值域，即可得证.

X

【小问1详解】

要使函数/（力=电。土竺）（M€R）有意义,须满足｛1；篇,0，

JC

若〃7<0,解得X£（-3,O）U[O,一£J,不符合题意，舍去；

若〃7>0,解得一~-,0U（0,+8）,

因为函数/*）的定义域为（-1,0）"0,+力）,

所以---=-1,解得m=1；

m

【小问2详解】

由(1)知，/(x)Jn(l+M,

JC

所以仪a二市―ln(l+x)xln(l+x)x-(l+x)ln(l+x),

J[x2"(l+x)x2X2-x2(l+x)

令g(x)=x-(l+x)ln(l+x),

所以g1x)=l—(l+x)'ln(l+x)-(l+x)[ln(l+x)]

=1-ln(l+x)-=-ln(l+x),

因为ln(l+》)在(TO)U(O,+8)上是单调递增的，

所以当-l〈x<0时，ln(l+x)<0,g'(x)>0,g(x)在(一1,0)上单调递增：

当x>0时，ln(l+x)>0,g'(x)<0,g(x)在(0,+a)上单调递减，

所以g(x)在x=0处取得极大值,即g(x)<g(O)=0,

但是x=0不在函数/CO的定义域内，

因此/'(X)在定义域内没有零点，即/(x)不存在极值点；

【小问3详解】

由⑵知g(x)在(0,+。)上单调递减，且g*)vg(O)=O,

所以/(x)V0,即/(X)在(o,+a>)上单调递减,

1

当X.0+时，由洛