中考数学复习：二次函数压轴题-翻折、对称、折叠问题

翻折、对称、折叠问题

【例1】如图1,抛物线)，=皿2+瓜+贝々*0)的顶点为C(1,4),交X轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点5的

坐标为(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点石是切上方抛物线上的一点，连接肌交应于点/，若AF=2EF,求出点E的坐标.

(3)如图3,点M的坐标为(2,0),点夕是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP,将沿MQ折叠，若点

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P恰好落在抛物线的对称轴CE上，请求出点。的横坐标.

【变式训练1】图①，抛物线)，-一2笛+—+C过4-1,0),以3,0)两点，交y轴于点C,连接BC.

(1)求该抛物线的表达式和对称轴；

(2)点。是抛物线对称轴上一动点，当ABC。是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点。的坐标;

(3)如图2,将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E,求点石的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=cd+法+。经过4.6,0)、8(2,0)、C(0,6)三点，其顶点为。，连接A£>,

点尸是线段A。上一个动点(不与人、。重合)，过点夕作了轴的垂线，垂足为点石，连接任.

(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点。的坐标;

(2)如果点。的坐标为(x,y),的面积为S,求S与X之间的函数关系式，直接写出自变量X的取值范围,

并求出S的最大值；

(3)过点P作X轴的垂线，垂足为点尸，连接砰，把APEF沿直线印折叠，点尸的对应点为点P?,求

出P?的坐标.(直接写出结果)

【例2】如图1,经过原点。的抛物线,-♦+尾＜”.人为常数，与”轴相交于另一点43,0）.直线/:y=”在

第一象限内和此抛物线相交于点W5M,与抛物线的对称轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x釉卜找一点尸.使以点尸、O、C为顶点的二角形与以点A、。、3为顶点的二角形相似,求满足

条件的点尸的坐标；

（3）直线/沿着x轴向右平移得到直线/'与线段。4相交于点M,与“轴下方的抛物线相交于点N,过点N作

NE_L/轴于点£.把&WEV沿直线T折叠，当点E'恰好落在抛物线上时（图2）,求直线/'的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3）,直线/'与y轴相交于点K,把AMOK绕点。顺时针旋转90。得到△M'OK,点

尸为直线/'上的动点.当△MFK为等腰三角形时，求满足条件的点尸的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线)，=尔2+3办-18〃(〃*0),交刀轴于点A、C两点，与｝‘轴

交于点B,且AC=eOB.

(2)连接四、加，点。为BC上一点，直线AO交对称轴左侧的抛物线于点尸，当2/。84+4钻=90。时，求

P点坐标.

(3)在(2)的条件下，在加上取点在AC上取点Q,使3£:AQ=4:30,连接EQ,且AD平分线段EQ,

在第二象限取点R,使射线QRJ_X轴于点。，M为射线08上的一点，在0R边上取点N,将NOMN沿MN折

叠，使M。的对应线段所在的直线与射线0R交于点K,得到A/WVK,AMNK的面积为4时，求力WKN的度数.

【变式训练1】在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线y=ax2+H+c(〃、屋c为常数,。工0)的“梦

想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在了轴上的三角形为其“梦想三角形已知抛物线)，=承2+纵+。

与其“梦想直线,咬于46两点(点A在点区的左侧)，与'轴负半轴交于点。­=竽

,8(1,0),

点A横坐标为-2,BC=4.

(I)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标;

(2)如图，点M为线段CB上一动点，将A4CM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,若AAMN

为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标;

(3)当点石在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点尸，使得以点人、C、E、

尸为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点石、尸的坐标：若不存在，请说明理由.

【例3】在平面直角坐标系中，抛物线)，=&+/次+2("0)经过点4-2,-4)和点。(2,0),与了轴交于点。，与x轴

的另一交点为点笈.

备用图

(I)求抛物线的解析式;

(2)如图1,连接BD,在抛物线上是否存在点?，使得NPBC=2NBD0?若存在,请求出点夕的坐标；若不存

在，请说明理由;

(3)如图2,连接AC,交)'轴于点E,点M是线段AD上的动点(不与点A,点。重合)，将ACME沿ME

所在直线翻折，得到好见当好快与极重叠部分的面积是AWC面积的《时’请直接写出线段,的长.

【变式训练1】如图，抛物线6与X轴相交于伙-1,0),C(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式;；

(2)点。在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将MCD沿直线BD翻折得到^BCD,若点C恰好落在抛物

线的对称轴上，求点C和点。的坐标;

(3)在(2)的条件下，设抛物线与｝'轴交于点Q,连接也、OQ,点产为抛物线上的一个动点(点P与点Q

不重合)，且叉加,=si*,请求出所有满足条件的点夕的横坐标.

【变式训练2】如图，已知抛物线y=，Ct+6)(x-2)过点C(0,2),交x轴于点A和点3(点A在点3的左侧),

抛物线的顶点为。，对称轴。石交”轴于•点石，连接班.

(1)直接写出“的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；

(2)若点例是抛物线对称轴。£上的点，当&WCE是等腰三角形时，求点M的坐标；

(3)点尸是抛物线上的动点，连接汪，将”口沿CE所在的直线对折，点夕落在坐标平面内的点P处.求

当点尸恰好落在直线AT＞上时点「的横坐标.

【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ar'2m+c(a*0)的图象交x轴于A,B两点,交了轴

3

于点C(0,6),连接AC,已知tanZ.OAC=-.

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(I)点A的坐标是

(2)若点夕是抛物线上的任意一点，连接以、PC.

①当©PC与MOC的面积相等时，求点夕的坐标;

②把APAC沿着AC翻折，若点?与抛物线对称轴上的点Q重合，直接写出点夕的横坐标.

备用图

【例4】如图，抛物线y=-工2一21+"(”/0)与，轴相交于A点，顶点为M,直线)，=]-〃分别与x轴、》轴相交

于8、c两点，并且与直线M4相交于N点.

(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求。的取值范围，并用〃表示点M、A的坐标；

(2)将WC沿5轴翻折，若点N的对称点V恰好落在抛物线上，AM与抛物线的对称轴相交于点。，连接CD,

求，的值及^MCQ的面积；

(3)在抛物线上是否存在点〜，使得以夕、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点夕的

坐标；若不存在，请说明理由.

【变式训练1】如图，在平面直角坐标系X。)，中，二次函数)，=ad-4av+3的图象与x轴正半轴交于点A、B,与

)'轴相交于点C,顶点为。，且tan/C4O=3.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)点乃是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP,交对称轴于点/，当S“女：Si”=2：3时，求点夕的坐标:

(3)在(2)的条件下，将APCD沿直线MN翻折，当点尸恰好与点。重合时，折痕MN交*轴于点M,交y轴

于点N,求