期末试题汇编：一元二次方程-人教版九年级《数学》上学期

专题01一元二次方程

考点01一元二次方程定义及一般式

考点02一元二次方程的根求参数

考点03解一元二次方程

考点04一元一次方程的判别式判断根的情况

考点05一元二次方程的根与系数的关系

考点06一元一次方程的判别式与根与系数的关系

考点07一元一次方程的应用

考点01一元二次方程定义及一般式

1.（24・25九上•江西赣州兴国县第五中学.期末）下列方程中属于一元二次方程的是（）

A.x+y=0B.x—3=0C.x2-2x=0D.=3

【答案】C

【分析】我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次

数）：“二次”的意思是未知数的最高次数是二.

【详解】解：A、x+y=0是二元一次方程，故A错误；

B、％-3=0是一元一次方程，故B错误：

C^x2-2%=0属于一元二次方程，故C正确；

D、三=2是分式方程，故D错误：

X

故选：C.

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.

2.（24-25九上.江西弋阳县.期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x3+2%=0B.x（x-3）=0C.-x2=1D.y-x2=4

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知“只含有一个未知数，且未知数的最高

次为2的整式方程叫做一元二次方程”.

【详解】解：A、x3+2x=0,未知数的最高次不是2,不是一元二次方程，不符合题意；

B.%(x-3)=0,即“2-3%=0,是一元二次方程，符合题意；

C、［一/=l,不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；

D、y-/=4,含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

故选B.

3.(24・25九上•江西萍乡・期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是()

A.3(x+I)2=2(x4-1)B.2+：—2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=

x2+1

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可.

【详解】A、将方程3。+1y=2(%+1)整理，得3/+4%+1=0,是一元二次方程，故正确；

B、义+工一2=0不是整式方程，故错误：

X2X

C、若a=0,则ax?+匕工+。=0就不是一元二次方程，故错误；

D、将方程/+2%=/+1整理，得2%=1,是一元一次方程，故错误.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键.即一元二次方程有3个特点：(I)

只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程.

4.(24-25九上•江西赣州南康区•期末)将一元二次方程式%-3)=25化成一般形式正确的是()

A.x2-3x-25=0B.x2+3x4-25=0C.%2-3x+25=0D.x2+3x-

25=0

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的一股式，利用去括号和移项把方程整理成a/+以+c=0(a,b,c为

常数，且QH0)即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键.

【详解】解：X(x-3)=25,

x2-3x=25,

x2-3%-25=0,

・••将•元二次方程-3)=25化成一般形式为一一3%-25=0,

故选:A.

5.(24-25九上•江西赣州龙南•期末)将方程3/+1=5%化成+加+。=0的形式，则a,b,c的值分别

为()

A.3,5,1B.3,5,-1C.3,-5,-1D.3,-5,1

【答案】D

【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论.

【详解】解：3/+1=5%可化为3乃2一5工+1=0,

.*.6=3,b=-5,c=\.

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键.

6.(24-25九上•江西赣州于都县•期末)把方程%(%+2)=5(%-2)化成一般式得炉-bx+10=0,则b的值

为.

【答案】3

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为a/+b%+c=0(a工0).先去括号，再移项，

再合并同类项，即可答案.

【详解】解：x(x4-2)=5(x-2),

x24-2x=5x-10,

x2+2x-5x+10=0,

x2-3x4-10=0,

••,把方程%(%+2)=5(%—2)化成一般式得为2—bx+10=Q,

：--b=-3

:・b=3.

故答案为：3.

7.(24-25九上•江西萍多・期木)一元二次方程/+4r3=0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是.

【答案】2

【分析】先确定一次项系数是4,二次项系数是1,常数项是-3,计算它们的和即可.

【详解】因为一元二次方程/+4如3=0的一次项系数是4,二次项系数是I,常数项是-3,

所以1+4—3=2,

故答案为：2.

【力、睛】本题考查了•元二次方程的基本概念，熟练掌握加+c=0(a：M)中二次项系数为小一次项系

数是江常数项是c是解题的关键.

一元二次方程的根求参数

1.（24-25九上•江西宜春上高县・期末）若x=m是方程/+2%-1=0的一个根，WJZrn2+4m-3=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到*+2m=1,再把2m2+4m-3变形为2（而+2m）-3,然

后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：=m是方程/+2%-1=0的一个根，

m2+2m-1=0,

•••mz+2m=1,

:.2m2+4m-3=2（m2+2m）-3=2x1—3=—l.

故选：B

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

2.（24-25九上•江西宜春・期末）若工=一1是方程/+mx+5=0的一个根，则m的值是（）

A.3B.4C.-5D.6

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的解，把％=-1代入方程得1一血+5=0,求出机的值即可.

【详解】解：把％=-1代入/+血3+5=0得：

1-m+5=0,

解得m=6,

故选：D.

3.（24-25九上•江西赣州安远县第末）若关于x的一元二次方程/一2%+a=-1有一个根为％=0,则。的

值为.

【答案】-1

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出〃的值.

【详解】解：把x=0代入/一2K+Q=-1,

得：a=-1

故答案为：—1.

4.（24-25九上•江西赣州经开区期末考试•期末）如关于x的方程/-2%-a=0的一个根是一1，则另一个根

是.

【答案】3

【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键.先把-1代入原

方程即可解出a的值，再解方程求解即可.

【详解】解：•・・关于戈的方程/一2%-。=0的一个根是一1,

Affix=一1代入原方程，得（一1）2—2X（-1）一Q=0,

；・G=3,

・•・原方程为“2-2%一3=0,

（x-3）（x+1）=0.

-3=0或％+1=0,

解得％=3或x=-1,

故答案为：3.

5.（24-25九上•江西南昌第五中学实验学校•期末）已知％=3是一元二次方程/+mx+n=0的一个根，则

37n+n=.

【答案】-9

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把x=3代入一元二次方程％2+加工+九=0即可求解，掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：=3是一元二次方程/+mx+九=。的一个根，

/.32+3m+n=0,

.*.3m+n=-9,

故答案为：-9.

｝声点03解一元二次方程

1.（24-25九匕江西赣州上犹县・期末）通过一元二次方程/-6%+3=0配方后变形正确的是（）

A.(x—3)2=6B.（无一3尸=9

C.(x+3)2=6D.(x4-3)2=9

【答案】A

【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可.

【详解】解:移项，得/-6%=-3,

配方,得%2-6%+32=-3+32,

即(％—3)2=6,

故选：A.

2.(24-25九上•江西赣州安远县・期末)用配方法解方程/-以-1=0时，配方后正确的是()

A.(%+27=3B.(%+2产=17C.(%-2)2=5D.(%-2)2=17

【答案】C

【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4,即可求解.

【详解】解：x2-4%-1=0

移项得，x2-4x=1

两边同时加上4,即/一4%+4=5

/.(x-2)2=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.

3.(2d25九上.江西宜春・期末)用配方法解方程尢2%-1=3时，配方结果正确的是()

A.(x+I)2=5B.(x+I)2=3

C.(%+2)2=2D.0+2)2=3

【答案】A

【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求

解.

［详解】解：x2+2x-1=3

x24-2x=4

x2+2x+1=5

(无+1)2=5,

故选：A.

4.(24-25九上•江西赣州大余县•期末)用适当的方法解下列方程

(\)x2+x-l=0

（2）x（x-2）+x-2=0

【答案】（1）勺=与，血=等

（2）工1=2,x2=-1

【分析】本题考查/一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法;

⑴根据配方法，得卜+丁=£从而完成求解；

（2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案.

【详解】（1）x2+x-1=0

.・・/+》+:合0

.・・，+；士苧

V5-1-V5-1

••丫1=—，

(2)x(x-2)+x-2=0

AJT2—2x+x-2=0

•\x2-x-2=0

-2）（x+1）=0

勺=2,*2=1•

5.（24-25九上•江西弋阳县•期末）解下列一元二次方程

（l）x2-4x-5=0

（2）（x-47=10（x-4）

【答案】（l）%i=5,%2=一1

（2）%i=4,x2=14

【分析】本题主耍考查了解元二次方程，解题的关键是熟练掌握解元二次方程的方法，准确计算.

（1）用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】（1）解：X2-4X-5=0,

因式分解得：（工一5）（工+1）=0,

.•.X—5=0或％+1=0,

解得：=5,x2=-1：

(2)解：(%-4)2=10(x-4),

移项得：(%-4)2-10(%-4)=0,

因式分解得：。-4)(%—14)=0,

•*.x-4=0或3-14=0,

解得：Xj=4,x2=14.

6.(24-25九上•江西赣州于都县•期末)(1)解方程/+2%-3=0；

(2)已知点/(2m-4,3m)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围.

【答案】(1)%i=3,x2=-1;(2)0<m<2

【分析】本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集.

(1)用因式分解法求解即可；

(2)判断力(2m-4,3m)在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解.

【详解】解：(1)•.•X2+2%-3=0,

A(x+3)(x-1)=0,

.,.X+3=0或％—1=0,

均=3,x2=-1;

(2)据题意，可得4(2m-4,3m)在第二象限，

.|2m-4<0

二I3m>0'

解得0<m<2.

7.(24・25九上•江西萍乡・期末)⑴解方程：(x-3/=2%-6：

(2)已知］=g=%且2a+b+2c=—30,求Q+6+C的值.

【答案】(1)%1=3,不=5

(2)-18

【分析】本题主要考查解一元二次方程，比的性质，掌握因式分解法，由比的性质得到Q=2k,h=3k,c=4k,

是解题的关键.

(1)运用因式分解法求一元二次方程即可；

(2)运用比的性质设*=-=-=k,则a=2k,b=3k,c=4k,代入计算可得k=—2,则Q=2k=-4,b=

234

3k=-6,c=4k=-8,由此即可求解.

【详解】解：(1)(%-3)2=2%—6,

等式右边提取公式得，(x-3)2=2(x-3),

移项得，（x-3）2-2（%-3）=0：

因式分解得，（％-3）（》-3-2）=0,

A-3=0或%—3—2=0,

解得,%1=3,%2=5；

・•・设与=g=：=匕

•'.a=2k,b=3k,c=4k,

A2a+b+2c=2x2k+3k+2x4k=-30,整理得15k=-30,

解得，k——2,

/.G=2k=—4,b=3k=—6,c=4k=—8»

G+b+c=—4+（—6）+（—8）=—18.

8.（24-25九上•江西赣州经开区期末考试•期末）（1）解方程：X2-4X=0；

（2）如图，已知。，E分别是△A8C的边力8,AC上的点，4力ED=48,AD=3,力8=8,4E=4,求AC的

长度.

【答案】(1)xt=0,x2=4；(2)6

【分析】本题考查J'解一元二次方程和相似三角形的判定与性质，熟练掌握一元二次方程的解法和相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

(1)运用因式分解法求解即可；

(2)由=4力=4力，得再根据相似比列出比例式即可得出结果.

【详解】解：(1)/一4%=0,

x(x-4)=0,

x=0,x-4=0,

=0,x2=4；

(2)\*Z-AED=44二4/1,

△ADE〜bACB»

AD_AE

~AC~~AB

•：AD=3,AB=8,AE=4,

•・•34

AC8

：,AC=6.

9.（24-25九上•江西宜春・期末）（1）解方程：X2+5X-6=0；

（2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为。O,有水部分弓形的高CD=2,水面宽度力8=4加.求截

面©。的半径.

【答案】（1）勺二-6,x2=1（2）3

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.

（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）连接。力，设。。的半径为r,则。C=r-2,AC=^AB然后根据力。？+。。2=。炉列方程解

题即可.

【详解】解：（1）“2+SX-6=0

（x+6）（%-1）=0

解得=-6,x2=1;

（2）连接04

设0。的半径为丁，则。。二丁-2,AC=1-AB=2y/2,

在Rt△。力C中，AC2+OC2=0A2,即（2立产+（广-2产=户，

解得：r=3.

10.（24・25九上•江西赣州章贡区•期末）（1）解方程：x（x+l）=2（x+l）.

(2)如图，在aABC中，D,E两点分别在力B,AC边上，DEIIBC,如果级AE=6,求EC的长.

DB2

【答案】(1)勺二-1,无2=2

(2)EC=4

【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、

平行线分线段成比例定理是解题的关键.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可：

(2)根据平行线分线段成比例定理列出比例式,，杷已知数据代入计算即可.

【详解】解：(I)x(x+1)=2(x+1),

移项，得：x{x+1)-2(x+1)=0,

因式分解，得：(X+1)(#-2)=0,

得：x+1=0或％-2=0,

解得：与=-1,不=2：

(2),:DE||BC,

.AEAD

••ECDB,

又♦嘿DB=32AE=6,

解得：EC=4.

11.(24・25九上•江西宜西上高县•期木)(1)解方程：2x2-3x=0

(2)如图所示，4B为。。的直径，弦CD148于点H,若4?=10,CD=8,求OH的长度.

D

【答案】（1）%=0,0=*（2）。"=3

【分析】此题考查解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的方法及垂径定理是

解题的关犍.

（1）根据因式分解法解方程；

（2）连接0C,根据垂径定理及勾股定理求出0H的长度.

【详解】解：（1）2x2-3%=0

x（2x-3）=0

.•.X=0,或2%—3=0

解得久1=0，%2=

（2）解：连接。C,如图.

vCD1AB,

11

-，CH=DH=-CD=-x8=4

乙乙

•・•直径4B=10,

:.OC=5.

GH=y/OC2-CH2=3.

12.（24-25九上,江西赣州上犹县•期末）（1）解方程：X2-6X-4=0；

（2）如图，将a/IBC以点C为旋转中心，逆时针旋转180。，得到△DEC,过点A作力尸IIBE,交。E的延长线

于点?，求证：乙B=£F.

【答案】（1）勺=3+g,不=3-旧；（2）见解析

【分析】本题主要考查解一元二次方程，旋转的性质，平行的性质，热练掌握接一元二次方程是解题的关

键.

（1）根据公式法进行计算即可;

（2）根据旋转的性质得到28=，DEC,再由平行的性质得到乙尸=4DEC,通过等量代换即可得到答案.

【详解】（1）解：x2-6x-4=0,

A=(-6)2-4x1x(-4)=52,

…芝誓二3±旧,

解得，勺=3十V13,%2=3-V13（解法不唯一）

（2）证明：由旋转的性质得：乙B=LDEC,

•••AF||BE,

ZF=/.DEC

•••/B=NF.（证法不唯一）

13.（24・25九上•江西赣州安远县•期末）（1）解方程：X2+2X-3=0；

（2）如图，已知点A,B,。是。0上三点，且。力J.8C十点D,若半彳仝04=3,AD=1,求弦8c长.

【答案】(1)勺=1,%2=-3(2)2V5

【分析】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理等;

（1）进行因式分解为（4%+瓦）（做%+b2）=0的形式可得%%+瓦=0或好+）=0,即可求解;

（2）连接。5,由垂径定理得BC=28。，由勾股定理得5。=70B?一。。2,即可求解:

能根据方程的不同形式选择恰当的方法，并能熟练利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键.

【详解】解：（I）（%—1）（%+3）=0,

x-1=0或％+3=0,

•,­%1=1»x2=-3

(2)连接。8,

•:。4=3,AD=1,

:.GB=3,0D=0A-AD=2,

OA1BC,

•••BC=280,

BD=y/0B2-0D2

=、/32-22

=县,

•••BC=2V5.

14.（24-25九上•江西赣州瑞金・期末）①解方程：X2-2X=3.

②如图，在正方.形力中，AB=4,E为Z1B的中点，连接DE,将△。4E绕点。按逆时针方向旋转90。得到△

DCF,连接EF,求EF的长.

【答案】①占=

3,x2=-1@EF=2V10

【分析】①利用因式分解法解方程即可；

②先由正方形的性质得出力。=AB=4,LA=9°,运用勾股定理列式ED=V42+22=2瓜结合旋转性

质得ED=Z)凡Z,EDF=90°,然后结合勾股定理列式计算，即可作答.

【详解】解：@X2-2X=3,

A%2—2x—3=0»

•*.(x-3)(%+1)=0,

A%—3=0»x+1=0,

Xj=3,x2=—1

②•.•四边形4BCD正方形，

:.AD=AB=4,4A=90°,

♦••E为力B的中点，

EA=-AB=2,

2

ED=V224-42=2>/5,

又绕点。按逆时创方向旋转90。得到△DCF,

:.ED=DF,Z,EDF=90°,

EF=y/DE2+DF2=2V10.

【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质以及勾股定理，旋转性质，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

•点04元一次方程的判别式判断根的情况

1.（24-25九上•江西赣州瑞金・期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A.（x-2）2=-1B.（x-2）2=0

C.（x-2）2=1D.（%-2）2=2

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键.

分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断.

【详解】解：A、（x-2）2=-l<0,故该方程无实数解，故本选项不符合题意；

B、（％-2）2=0,解得：xx=x2=2,故本选项符合题意；

C、（％-2）2=1,x-2=±1,解得%1=3,无2=1，故本选项不符合题意；

D、（x-2）2=2,x-2=±A/2,解得必=2+41,x2=2-\[2,故本选项不符合题意.

故选:B.

2.（24-25九上•江西赣州章贡区・闺末）一元二次方程/+%-2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方

程根的判别式是解题的关键.

【详解】解：+1-2=0,

:.K=b2-4ac=I2-4x1x(-2)=9>0,

・••方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

3.(24-25九上•江西赣州大余县・期末)若关于X的一元二次方程/一轨+c=0有两个相等的实数根，则实数

c的值为()

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【分析】根据方程的根的判别式A=b2-4ac=(-4)2-4x1xc=0即可.本题考查了一元二次方程的根

的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

【详解】•・•方程/-4%+c=0有两个相等的实数根，a=ltb=-4,c=c,

:.k=b2-4ac=(-4)2—4xlxc=0.

A4c=16,

解得c=4.

故选C.

4.124-25九上•江西赣州经开区期末考试・期末)已知关于汇的一元二次方程-4%+2=0有两个不相等的

实数根.

(1)求7H的取值范围；

(2)若小为正整数，求此时方程的根.

【答案】(l)mV2

(2)4=2+V2,x2=2—y/2

【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不

等式是解题的关键.

(1)根据判别式即可求出答案；

(2)根据机的范围可知m=l,代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案.

【详解】(1)解：•••方程4无+2=0有两个不相等的实数根，

:.A=(-4)2—4mx2=16—8m>0,

•••nt<2；

(2)♦.♦m为正整数，且znV2,

•••m=1

当n=1时，方程为/-4%+2=0,

解得：=2+V2,x2=2—\[2.

5.(24-25九上•江西赣州瑞金・期末)已知;q,孙是关于刀的方程/-1-k+1=。的两个不相等的实

数根.

(1)求女的取值范围；

(2)若々V4,且》曲,不都是整数，求々的值.

【答案】(1次>1

(2)k的值为2

【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当坟-

4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当炉-4ac=。时，方程有两个相等的实数根：当炉-4ac<0时，

方程没有实数根.

(1)根据判别式,即可解答：

(2)根据(I)中得出的A的取值范围，得出整数k的值为2、3,分别求出当k=2时，当k=3时，方程的

解，即可解答.

【详解】(1)解：•.•方程有两个穴相等的实数根，

•••△>0,

即A=(-2k)2-4xlx(/c2-/c+l)=4/c-4>0

解得，k>1；

(2)解：•••k<4,

：.l<k<4,

•••k为整数，

・•.整数k的值为2、3,

当A=2时，方程为/—4%+3=0,

解得人1—1,x2=3,

当A=3时，%2-6%+7=。此时方程解不为整数，

综上所述，k的值为2.

6.(24-25九上•江西赣州于都县•期末)已知一元二次方程(。-3)产-4x+2=0.

(1)若方程的一个根为％=—1,则a的值为；

(2)若方程有相等的实数根，求a的值.

【答案】(l)a=-3

(2)(1=5

【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二

次项系数的取值情况是解答本题的关键.

(1)将％=-1代入•元二次方程3-3)/-4%+2=0,即可求出a的值；

(2)根据“方程有相等的实数根”可得△=(),再结合二次项系数。-3安0,即可求出a的值.

【详解】(1)解：方程的一个根为％=

；・Q—3+4+2=0,

解得：a=-3；

(2)解：根据题意，可得16-8(Q-3)=0且a—3H0,

解得：a=5.

7.(24-25九上•江西新余仙女湖区•期末)关于x的一元二次方程m/-4x+3=0有实数根.

⑴求机的取信范闱：

(2)若小为正整数，求出此时方程的根.

【答案】(l)mwg且mHO

⑵4=1»x2=3

【分析】(1)由二次项系数非零及根的判别式AN0,可得出关于，〃的一元一次不等式组，解之即可得出

，〃的取值范围；

(2)由(1)的结论，结合/〃为正整数，可得出机的值，再其代入原方程，解之即可得出结论.

【详解】(1)解：•・•关于x的一元二次方程7九/一4久+3=0有实数根，

.17nH0

,•(△=(-4)2—4xznx3>0'

解得：ni<士且mH0,

3

・••阳的取值范围为m<5且m工0：

«5

(2)•••机工［且瓶装0,且机为正整数，

n=1,

原方程为%2-4%4-3=0»

即(%—3)(%—1)=0,

解得：%i=1,x2=3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解

题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式ANO,找出关于小的一元一次不等式组；（2）代入

〃，的值，求出方程的解.

8.（24-25九上•江西宜春上高县•期末）已知关于K的方程/-（k+2）%+k=0.

（1）求证：A取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若口△48C斜边长Q=3,另两条边长4c恰好是这个方程的两个根，求△4BC的周长.

【答案】（1）见解析

（2）A48C的周长为4+%.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系.

（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；

（2）利用根与系数的关系求得b+c=k+2,bc=k,再利用完全平方公式得到（A+2）2-2xk=9,求

得人+。=返+1,据此求解即可.

【详解】（I）证明：*.*△=（/<+2）2—4/c=Zc2+4/c4-4—4/c=/c2+4>0,

・•・无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：•・•边长江。恰好是这个方程％2-（忆+2）%+4=0的两个根，

.\b+c=k+2,be=k,（k>0）

•・•&△ABC斜边长a=3,

：.b2+c2=32=9,

・・・（b+c）2-2儿=9,即Q+2）2-2xk=9,

整理得X+2k=5,即理+1）2=6,

=V6-1（负值已舍），

.,./?+c=V6+1,

AA4BC的周长为Q+b+c=3+V6+l=4+V6；

・•・AABC的周长为4十侃

一元二次方程的根与系数的关系

1.（24-25九上•江西赣州喘金・期末）一元二次方程/+2x+1=0的两根之和为

【答案】-2

【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，利用一元二

次方程根与系数的关系即可解决问题.

【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系知，

若方程Q/+hx+C=0（QH0）的两根为%2»则+%2=-，X1X2=~

♦••一元二次方程为+2x+1=0,

，两根之和为：—：=—2,

故答案为：一2.

2.（24-25九.1二•江西赣州兴国县第五中学・期末）设打、力是方程7-,九心。的两个根，且也+历=-3,则机的值

是.

【答案】-3

【分析】由根与系数的关系可得打+也=如结合*+也=-3可得出关于"，的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：x/、X2是方程x2-mx=0的两个根，

••x/+x£=m.

VA/+X2=-3»

m=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了根与系数的美系：若打，X2是一元二次方程，/+饭+C=0（存0）的两根时，X/+X2=《，

X1X2=^-.

a

3.（24-25九上•江西赣州南康区•期末）若与，％?是一元二次方程•一+2%-々-1=0的两根，且与初二一3,

则A的值为.

【答案】2

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一

元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

【详解】解：•.”】，不是一元二次方程/+2%-1一1=0的两根，

••X]%2=-=-k~~],

又;”1%2=-3,

-k-1=-3，

:・k=2,

故答案为：2.

4.（24-25九上•江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校・期末）若。、0为方程/-5%-1=0的两

个实数根，则戊2-5。+33?的值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系可

得卬？=-1,根据一元二次方程解的定义可得十一5a=1,据此利用整体代入法求解即可.

【详解】解：•・a6为方程/一5%-1=0的两个实数根，

/.G/?=-1,a2—5a—1=0,

a2-5a=1,

'•a2—Sa+3as=1+3x（—1）=-2,

故答案为：—2.

5.（24-25九匕江西弋阳具•期末）若一元二次方程/-3x-1=0的两个根为石，x2,则%+%2-44的伯

【答案】4

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得勺+不=

3/X1X2=-1,代入代数式，即可求解.

【详解】解：•・•一元二次方程/-3x-1=0的两个根为.,x2,

Xi+&-=3—(—1)=4>

故答案为：4.

元一次方程的判别式与根与系数的关系

1.（24-25九上•江西赣州上犹县•明末）关于汇的一元二次方程》2一（3+m）x+3m=0.

（1）试判断该方程根的情况；

（2）若%1，X2是该方程的两个实数根，且2%1-％1%2+2X2=12,求771的值.

【答案】（1）当m=3时，△=0,方程有两个相等的实数根；当凯丰3时，△>0,方程有两个不相等的实数

根；

(2)?n=-6

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式：

(1)根据一元二次方程根的判别式判断即可；

根据求出即可.

(2)2Tl—xtx2+2X2=12m

(详解】(1)解：△=[-(3+rri)Y—4x37nx1=mz4-6m+9—12m=(m—3)2,

.•.当m=3时，A=0,方程有两个相等的实数根：

当戊工3时，A>0,方程有两个不相等的实数根.

(2)解:由题意得6，

无

v21—x1x2+2X2=12,

•••2(3+m)-3m=12,

解得：m=-6.

2.(24-25九上•江西赣州大余县•期末)已知关于x的一元二次方程/+2x+2k-4=0有两个不相等的实数

根.

(1)求A的取值范伟I；

(2)当々=1时，设方程的两根分别为与，x2,求与2+&2的值.

【答案】(1%<弓

(2)*+据=8

【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识.

(1)根据一元二次方程/+2x+2/c-4=0有两个不相等的实数根得到A=22-4x1x(2/c-4)=20-

8k>0,解不等式求出攵的取值范围即可；

(2)把k=1代入方程，求出入1+%2=-2,xxx2=—2,进而求出向2+不？的值.

【详解】(1)解：•・•一元二次方程/+2%+2k-4=0有两个不相等的实数根，

・•・△=22-4X1x(2/:-4)=20-8/c>0,

解得k<|，

即女的取值范围为〃

(2)解：当％=1时，方程为/-2%—2=0,

解得%1+x2=-2,xtx2=-2,

则好+好=(X1+x2V-2x^2=(一2产-2x(-2)=8.

3.(24-25九上•江西赣州安远县期末)若勺，不是关于x的一元二次方程/-4x+k-3=0的两个实数根.

⑴求出实数人的取值范围；

⑵若方程的两个实数根满足/・X2=1，求k的值.

【答案】（l）k<7

（2）k=4

【分析】本题主要考杳了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程杈的判别式，

根与系数的关系是解题的关键.

（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得必・必=忆一3=1,即可求解.

【详解】（1）解：由题意，得A=（—4）2—4（k—3）N0,

解得k<7.

（2）解：・.・％i=k-3=1,

:.k=4.

4.（24-25九上・江西宜春・期末）如果关于X的一元二次方程a/+必+c=0有两个实数根，且其中一个根是

另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程/-4工+3=0的两个根是I和3,则这

个方程就是“三倍根方程”.

⑴方程/-12x+27=0_（填“是”或“不是”）“三倍根方程”;

（2）若关于％的方程M-8%+c=。是“三倍根方程”，求c的值；

（3）若/一（小十n）x+mn=0是关于工的“三倍根方程”，求代数式一^的值.

【答案】（1）是

⑵12

（3后

【分析】本题考查了根与系数的关系：若均,不是一元二次方程Q/+bx+C=o（a工0）的两根时，+&二

—乂“丫2=£，也考查了因式分解法解方程.

（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断：

（2）设方程--8x+c=0的两根为t,3t,则利用根与系数的关系得t+3£=8,t•3£=c,然后先求出如

再计算出C的值；

（3）设方程的两根为a,3a,利用根与系数的关系得到m+几=4a,nm=3小，再把原式进行变形，再整

体代入计算即可.

【详解】（1）解：解方程"-Ux+27=0得必=3,右=9,

所以/一12x+27=0是“三倍根方程”；

(2)设方程/-8x+c=0的两根为333

根据根与系数的关系得t+3t=8,t-3t=c,

解得t=2,

Ac=2x6=12；

(3)设方程%2-(m+n)%+m?i=0的两根为a,3a,

根据根与系数的关系得Q+3Q=m+n,a-3a=mn,

即n+n=4Q,mn=3a2,

.mnmn3a23

..-----=------------=-----------=—,

m2+n2(m+n)2-2mn16a2-2x3c210

元一次方程的应用

1.(24-25九上•江西赣州兴国县第五中学・期末)某校建设校园农场.如图，该矩形农场长32m,宽20m,要

求在农场内修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m2,若

设道路的宽为无m,那么可列方程为(化为一般形式).

32

【答案】x2-52%+100=0

【分析】本题主要考杳一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积.通过平移可得试验田为矩形,

长为(32-x)m,宽为(20-x)m,再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可.

【详解】由题意得，

(32-x)(20-x)=540,

整理得，x2-52x+100=0.

故答案为：x2-52%+100=0.

2.(24-25九上•江西赣州上犹县•期末)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其

高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长

恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，可列方程为.

【答案】。-2y+(%-4/=/

【分析】此题主要考查一元二次方程的应用即勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的性质，列方程求解.设

竿的长度为“尺，则门高为2)尺，门宽为4)尺，根据勾股定理列出方程即可求解.

【详解】解：设竿的长度为工尺，则门高为2)尺，门宽为(％-4)尺，故门对角线长为“尺.

根据勾股定理得(%-2产+(%-4)2=%2,

故答案为：-2尸+6-4)2=/.

3.(24-25九上•江西弋阳县•期末)如图,要设计一本书的封面，封面长24cm,宽18cm,正中央是一个与整

个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、二边衬等宽，

左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？

【答案】上、下边衬的宽均为4(3-¥)、l.6cm,左、右边衬的宽均为3(3-1.2cm

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，封面的长宽之比是24:18=4:3,中央的矩形的长宽之比也应

是4:3,设中央的矩形的长和宽分别是4acm和3acm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是4:3,设

上、下边衬的宽均为4xcm,左、右边衬的宽均为3xcm,则中央的矩形的长为(24-8x)cm,宽为(18-6x)cm,

根据题意可得(24-8x)(18-6x)=；X24X18,进而求解即可.

【详解】解：封面的长宽之比是24:18=4:3,中央的矩形的长宽之比也是4:3,设中央的矩形的长和宽分

别是4acm和3acm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是

11

-(24-4a):-(18-3a)

=4(6—a):3(6—a)

=4:3.

设上、下边衬的宽均为4xcm,左、右边衬的宽均为3xcm,则中央的矩形的长为(24-8x)cm,宽为(18-

6x]cm.由题意得：

(24-8x)(18-6x)=X24X18.

整理，得a—3）2=二.

4

解方程，得％=3-手或》=3+竽，

又••,24—8%>0,18-6%>0,

x<3,

「=3-%

2

・•・上、下边衬的宽均为4x（3-孚）n1.6cm,左、右边衬的宽均为3x（3-手）a1.2cm.

4.（24-25九上•江西赣州兴国从笫日中学・期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬

红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈1•陵园为第一批市级烈1•纪念设施

基地.据了解，当年3月份该基地接待参观人数0.5万人，5月份接待参观人数增加到0.605万人.

（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；

（2）：安照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

【答案】（1）10%

（2）0.6655万人

【分析】本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题，解题的关键是根据题目条件列出等式，求出增长

率，再利用增长率来预测.

（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可；

（2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可.

【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为X，

由题意得：0.5（1+%）2=0.605,

解得：s=10%,必=-2.1（不合题意，舍去），

答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%;

（2）解：0.605x（1+10%）=0,6655（万人），

答：六月份的参观人数为0.6655万人.

5.（24-25九上•江西赣州瑞金・期末）某商场销售一批儿童玩具，立均每天能售出20件，每件盈利40元.经调

查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元.

（1）降价后，每件玩具的利润为元，平均每天的销售量为件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价

多少元？

【答案】(1)(40-X),(20+2x)

⑵每件玩具应降价20元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键.

(1)根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2