高考数学一轮讲义（北师大版）第八章 第4节 平行关系

第4节平行关系

最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面

平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关

空间图形的平行关系的简单命题.

知识梳理

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面。平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条宜线与此平面内

a______

判定定aa,bo,a

的一条立线平行,则该直线平

理//b^a//a

行于此平面

一条直线和一个平面平行，则

性质定a//a，aB,a

过这条直线的任一平面与此

理nB=bna；/b

平面的交线与该直线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线与aa,ba,a

判定

另一个平面平行，则这两个平面Cb=P,ci〃B,b

定理

平行_/

两个平面平行，则其中一个平面a〃£,aa

内的直线壬红于另一个平面〃£

性质A_/

如果两个平行平面同时和第二a"B、GAy=

定理

个平面相交，那么它们的交线平a,BCy=bna

行//b

［常用结论与微点提醒］

1.平行关系中的两个重要结论

⑴垂直于同一条直线的两个平面平行，即若则口〃K

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若。〃£,B//Y,则

2.线线、线面、面面平行间的转化

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

⑵若直线。〃平面a,则过点P且平行于直线〃的直线有无数条.()

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

解析(I)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

或在平面内，故(1)错误.

(2)若。〃a,PS%则过点P且平行于。的直线只有一条，故(2)错误.

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，

故(3)错误.

答案(1)X(2)X(3)X(4)7

2.(教材习题改编)下列命题中正确的是()

A.若〃，力是两条直线，且〃〃儿那么〃平行于经过〃的任何平面

B.若直线a和平面«满足alia,那么〃与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线〃，〃和平面a满足a〃Z?,a//a,ba,则

解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.

答案D

3.设a,£是两个不同的平面，根是直线且〃？a卜是“a〃的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析当"7〃4时，可能a〃夕，也可能。与夕相交.

当a〃夕时，由〃7。可知，小〃£.

.•.“〃?〃£”是“a〃修的必要不充分条件.

答案B

4.（2018・西安模拟）已知〃7,〃是两条不同的直线，*B,/是三个不同的平面,

则下列命题中正确的是（）

A.m〃a,n//a,则加〃〃B.mB〃/?,m//af则〃〃1

C.m_L。，mJ_£,则）〃0D"J_y,Bly,Wa//p

解析A中，"?与〃平行、相交或异面，A不正确；B中，〃〃a或〃a,B不

正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，a//B或a与B相交,D错.

答案C

5.（教材练习改编）如图，正方体48CO—AIBCIOI中，E为DDTDC.

的中点，则BD\与平面AEC的位置关系为.

解析连接"力，设AOG>4C=a连接EO,在八"。力中，O

为的中点，石为0n的中点，所以七。为ABDDi的中位线，AB

则BOi〃EO,而BOi平面ACE,EO平面ACE,所以BDi〃平面ACE.

答案平行

考点一与线、面平行相关命题的判定

【例1】（1）（2018•成都诊断）已知加，〃是空间中两条不同的直线，£是两个

不同的平面，且加a，n月.有下列命题:

①若a〃夕，则m//〃；

②若a〃夕，则m//夕；

③若aG/?=/,且，〃JJ,则。_1_夕；

④若，且〃zJJ,/〃_!_〃，则

其中真命题的个数是（）

A.0B.lC.2D.3

（2）（2018•安庆模拟）在正方体ABCD-A\B\C\D\中，M,N,Q分别是棱DiCi,A\D\,

2

BC的中点，点P在上且BP=）BDi,则下面说法正确的是（填序号）.

①MN〃平面4PC；②G。〃平面APC；③A,P,M三点共线；④平面MNQ〃

平面APC.

解析⑴①若a〃夕，则"?〃〃或〃?，〃异面，不正确；

②若。〃人根据平面与平面平行的性质，可得〃7〃。，正确；

③若。口£=/,且〃7_/,〃_L/,则GC与夕不一定垂直，不正确；

④若。口夕=/,且〃2_U,优_1_〃，/与〃不一定相交，不能推出a_L夕，不正确.

(2)如图，对于①，连接MMAC,则MN〃AC,连接AM,CN,

易得AM,CN交于点P,即MN面APC,所以MN〃面APC是错误的.

对于②，由①知M,N在平面APC内，由题易知AN〃GQ,且AN平面4PC,

C\Q平面APC.

所以GQ〃面APC是正确的.

对于③，由①知，A,P,M三点共线是正确的.

对于④，由①知MN面APC,又MN面MNQ,所以面MNQ〃面APC是错误

的.

答案(1)B⑵②③

规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个

定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉

最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.

2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

⑵特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否

定结论或用反证法推断命题是否正确.

【训练1】⑴设〃?，〃是不同的直线，叫£是不同的平面，且m，n。，则

ua//pn是“m〃。且〃〃夕'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(2016•全国II卷)a,£是两个平面，加，几是两条直线,有下列四个命题：

①如果mA,n,ml.a,〃〃B,那么a±£.

②如果〃zJLa,〃〃。，那么，

③如果a〃/?,〃2。，那么历〃尸.

④如果〃?〃〃，。〃£,那么〃7与Q所成的角和"与夕所成的角相等.

其中正确的命题有(填写所有正确命题的编号).

解析⑴若加，〃a,aHB、则〃7〃S且〃〃人反之若加，na,mJ/B宜

n//p,则。与//相交或平行，即"a〃，'是"机〃夕且〃〃夕'的充分不必要条件.

(2)当〃zJ_〃，ml.a,〃〃£时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断

知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案(1)A(2)②③@

考点二直线与平面平行的判定与性质(多维探究)

命题角度1直线与平面平行的判定

(1)证明：MN〃平面以3；

(2)求四面体N—RCM的体积.

如图，取B尸的中点，连接AT,TN,由N为PC中点知川〃BC,TN=^BC=

2.

又AO//BC,故TN^kAM,所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNZMT.

因为AT平面附B,MN平面%B,

所以MN〃平面PAB.

⑵解因为以_L平面ABC。，N为尸。的中点，

所以N到平面ABCD的距离为14.

如图，取8c的中点£连接AE由A8=AC=3得4£_L8GAE=yjAB2-BE2=

小.

由AM//BC得M到BC的距离为小，故S“CW=：X4X#=2小.所以四面体N

乙

1PA4、行

一BCM的体积

VN-BCM=QJXS^BCMX4—=J.

命题角度2直线与平面平行性质定理的应用

【例2一2](2018・宜春质检)如图，五面体ABCQE,四边形A8DE

是矩形，ZVIBC是正三角形，AB=1,AE=2,尸是线段8c上一

点，直线8c与平面ABO所成角为30°,CE〃三面AOE

H

(1)试确定产的位置；

(2)求三棱锥A-CDF的体积.

解⑴连接3E交A。于点O,连接OF,

・.・。七〃平面4。/，CETffiBEC,平面AOFH平面5EC=OR,/V>>D

：,CE//OF.

•・・。是BE的中点，・•，是BC的中点.B

(2)・；BC与平面A3。所成角为30°,BC=AB=l,

・・・C到平面ABD的距离为h=BCsin30°=1.

*：AE=2,

VA-CDF=VF-ACD—VB-ACD—2VC-ABD

1X2X7=]

规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直

线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即

从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其

顺序恰好相反.

求证：(1皮/〃平面ABC；

(2)AQJ_AC

证明(1)在平面48。内，ABLAD.EF1AD,

贝ijAB//EF.

9：AB平面ABC,EF平面ABC,

，石尸〃平面ABC.

(2)TBCLBD,平面48。0平面8。。=阴九平面ABQ_L平面BCD,BC平面

BCD,

・・.8C_L平面ABD

*：AD平面A3。，：.BC-LAD,

又A8_LAO,BC,AB平面ABC,BCQAB=B,

平面ABC,

又因为AC平面ABC,：.ADLAC.

考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)

【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC—4中，E,AHr.

F,G,"分别是AB,AC,A1B1,4G的中点，求证：博冰

(1)8,C,H,G四点共面；V'A\

(2)平面EM〃平面BCHG.

证明(1)・・'G,”分别是A山i,4G的中点，13

，GH是△A181C1的中位线，则GH//B1C1.

又丁B\C\//BC,

：.GH//BC,:・B,C,H,G四点共面.

(2)VE,F分别为FB,AC的中点，：.EF//BC,

*：EF平面BCHG,BC平面8C”G,

・・・£尸〃平面BCHG.

又G,E分别为AiBi,48的中点,AiB/A分

：.A\G^EB,

J四边形4EBG是平行四边形，・・・AiE〃GB

9：A\E平面BCHG,GB平面BCHG,

・・・AiE〃平面BCHG.又・；ATECEF=E,

・・・平面瑁小〃平面BCHG.

【迁移探究11在本例中，若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,AiBi,A1C1

的中点”变为“。，。分别为6Q,6c的中点”，求证:平面AiBDi〃平面AC1D

证明如图所示，连接4c交AC于点M,A,

•・・四边形AiACCi是平行四边形，

・•・〃是4c的中点，连接M。，.LiA.'nJc

.・弟为比的中点，W

：.A\B//DM,

9：A\B平面

DM平面4BU,

・・・OM〃平面A山。i,

又由三棱柱的性质知，DC做BD,

・・・四边形BDCiDi为平行四边形，

：.DCi//BDi.

又。G平面45D1,BD\平面4BDi,

・・・QCi〃平面AiBDi,

又。C】nQM=。，DCi,DM平面AGO,

因此平面A山。।〃平面AC\D.

【迁移探究2】在本例中，若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1

的中点”变为“点。.力分别是AC，4C上的点，且平面A。。〃平面4用DJ',

试求A养H的值.

解连接4B交4办于。，连接。Eh.

由平面〃平面A5iDi,且平面A山GG平面BCiD=BCi,

平面48aA平面A8O=。。,所以则给=器

A\D\DC

又由题设

D]C\~ADf

•型=1即也=1

即OC—

规律方法1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

2.面面平行条件的应用

(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两

条直线是相交直线.

【训练3】(2018•东北三省四校联考)如图，在三棱柱ABC-

AIBIG中，A4i_L底面ABC,ABYAC,AC=AA\,E,产分别是

棱BC,CC的中点.

(1)若线段AC上存在点D满足平面OE/〃平面ABC\,试确定点

。的位置，并说明理由；

(2)证明：EFLAxC.

(1)解点。是AC的中点，理由如下：

「平面DEF〃平面ABG,平面A8CA平面DEF=DE,平面48CG平面ABC\

=A8,

：.AB//DE,

•・•在中，E是月C的中点，

J。是AC的中点.

(2)证明•・,三棱柱ABC-ABiG中，AC=AAi,

工四边形4ACG是菱形，・・・AC_LAG.

VAAilJgfflABC,AB平面ABC,：.AAi±AB,

又ABL4C,AA\QAC=A,・"B_L平面A4CC,

VAiC平面儿4clC,：.AB-LA\C.

又ABnAG=A,从而4CJ_平面A8G,

又BCT平面ABC,

AAiClBCi.

又・・・£尸分别是BC,CG的中点，

：.EF//BC\fAffiEFLA\C.

基础巩固题组

(建议用时：4()分钟)

一、选择题

1.(2018•安康模拟)有下列命题:

①若直线/平行于平面。内的无数条直线，则直线/〃。；

②若直线。在平面a外，则。〃a；

③若直线a〃b,b//a,则a〃a；

④若直线。〃4b"Q,则。平行于平面。内的元数条直线.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

解析命题①/可以在平面G内，不正确；命题②直线。与平面。可以是相交关

系，不正确；命题③。可以在平面GC内，不正确；命题④正确.

答案A

2.（2018•长郡中学质检）如图所示的三棱柱ABC—中，过48

的平面与平面A8C交于OE,则。E与A8的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.以上均有可能

解析在三棱柱4AC-4办。中，AR//A,Rit

AB平面ABC,A\B\平面ABCt

「•A阳〃平面ABC,•:过A"的平面与平面ABC交于DE.・••平E〃4Bi,:.DE

//AB.

答案B

3.（2018•广东省际名校联考）已知。，£为平面，。，b,c为直线，下列命题正确

的是（）

A.a。，若人〃。，贝

B.4n£=C,bLc,则

C.a±Z?,b-Lcf则a//c

D.aCZ?=A,aa,ba、allB、b//B、则。〃夕

解析选项A中，b。或方〃a,不正确.

B中。与「可能斜交，B错误.

C中Q〃C,。与C异面，或。与C相交，C错误.

利用面面平行的判定定理，易知D正确.

答案D

4.（2018♦合肥模拟）若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面

a平行的棱有（）

A.0条B.l条

C.2条D.1条或2条

解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则£F〃GH.

TEF平面3C。，GH平面BCD,

二•E尸〃平面BCD.

又•：EF平面AC。，平面BCOn平面ACO=CQ,

：.EF//CD.

又EF平面EFGH,CD平面MG”.

二•CO〃平面EFGH,

同理，AB〃平面EFGH,

所以与平面a（面EFGH）平行的棱有2条.

答案C

5.（2018・吉安模拟）设直线/,，n,平面。，£,则下列条件能推出。〃£的是（）

A.la,ma,旦I!/tn〃B

B.lo,m£，且I!/m

C.l±a,m_L£,且/〃加

DA//a,相〃£,且/〃用

解析借助如图所示的长方体模型，可以判定选项A,B,D不

一定推出a//£.对于选项C,由/J_a,I//，n,得又"2_1_夕,

从而a//fi.

答案C

二、填空题

6.设以，B,/是三个不同的平面，加，〃是两条不同的直线，在命题"aC0=m,

〃y,且________,则〃?〃〃”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命

题为真命题.

①。〃y,nP；®ni//yfn//6；③n〃my.

可以填入的条件有.

解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当〃〃夕，my时，〃和机在同一

平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.

答案①或③

7.如图所示，正方体ABC。-中，48=2,点E为AO

的中点，点尸在CQ上.若EF〃平面48C,则线段"的长度

等于.

解析在正方体ABCO-AIBIGDI中，AB=2,・・.AC=2，i

又石为AE＞中点，£/〃平面AB\C,EF平面AOC,平面ADCG平面A61C-AC,

：.EF//AC,

・・・E为。C中点，

:,EF=gAC=p.

答案也

8.(201%郑州调研)设〃7,〃是两条不同的直线，a,B,/是二个不同的平面，

给出下列四个命题：

①若ma,n//a,则in//〃；

②若a〃夕，B〃Y、mla,则，〃_Ly；

③若aC夕=〃，〃?〃〃，〃?〃a,则〃?〃/?；

④若加〃a,〃〃£,m//n＞则a〃夕.

其中是真命题的是_______(填上正确命题的序号).

解析①〃2〃〃或根，〃异面，故①错误；易知②正确；③〃2〃4或团B,故③

错误；④a〃夕或a与乃相交，故④错误.

答案②

三、解答题

9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母EG,〃标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)：

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.

解⑴点F,G,"的位置如图所示.

(2)平面BEG〃平面ACH,证明如下：因为ABCD-EFGH为正方七便飞例

体，匡斟7

所以3C〃/G,BC=FG,

又FG//EH,FG=EH,

所以3C〃EH,BC=EH,

于是四边形8c〃七为平行四边形，所以BE〃CH.

又CH平面AC”，BE平面AC”，所以3E〃平面ACH.

同理BG〃平面AC".

又BECBG=B,所以平面BEG〃平面AC77.

10.（2018•张家口检测）如图，四棱锥尸一48。。中，四边形ABC。P

为正方形，POJ_平面ABCD,PD=DC=2,点、E,F分别为卮

AD.PC的中点.机

⑴证明：。尸〃平面P6E；扑、

⑵求点F到平面PBE的距离.人

⑴证明取尸6的中点G,连接EG,FG,贝ij尸G〃6C,且bG=.C

\2

,?DE//BC且DE=eBC,/V

：.DE//FG且DE=FG,/;;

・•・四边形OEGb为平行四边形，先上7

J.DF//EG.AB

又DF平面尸BE,EG平面PBE,

故OF〃平面PBE.

⑵解由⑴知。尸〃平面PBE,

，点。到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D

到平面产区上的距离，设为"，连接3D

VD-PBE—Vp_BDE,:百dPBE*d=^S^BDEePD,

由题意可求得PE=