小升初数学（七年级）专项提升：探究与表达规律（专项训练）原卷版

专题21探究与表达规律专项讲练

学习小目标

i.通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；

2.能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示，并通过计算验证；

3.在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。

【思考1】下面是杨辉三角，你能接着写下去吗?

1

11

121

1331

14641

【思考2】下面是2023年6月的H历，你能观察出日历上的数字有什么特点，他们之间有关吗？

提示可以从下列情况思考：（1）横排相邻的日期；（2）竖排相邻的日期；（3）“左上•右下”相邻的日期;

（4）“左下-右上”相邻的日期。

S中野府网

20236.

B-=四五六

43

5678910

+A二十tf-廿二寸三

11121417

甘E廿七照

休休休

18192021222324

Sfl初二初三*RI*六0七

252627282930

桐八初九■十十三

］知识帮你梳理

1.规律探索型问题解题技巧

1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者儿个变化的量.所谓找规律，多数情况

下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的

顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.

2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一

番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，

问题也就容易解决了.

3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常

包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，

尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.

4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

2、规律探索型问题常见类型

I）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一

般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过

横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分

的特征，改写成要求的格式.

2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有

两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从

图形中直接寻找规律.

3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找

规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.

4）常见的数列规律：

1）1,3,5,7,9,...,2/?-1（〃为正整数）；2）2,4,6,8,10,…，2n（〃为正整数）.

3）2,4,8,16,32,…，T（〃为正整数）；4）2,6,12,20,…，“（”+1）（〃为正整数）.

5）-x»+x,-x,+x,-x,（〃为正整数）.

6）特殊数列：①三角形数：I,3,6,1（）,15,21,…，典士D

2

②斐波那契数列：1,1，2,3,5,8,13,…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.

U____

［高频考点

考点1、数列的规律

【解题技巧】数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号〃之间的关系.

例I.（2023•云南昆明•校考模拟预测）观察下列按一定规律排歹!的数:-3,1,9,1,-27,1,18,1,

则第15个数为（）

A.315B.-315C.38D.-38

13579

变式I.（2022・广东七年级月考）有一组数：一丁§，一记，石厂公…，它们是按一定规律排列的，这一组

数的第〃个数是（）

I)2〃-12K+12/7-12〃+1

A.(-IfB.(-1严c.(一1)"D.(-1)"

5+1)2(〃+1)2772

变式2“。22・福建七年级期中）观察下列各项依此规律下去，则第7蟾----------

第〃项是.

考点2、数（图）表的规律

【解题技巧】数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号〃之间的

关系.

例1.（2023•山东泰安・统考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行

的规律，可以知道第六行第三个数是________.

第一行|

第二行g

第三行1iI

第四行ii

第五行IiiI

变式I.（2022秋•浙江杭州•七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A、B,A点表示有理数一4,B点、

表示有理数6,点尸在原点左侧，表示有理数M且点P到A、B两点的距离和是16,观察下面每个图形中

为表示这个数列的第〃个数，则。+即）0=

变式3.（2022•柳南区七年级月考）将正奇数按下表排成5歹小

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行1357

第2行1513119

第3行17192123

・・・•・・・・・2725

若2021在第m行第n歹ij,贝ijm+n=()

A.256B.257C.510D.511

考点3、算式的规律

【解题技巧】算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号〃之间的关系

例I.（2022春・广东梅州•七年级校考期末）观察下列算式中的规律：

25=52,1225=352,112225=3352,11122225=33352……，下列等式中符合规律的是()

A.1112225=3335?B.111122225=3333352C.1111222225=333352D.11111222225=3333352

变式I.（2023•江西萍乡•校考模拟预测）有一种印度式乘法，如图（1）表示12x31=372,其中12是沿左

上到右下的方向，画两组线段依次表示被乘数从高位到低位的数字；31是沿左下到右上的方向，画两组线

段依次表示乘数从高位到低位的数字；372是由从左往右数每一竖列上结点的个数连在一起得到的（若每一

图（2）表示的算式为（）

图⑴图⑵

A.22x231=5082B.112x231=25872C.211x132=27852D.112x132=14784

变式2.（2022•山西七年级期中）观察以下等式:

第1个等式：1x3—0x4=3：第2个等式：2x4—1x5=3；

第3个等式：3x5-2x6=3；第4个等式：4x6-3x7=3.

按照以上规律.解决下列问题：（1）写出第5个等式:

（2）写出你猜想的第〃个等式:（用含〃的等式表示）.

（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由.

考点4、图形的规律（一次类）

【解题技巧】图形规律：观察前八项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

例I.（2023秋・江苏无锡・七年级统考期末）如图，将黑、白两种颜色的小正方形按照一定规律组合成一系

列图案，若第〃个图案中黑色小正方形个数记作S"，如$=3,S?=4,则S皿等于（）

A.101B.102C.202D.203

变式I.（2022秋•陕西榆林•七年级校考期末）数学兴趣小组的•位同学用棋子摆图形探究规律,如图所示,

若按照他的规律继续摆下去，第八个图案中用了2025颗棋子，则〃的值为（）

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

A.506B.507C.508D.509

变式2.（2023春・重庆北倍・七年级校考期中）为纪念中国人民志愿军抗美援朝作战胜利“70质年”，学校社

团开展了系列活动.手工制作社团的同学用糖果摆成如图所示的“70”图案,其中第1个“70”图案用8颗糖果，

第2个“70”图案用12颗糖果……按照这种规律,第70个“70”图案用（）颗糖果.

①②③

A.276B.280C.284D.288

考点5、图形的规律（二次类）

【解题技巧】图形规律：观察前八项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

例I.（2022・重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可

以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15,....我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛

积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数''的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个

球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（）

三角锥垛

A.55B.220C.285D.385

变式1.（2023秋・湖北武汉•七年级统考期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外M

面的设计灵感源于阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案.该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列

组成，图形（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，….依

次规律，图形（10）由（）个小三角形组成.

变式2.（2022•成都市七年级期中）如图是一张101x101方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角

的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有个格子被涂色.

变式3.（2022•浙江七年级期末）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火

柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（）

考点6、图形的规律（指数类）

【解题技巧】图形规律：观察前八项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论

例I.（2023•重庆沙坪坝•统考一模）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树.让图①中两个

小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树.从第二代勾股树出发，又可以长出第

三代勾股树（如图③）.这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的

个数为O

D.31

例2.（2022秋•吉林长春•七年级统考期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数

量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合.

【方法生成】将一个边长为I的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：

【方法迁移】（4）g+:+（+…+/=

【灵活运用】（5）摄+/+呆••+呆—

变式1.（2023秋・广东深圳•七年级统考期末）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形

①面积是正方形纸片面积的g,图形②面积是图形①面积的2倍的g,图形③面积是图形②面积的2倍的

1117475

,……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的"图形⑦面积是图形⑥面积的2倍.计算：+（提+…+京

的值为（）

A.---D•黑

729蒜

变式2.（2023•安徽安仄•校考二模）用若「个“。”与“▲”按如图方式进行拼图:

图1

（1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整:

图1图2图3图4

。的个数

3921—

▲的个数1410—

⑵根据你所观察到的规律，分别写出图〃中“。”与“▲”的个数（用含〃的代数式表示）.

考点7、循环规律类问题

【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

例I.（2023•江苏扬州・统考二模）现有一列数外,电，。3，…，&）”，2022，~23,对于任意相邻的三个

数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果％必=2022,6023=2023,则4+生+%+…+%（＞2+%022+。2023

的值为（）

A.2022B.2023C.4044D.4045

变式1.（2022.湖南.模拟预测）观察下列等式：2=2,2?=4,23=8,24=16»2=32,2:64,…,

根括这个规律，则2+22+2：'+2』+…+2加2的末尾数字是（）

A.0B.2C.4D.6

变式2.（2023・贵州遵义•统考三模）如图I,AE是：。的直径，点8、C、。将半圆分成四等分，把五位

同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3

号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2,称为T次换序”.接

着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，

站到1号和4号两位同学之间，得到图3,称为“2次换序”.以此类推……；若从图1开始，经过“次换序”

后，得到的顺序与图1相同，则”的值可以是（）

A级（基础过关）

I.（2022秋・北京西城•七年级统考期末）川边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律

拼出图形.拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按

照这样的规律拼出的第〃个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第〃个图形所用两种

卡片的总数为（）

...

第I个图形第2个图形第3个图形

A.57枚B.52枚C.50枚D.47枚

2.（2022秋・河北保定•九年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中

点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图

的方式进行操作，…，按此规律操作下去，则第〃（〃为正整数）个图形中正方形的个数是（）

3.（2022秋•安徽六安•七年级统考阶段练习）小明下五子棋的时候，用根子按一定的规律摆了如下三个图

形，请你猜测一下，若小明继续摆下去，第10个图形需要几颗棋子（）

A.40D.36

4.（2023春•江西鹰潭・七年级统考期中）某树苗原始高度为60c:n,下图是该树苗的高度与生长的月数的有

关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长〃个月时，

它的高度（单位：cm）应为（）

60cm70cm80cm90cm

A.604-5（/2-1）B.60+5/1C.60+10（/?-]）D.60+10〃

5.（2023秋♦河南周口•七年级校考期末）如图，用规格相同的小金属棒按照图示规律焊接成相连的小正方

体，2023根小金属棒最多可以焊接成个小正方体.

^zrzrzrz~•••

/1/1/

6.（2023•山西晋城•校联考模拟预测）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持.科

学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构.如图是蜜蜂蜂房的一组有规律的图案，它

们是由相同的小正六边形组成，依此规律，第〃个图案中有个小正六边形.

7.（2022秋♦云南玉溪•七年级校考期中）如图，数1对应着1颗星形，数2对应着5颗星形，数3对应着

9颗星形，…，按这样的规律排列下去，则正整数〃对应着一颗星形.

A▲工▲▲▲工▲▲▲▲上工▲上.

T▼[TT>T▼▼工▼▼卜

8.（2022秋♦七年级统考期中）某次会议前,小明同学帮助老师摆放桌椅：

GGAAAA

甲废浦江1…

••乙方式:6）《

（I）按甲方式将4张桌子拼在一起共有一_____个座位，〃张桌子拼在一起共有_________个座位；

（2）按乙方式将6张桌子拼在一起共有个座位，机张桌子拼在一起共有个座位.

9.（2022秋・浙江台州•七年级统考期末）如图，某公园分别按照方案A和方案用许多相同的小正方体

盆花，依次一圈一圈地摆放出上表面为大正方形的图案，其中方案4中间的一个小正方形不放花，方案8

中间的四个小正方形不放花.可以按照图中的规律不断增加摆花的圈数.

（1）根据题意，将两种方案下前三圈的盆花数量填入下表:

盆花数量

第1圈第2圈第3圈…

方案

方案A•••

方案B・•・

你发现同一圈上这两种方案盆花数量之间有什么关系？

（2）请用字母表示数，通过计算说明（1）中发现的数量关系成立的理由.

10.（2023秋・山东威海•六年级统考期末）用正方形和圆按照一定规律摆出下列一组图形:

①②③

（1）请填写下表：

图形编号①②③④•••

正方形/个1・・・

圆/个4•••

⑵第2023个图形中，有个圆；（3）若第〃个图形中有100个圆，则从第1个图形到第〃个图形

中共有多少个正方形？

B级（能力提升）

1.（2023•四川攀枝花•校考一模）按规律填空：1,0,9,16,（）,48

A.33B.25C.36D.42

2.（2023秋・贵州遵义八年级统考期末）如图所示：某同学在利用火柴棍拼三角形时发现规律，图1是利

用3根火柴棍能拼成边为1根火柴棍的三角形图案，图2是利用9根火柴棍拼成边为2根火柴棍的三角形

图案，图3是利用18根火柴棍拼成边为3根火柴棍的三角形图案，按此规律拼图，要拼成边为100根火柴

棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：（）

AAAAAA

图1图2图3

A.891B.5050C.10101D.15150

3.（2022•浙江•九年级自主招生）一共有12个1排成一行，在它们中间加入一定的加号使得它们的和能被

30整除，例如1+11+111+111111=111234.求使得最终和是30的倍数的添法的个数为（）

A.15B.45C.55D.90

4.（2022•广东江门•七年级期末）〃个等腰梯形按如图的方式拼接得到组合图形，由图可知，〃=1时，图

形的周长L（1）=5a,〃=2时，图形的周长L（2）=&,.依比类推：

5.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，将一个正三角形分为4个全等的小正三角形，挖去中间的一个

小三角形，称为一次操作；再对剩下的3个小正三角形分别重复上面的操作，这样下去，就能得到越来越

多的小正三角形，这个最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的.那么至少连续经过_____次这样的操

作，得到的小正三角形就能超过50个.

△

6.（2023・湖南张家界•统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程•这里有三

组数：①3,6,9,12；②0,-2,-4,-6,-8；③8,5,2,……

①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，

称之为数列•数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，

第3项，…，第"项，…一般记成外,出，%……这三组数列都是从第2项起，每一项与它的前一项的差等

于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母〃表示.

（1）如数列①中d=3数列②中d=-2那么数列③中4=.

（2）又如6=%+4=（6+〃）+4=%+加，/=%+，/=（4+加）+△=%+：...

⑶由此可得到。'：（4）由（3）的结论你能否求得此等差数列3,7,11,…第4项与第15项.

7.（2023秋・安徽亳州•九年级统考期末）用和“◊”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采

用如图所示的方案种植:

令令◊今令Wot

◊O史发;

O◊◊◊

令令◊O

◊◊◊◊◊令令

①②③

⑴观察图形,寻找规律，并将下表填写完整:

图序©②③④

O149

◊4916

（2）分别表示出笫〃个图形中甲种植物和乙种植物的株数.

8.（2023春•黑龙江哈尔浜•七年级校考期中）观察下血三行数:

014916...①

0381524..②

-13112339...③

(1)求①中的第11个数是⑵用含有〃的式子表示②中的第〃个数是

⑶在(1)、(2)条件下，计算③中的第21个数是多少？

9.(2022秋.江苏泰州.七年级校考期中)用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形.

图1图2图4

⑴图3中共有1+3+5=9个小正方形，图4中共有1+3+5+_=16个小正方形，…，按图示方式继续拼下

去，图10中(未画出)共有1+3+5++_=_个小正方形；

(2)以此类推，图〃中(未画出)共有1+3+5+_个小正方形;

(3)借助以上结论计算：1+3+5+-+1999.

(1)请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出〃棱柱有个面，条棱，

个顶点；〃棱锥有个面，条棱，个顶点；

(2)所有像三棱柱、四棱柱、六楂柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，

经过前人们归纳总结发现，多面体的面数/，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据(1)

总结出这个关系为.

C级(培优拓展)

I.（2022秋・江苏无锡•七年级校考期中）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的

一门新的数学学科.分形是把整体以某种方式分成几个部分.按照如图甲所示的分形规律（1个白圈分形为

2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得皿图乙所示的一个树形图，则第7行中黑圈

数量为（）

甲乙

A.363B.364C.365D.366

2.（2022秋・北京•七年级北京市陈经纶中学分校校考期中）将。（。23）个纸杯分别单独立在桌面上，其中

有3个纸杯倒扣（杯口朝下），其余纸杯正立（杯口朝上）.规定一次操作必须同时翻转3个不同的纸杯，

〃次操作的目的是使所有的纸杯都杯口朝上正立在桌面上.

①如果。=3,而0＜力＜3,那么不能实现目标（即：〃不存在）

②如果。＞3,而。=3〃？（机为正整数），那么最少m次操作就能实现目标（即〃=〃?）

③如果。=5,。=4,那么不能实现目标（即：〃不存在）

以上判断正确的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.（2（）23•北京顺义・统考二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃2~10共9张牌挑出，

打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌.已知甲的三张牌数字之和是12,乙的三张牌数字

之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数.写出中的三张牌上的数字是_____,

丙的三张牌上的数字是.

4.（2022秋・广东深圳•七年级深圳中学校联考期末）如图是深中初中部美丽校园的一景，黄馨同学上学时

走过两段楼梯，其中第一段有5个阶梯，第二段有10个阶梯.如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么黄

馨同学有种方法走完第一段楼梯，有种方法走完第二段楼梯.

5.(2022秋•福建福州•七年级统考期中)幻方是•类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所示

的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点

上的数字之和相等，若A=2〃+l,C=4〃，F=2n,则”=.

6.(2022秋•安徽宣城•七年级统考期末)如图，每个小正方形的面积均为1.将左图中黑色的小正方形移

动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：

第1个等式：2+4=2X3

第2个等式：2+4+6WX4

第3个等式:

(1)请写出第3个等式:：(2)猜想第〃个等式为:(用含〃的等式表示)；

(3)当〃为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？

7.(2022秋.山东青岛.七年级校考期末)问题探究：

如图I，2个角的各边相交，第2个角的每条边最多会与第I个侑的2条边新产生2个交点，所以共有

2x2=4xl=4个交点；

如图2,3个角的各边相交，第3个角的每条边最多会与前面2个角的4条边新产生4个交点，所以共有

2乂2+4乂2=4乂(1+2)=12个交点；

若4个角的各边相交，第4个角的每条边最多会与前面3个角的6条边新产生6个交点，所以共有

2乂2+4乂2+6乂2=4乂(1+2+3)=24个交点；

图I图2

（1）若5个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，写出必要的探究过程）

（2）宜接写出10个角的各边相交，最多共有个交点；

（3）直接写出〃个角的各边相交，最多共有个交点（用含〃的代数式表示）.

8.（2022秋•北京通州•七年级统考期末）现有一个长方形A8CQ的宽为1,长为的纸片，先剪去一

个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类

推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应。的值，请画出（与示意图不同）

剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应。的值.