苏科版九年级数学下册 专项训练（二） 图形的相似（含答案）

专题训练（二）图形的相似

考点一成比例线段与黄金分割

1（2025连云港灌南模拟）已知一种零件的长是2mm,在一幅设计图上的

长是40cm,则这幅设计图的比例尺是（）

A.200：1B,2000：1C.1：2000D.1:200

2（2025无锡惠u期末）如果〃：6=1：2,那么"十儿的值是（）

2a~\~b

3（2025无锡江阴月考）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是

汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地.若古筝上有一根弦48=80cm,支撑

点C是靠近点片的一个黄金分割点，则8C为cm.（结果保留根号）

4（2025苏州期口）己知线段mb,。满足Q：b：c=l：3：5,且a—

c=6.

（1）求线段a,b,c的长；

（2）若线段是线段a,b的比例中项，求线段〃?的长.

5（2025盐城阜宁期末）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例

法则，它是几何学中一大瑰宝.

（1）如图1,若力占=10,4是线段45的黄金分割点求线段力〃

的长；

（2）如图2,在中，AB=AC,N4=36。，CM是N/C8的平分线，求

证：M是线段48的黄金分割点.

图1图2

考点二相似三角形的判定与性质

6（2025泰州二模）如图,在△48。中，点。，石分别在力8,4。上，。E〃BC,

△力DE与四边形。BCE的面积比为1：3,贝的值为（）

（第6题）（第7题）（第8题）（第10题）

7（2025苏州姑苏月考）如图，已知NB=30。,ZZ）=130°,^ADAC,

则/BCO的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

8（2025南通启东一模）如图，在等边三角形/8C中，D为边BC上一点,

E为边力C上一点,且/4DE=60。.若80=4,CE=2,则△COE的面积为（）

A.23B.33C.43D.63

9（2025南通通州二模）己知在△ABC中，D,七分别是力a4c的中点，

连接。E,则■与△/BC的周长比是.

10（2025南京建邺二模）如图，直线八〃/2〃/3，直线mb与h,h，〃分

别交于点4B,。及点。，E,E若4。=3,BE=4,CF=6,则.

11（2025无锡期中）已知RtZVIBC的斜边,48=4,以48为边在RtZ\48C

所在平面内作矩形力80=5,则CO的最小值为.

12（2025无锡锡山期中）如图，。。经过△IBC的顶点力，B,分别与4C,

8c相交于点。，E,连接力七，BD交于点F,且OE平分N8QC

（1）求证:AE=BE；

（2）若AB=6,BE=8,当。E=痔时，求的值.

AC

13(2025苏州期末)如图，在菱形48CO中，对角线4C与8。交于点。,

E为。的中点，连接BE交4C于点反

(1)求证：AF=2FC；

(2)若菱形力BCD的边长为8,且/45C=60。，求Eb的长.

考点三图形的位似

14(2025南通海门月考)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三

角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△/BC,△7)即成位似关系，则位

似中心的坐标为()

A.(-l,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(l,0)

15(2025泰州二模)如图，在平面直角坐标系xQy中，等边三角形

与等边二角形4DE是以原点。为位似中心的位似图形，面积比为1：9,点力，

B,。均在x轴上，点。的坐标为(2,3),则点E的坐标为()

A.(18,93)B.(27,93)C.(6,33)D.(9,33)

16(2025淮安金湖一模)已知△/班?的三个顶点坐标为力(5,0),仅6,4),

C(3,0),将△ABC以坐标原点。为位似中心，位似比2：1进行缩小，则缩小

后的点8所对应的点的坐标为.

17（2025无锡新吴期末）如图，在平行四边形48C。中，以点。为位似中

心，作平行四边形力8C。的位似平行四边形在。凡且与原图形的位似比为2：3,

连接8P,0P.若平行四边形的面积为20,则△P8E与△PDb的面积之和

为.

考点四相似三角形的应用

186科融管（2025扬州邢江二模）如图是凸透镜成像的光路示意图，线

段力氏CD,OE分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透馍，它们均与主光轴垂直.一

束平行于主光轴的光线4E经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点R一束经过

光心的光线力。与折射光线相交于点C已知。尸=6cm,08=8cm,则°。的

AB

值为W.

19（2025连云港一模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看

作一个三角形，液面宽度为6cm,其他数据如图所示，喝掉一部分后的数据如

图2所示，则此时液面宽度为cm.

20（2025宿迁沐阳期末）如图，工地上竖立着两根电线杆44,CD,它们

相距15m,分别自两杆上高出地面4m,6m的4,。处，向两侧地面上的E和

D,8和9处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，则钢丝绳力。与8C的交点P离地

面的高度是多少米？

21（2025苏州姑苏月考）如图1是大拇指广场示意图及测量其高度的方案,

图2是求大拇指高度48的示意图.如图2,在点。处放置一根高度为2m且与

地平线8歹垂直的竹竿/C,点/I,。在同一直线上，测得。。为3m.将竹竿

/C平移5m至点E处，点4G,/在同一直线上，测得为5m,求大拇指

的高度.

图1图2

专题训练（二）图形的相似

1.A2,C3.405-40

4.解：(1)设a=A,b=3k,c=5k,

贝ij。-b+c=6,即k-3k+5k=6,

解得A=2,所以。=2,b=6,<?=1().

(2)由(1)知a=2,6=6.

因为加是。，b的比例中项,

所以m2=ab,即力产=12,解得=土23.

因为加>0,所以小=23.

5.(1)解：因为〃是线段的黄金分割点(力〃>8〃)，所以5-1

AB2

又因为48=10,所以力〃=55—5.

(2)证明：因为ZA=36°,

所以NABC=ZACB=72°.

因为CM平分N%C从所以//CW=N4CM=36。，

所以N/1=N4CM,所以4H=MC.

又因为NBMC=ZJ4-ZJCM=72°,

所以N8MC=/ABC,所以BC=MC,

所以BC=AM.

因为NZ=/8CM,N8=N8,

所以△C8”s△48C,

所以所以

BCBAAMBA

所以"是线段的黄金分割点.

6.D7,B8.A9.110.111.29-2

12.(1)证明：由题意，得N4?E+NXQ£=180。.

因为N/QE+NCOE=180。，

所以

因为DE平分N8QC,所以NCOE=Z.BDE.

因为N8OE=N4力E,所以NBAE=N/1BE,

所以4E=8£

(2)解：因为4"=8,所以力£=8.

因为。石=EF,所以NEDF=/EFD.

因为N4FB=NEFD,NEDF=NBAF,

所以Z.AFB.

由(1),得NBAF=/ABE,

所以N4q

因为NBAF=NE4B,所以△4BFs”EB,

AF=AB

所以

AB~AE

即/尸=6,解得加=9,

682

o7

所以DE=EF=AE~AF=^~=.

22

由(1),得/CDE=NCB4,NDCE=NBCA,

所以△CO七s/\c比1,

7

所以CE=Z)E=2=7.

CAB4612

13.(1)证明：连接。£

因为四边形/14CQ是菱形，对角线力C,交于点。,

所以OB=OD.

因为£是。中点，

所以OE=5C,OE//BC,

2

所以AOEFSACBF,

所以OF=lCF.

2

因为OF-\-FC=OC,

即｝FC-\-FC=3FC=OC,

22

1

所以OA=’FC,

2

所以AF=OA+=3尸C+1FC=2FC.

22

故力尸=2/C.

(2)解：过点E作EGJ_8C,交8c的延长线于点G

因为四边形48CQ是菱形，ZABC=60°,

所以/18=8C=CO=8,AB//CD,

所以ZABC=NECG=60。.

因为E是CO的中点，

所以CE=lCD=4.

2

在RtZ\CEG中，ZG=90°,NECG=60。,

所以NCfG—30。，

所以CG=CE=2,

2

则EG=CP-CG'42—22=23,

所以4G=4C+CG=8+2=1().

在Rt^BEG中，BE=BG+EG2=102+(23)2=47,

由(1),得△OEFSACBF,

OEEF1

所以==

CB~BF~2

因为8/=8£-E£=41-EF,

EF\

所以=

41-EF~2

解得所=437，

经检验，当Ern's,时，原方程的分母不为0,符合题意，

所以"的长为‘B’.

4(1

14.A15.C16.(3,2)或(-3,-2)17.；

18.319.3

20.解：根据题意，得力8=4m,CD=6m,80=15m,

作PQ_L8O于点0，设BQ=xm,PQ=hm,则QD=(15