应用多元分析期末复习练习题

多元复习

1、多元统计分析是运用数理统计方法来解决多指标问题的理论与方法。

2、多元分析研究的是多个随机变量与相关关系的统计总体。

3、如果A与B是两个PXP维的方阵，则AB与BA有完全相同的特征值。

4、随机向量X的协方差矩阵一定是非负定矩阵。

5、若A为P阶对称矩阵，则存在正交矩阵T与对角矩阵八，则三者的关

系有A=TAT'。

6、设x是多元向量，服从正太分布即X〜7Vz1〃,斤，a为P维常熟向量，

则其线性型a'x服从一元正态分布，即a'x〜N（a〃,a'Ea）。

7、方差相同的两个随机变量的差与与是不相关关系。

8、协方差与相关系数是变量间离散程度的一种变量，并不能刻画变量间可

能存在的关联程度的关系。

9、变量的类型按尺度划分为间隔变量、有序变量、名义变量类型。

10、公共因子方差与特殊因子方差之与为1。

11、聚类分析是建立一种分析方法，它将一批样品或变量按照它们在性质

上的亲疏关系进行科学的分类。

12、聚类分析是分析如何对样品或变量进行量化分析，通常分为Q型聚类

与R型聚类。

13、聚类分析中Q型聚类是对样品进行聚类，R型聚类是对变量进行聚类。

14、进行判别分析时，通常指定一种判别规则用来判定新样品的归属，常

见的判别准则有：费希尔判别准则、贝叶斯判别准则。

15、费希尔判别法就是要找P个变量组成的线性判别函数使得各组内点的

离差尽可能接近，而不同组间的点尽可能疏远。

16、当X〜跖2力,则展-〃）7'27一%-〃）服从卡方分布，即

n）丁下」yJ〜

17、威尔克斯统计量表达式：A

18、霍特林统计量表达式：T2=n（x-u浦S」4-un）。

19、两个变量间的平方马氏距离：#G5=田_、八,厂一4_5；总体的

马氏距离：万2“1r“丫r-i（v__“Io

20、方差相等的两个随机变量的关系：cov：X1+x°・X1-xJ=0。

21、几个变量间服从正态分布，各自独立，样品的均值向量服从正态分布。

22、从代数观点看主成分是P个原始相关变量的线性组合。

23、变量共同度是指因子载荷矩阵中的第i行元素的平方与。

24、因子分析是指把每个原始变量分为两部分因素，一部分是公共因子，

另一部分是特殊因子。

1、判别分析的目标。

答：判别分析的目标有两个：一是根据已知所属组的样本给出判别函数，

并制定判别规则，再依此判断（或预测）每一新样品应归属的组别。

另一是用图形法或代数法描述各组样品之间的差异性，尽可能地分离

开各组。

2、费希尔判别的基本思想、目的、主要方法有哪些？

答：费希尔判别的基本思想是投影（或降维），用几个费希尔判别函数或典

型变量来代替P个原始变量，以达到降维的目的。并根据这r个判别

函数对样品的归属作出判别或将各组分离。各个判别函数都具有单位

方差，且彼此不相关。判别函数的方向并不正交，而作图时仍将它们

画成直角坐标系，从直观的几何图上进行判别，区别各组，这是费希

尔判别的重要应用。为作图时的需要，通常取判别函数个数r=2或3。

3、聚类分析与判别分析的区别与联系。

答：判别分析与聚类分析都是研究事物分类（或组）的基本方法，但它们

却有着不同的分类目的，彼此之间既有本质的区别又有一定的联系。

它们的本质区别在于：在于判别分析中，组的数目是已知的，我们将

样品分配给事先已定义好的组（或类）之一；而聚类分析中，无论是

类的数目还是类的本身在事先都是未知的。

它们的联系在于：如果组不是已有的，则对组的事先了解与形成有时

可以通过聚类分析探索得到；还有，聚类分析的效果往往也可以通过

由前两个（或三个）费希尔判别函数得分产生的散点图（或旋转图）

从直觉上进行评估。

4、主成分的应用分类。

答：主成分的应用可分为两类：（1）在一些应用中，这些主成分本身就是

分析的目标，此时需要给（用来降维的）前几个只成分一个符合实际

背景与意义的解释，以明白其大致的含义。（2）在更多的另一些应用

中，主成分只是要达到目标的一个中间结果（或步骤），而非目标本身。

5、主成分与原始变量间的关系。

答（1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。

（2）主成分的个数远远少于原始变量的数目。

（3）各个主成分之间互不相关。

（4）每个主成分都是原始变量的线性组合。

6、因子分析与主成分分析的区别与联系。

答：（1）主成分涉与的只是一般的变量变换，它不能作为一个模型来描述,

本质上几乎不需要任何假定；而因子分析需要构造一个因子模型，

并伴随有几个关键性的假定。

（2）主成分是原始变量的线性组合；而在因子分析中，原始变量是因

子的线性组合，但因子却一般不能表示为原始变量的线性组合。

（3）在主成分分析中，强调的是用少数几个主成分解释总方差；而因

子分析中，强调的是用少数几个因子去描述协方差或相关关系。

（4）主成分的解释是唯一的（除非含有相同的特征值或特征向量为相

反符号)；而因子的解可以有很多，表现的比较灵活(主要表达在

因子旋转上)。这种灵活性使得变量在降维后更易得到解释，这是

因子分析比主成分分析更广泛应用的一个重要原因。

(5)主成分不会因其提取个数的改变而变化，但因子分析往往会随模

型中因子个数的不同而变化。

1、正交因子模型的不受单位的影响。

证明：将X的单位做变化，通常是作一变换X*="，这里的

C=diag(C\,。2,…C〃)，Cj>0,j=1,2,....p,于是

令〃*=epi,A*=cA9£*=cs、则有:

这个模型能满足假定式的假定，即：

其中D*=由々£0*2,靖…..o；2),b：2=/W,i=l,2,---,po

因此，单位变换后新的模型仍为正交因子模型。

2、正交因子模型的因子载荷是不唯一的。

证明：设T为任意mxm正交矩阵，令A*=AT,f*=Tf,则模型*=4+"+&

能表示为X=〃+A*f*+£O

因为：£(r)=PE(f)=0

Mf)=o

E9)=o

所以仍满足条件：MF)=I

/(£)=〃=diag{G：,或,....0，)

cov(f,£)=E(f,=0

从2=V（Af）+/（£）=Ay（f）Al+夕®=/或x=〃+力"*+e都可以看

出E也可以分解为£=/♦+〃

显然，因子载荷矩阵A不是唯一的。

3、性质(7)设X,2),2>0,则(X-〃)A，(x-〃)〜X2(77)。

-1

证明：令丫=Z2(x-//),于是/~”,(0,1)

所以九％几……y〃独立同分布于N(O,1)

所以由卡方分布的定义知:

4、设随机变量x=（环町”3丫有密度函数

/6）2,!U一,in冉sinx?sin2），。＜冉①，七＜2/试证/芍，/两两独

0,其他

立但不互相独立。

证明：4（为.）=「「f（九巧，巧0牙2d々

J-QOJ—00

同理:《（%2）=；,右（才3）=

a71乙71

同理：〃…3）=*,3）==

从而F（X],3）=耳（/）右（巧）fg,演）=

））（）（）（）

f（X2iA3=与（彳24彳3,FX/2,*3工工（不）与（巧）叁*3

所以为4两两独立但不互相独立。

5、设P维随机向量X的向量与协方差矩阵分别为u与£,求证:

(1)E〈xx>=Z+/4i'

(2)E(x'Ax)==tr(E/D+〃勿〃

(3)假设〃=〃1,2=//与.』=/-,试利用(2)的结果证明

E(x，Ax)b?-tr(J)=p-1o

证明：(1)S=K(x)=£(x-〃)(x

所以：E(xxD=工+加

(2)E{x'Ax)=£卜'(彳为矛)]=班r(xxN)]=tr忸(才X⑷]=ti\E(xx'M]

(3)由(2)知5(X%Y)=tr(Z4)+"AR,

所以：2=卑=空粤…⑷”(/』)

(J-ba-P

6、性质(3)设X〜/y=cx+b,其中c为rxp维常数矩阵，b为

r维常数向量则y~Nr(〃+Z?,cEc")o

证明：对任意a'y=a1ex+a'b,因为X是多元正态变量，而abx是X

的一个线性函数

从而由性质(2)的必要性知：

目5是一元正态变量，所以是一元正态变量；

再由性质⑵的充分性知：

y是一个r元正态变量，又由于£(y)=c£'(x)+b=cju+b

因而：y--Nr（〃十A,c£（?）

7、设a为P维常数向量,则a，x〜NG?/,d£d）。

证明：因为X〜/（〃,2）,a为P维常数向量，令y=a，y,则有：

所以:a，x〜N（a〃d£a）

8、设X〜132）,这里x/x],〃=网，E=[：竺口则

\X2）\^2）（57。）

毛一巧=（LT）x服从一元正态分布。

证明：£（储->2）=（1,-1）!"1=A-〃2

G

即xx-*2~N（4]-“2,\+&-20sb2）

’300、

9、设X〜加3（M2）,其中z=05-1贝!和人不独立，事和（巧，人）独立。

1°-1U

证明:因为/（々，々）。。,所以巧和*3不独立；

因为小,（巧，0）]=0,所以不和（々，入3）独立。

’0、

1、已知初始距离〃一（dij）x=\\要求用最短距离法进行聚类，并画

LL乙U

<5340,

出聚类树形图。

3、例6.3.1设有五个样品，每个只测量了一个指标，分别是1、2、6、8、

11,使用最短距离法将它们分类。

解：记G]={1},G2={2},G3={6},<94={8},G5={11},样品间采用绝

对值距离。

Ro)

GG?G3G4G5

0

G210

G3540

G47620

G5109530

A)

G&G3G4G5

G,0

G340

G4620

G59530

其中G6=G1UG2

°(2)

G65G5

G60

G40

G5930

其中G]=G3UG4

G&Gg

G60

Gg40

其中G6=G1UG2

最短距离法树形图

4、为了研究辽宁省等5省区某年城镇居民生活消费的分布规律，根据调查

资料做类型划分

省X1X?X3后魅%x7居

份

辽7.9039.78.4912.919.211.02.013.2

宁747549

11.3

浙7.6850.3513.319.214.52.714.8

江705957

8.20

河9.4227.98.1416.11.59.76

9.019.42

南375

9.169.329.1011.3

10.5

甘27.915.91.85

10.0210.0

肃

68598.39210.8

青28.616.11.91

海486

解：

5、例1对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行

测量得样本数据如表1所示。根据以往资料该地区城市2岁男婴的这三个

指标的均值〃o=(90,58,16)，，现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男

婴是否与城市男婴有相同的均值。这是假设检验问题：H°・.k外,小

N丰出

表1某地区农村男婴的体格测量数据

编号身高(cm)胸围(cm)上半臂围(cm)

17860.616.5

27658.112.5

39263.214.5

48159.014.0

58160.815.5

68459.514.0

82.0-8.031.6008.0400.500、

X=

S-普想藕件聋觐英腾能嘴翰卜，

即认为农

村与城市的2周岁[8.9464-37.376035.5936>

6、例721设灯区,履用厂询卜施堀阵当

(002)

其特征值为：4=5.83,4=2.00,^3=0.17

相应的特征向量为：

若只取一个主成分，则贡献率为：

5.83/(5.83+2.00+0.17)=0.72875=72.875%

E与齿,％）对每个原始变量的贡献率:

可见，再对第三个变量的贡献率为零，这是因为天与X1与名都不相关，

在K中

未包含一点有关药的信息，这时仅取一个主成分就显得不够了，故应再取

此时累计贡献率为

（5.83+2.00）/8=97.875%

届,2=85.5%p，2=99.6%,0；［2=100%

tn,g）对每个变量号的贡献率分别为，

都比较高。

7、例7.2.2设用（苞,履,玛）'的协方差矩阵为

经计算,N瀛征值有盘隼向盟心《=109.793,4=6.469,

4=0.7380.041，G=0.1200.992

、0.951,[0.308,、-0.C02,

相应的主成分分别为：^=0.305^+0.041^+0.951^

/=0.944%+0.120盟-0.308&

%=-0.127X1+0.992玛-0.002号

可见，方差大的原始变量玛在很大程度上控制了第一主成分必，

方差小的原始变量名

几乎完全控制了第三主成分为，方差介于中间的3则基本控制

了第二主成分为。必

的贡献率为:

这么高的贡献率首先归因于&的方差比X1与廊的方差大得多，其

次是不相互之间存

在着一定的相关性。%的特征值相对很小，表明耳，题,次之间有这

样一个线性依赖关系:

一0.127X1+0.9928一0.002与

其中广一0.127〃1+0.992〃2一0.002〃3为一常

数。

T00、

8、设三元总体X的协方差阵为2=o30从z出发,求总体主成分

006

并求前两个主成分的累积贡献率。

解：特征方程阿-4=0,得特征根：4=6,4=3,4=1

500,X10