沪科版八年级数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（含答案）

第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷

一,选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.如图，在四边形力80c中，4B=AC,/BAC=124。，点8关于力。的对称点E恰好宓在CD上,

连接AE,A尸为△ACE的中线，则4DB的度数为（）

A.24°B.28°C.30°D.38°

2.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，

则在该车牌的部分号码为（）

PPFF13

A.E9362B.E9365C.E6395D.E6392

3.如图，在△4BC中，AB=AC,〃为BC上的一点，ZBAD=28°,在/。的右侧作△%/）£1,

使得4E=A0,ZDAE=ZBAC.连接CE、DE,OE交,4C于点。，若CE〃4B,则/D。。的度

C.92°D.88°

4.如图，的两条高40,BF交于E,连接EC,ZAEB=105",ZABC=45°.贝U4EC

的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分48和AC,垂足为M,N,且分别交BC于点D,

E.若N7ME=20。，贝的度数为()

A.90°B.100°C.105°D.110°

6.如图，在△ABC中，AB=4fAC=7,E为BC中点，40为△ABC的角平分线，△4BC的面

积记为Si，ZkAOE的面积记为S2,则能为()

S2

7.如图，△ABC是等边三角形，点〃、E、尸在△4BC内部，点〃在AE上，点£在8F上，点尸

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.如图，中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,0是线段48上一个动点,

以BQ为边在△48C外作等边aBOE.若尸是OE的中点，当C尸取最小值时，的周长为

C.18D.20

9.如图，已知“M0N=30°,点4,&，43，%4在射线ON上，点BI，B2,当在射线0M上，△

4181AzA&Bz&Q鱼^人均为等边三角形.若。4=2,则力44的长为（）

A.12B.14C.16D.18

10.如图，△4BC是等边三角形，D,£分别是的延长线和BA的延长线上的点，AE=BD,

延长〃71交C£于点凡G是力〃上一点，且CG=CA,CG交AB于央、H.下列结论：①=60";

②/DCG=2/ACE；®CF-AF=GF；④GH+BD=GD.其中正确的个数是（）

C.2D.1

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.如图，在△48。中，AB=2AC,以顶点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交4c,48于

点、出N,再分别以点MN为圆心，大于^MN的长为半径画弧，两弧交于点只作射线AP交边

于点D,若S-BD=12,则△ABC的面积是

12.如图，已知△ABC,AB和AC的垂直平分线交于点0,连结40、B0、C0,写出4BC和40。

的数量关系.

13.如图，在△ABC中，ZACB=45°,在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角△4BD,连接

CD,若BC=3,则△BCD的面积为.

14.如图，ZB0C=60°,力是B。延长线上的一点，04=10cm,动点尸从点火出发沿AB以

2cm/s的速度移动，动点。从点0出发沿0C以lcm/s的运度移动，如果点尸，0同时出发，用ts

表示移动的时间，那么当£=时，aPOQ是等腰三角形.

15.如图，过边长为2的等边的边48上一点R作PE14C于反0为延长线上一点,

当P4=CQ时，连PQ交4c边于〃，则OE的长为.

16.如图，在△ABC中，AB=ACf。为BC上的一点，ZBAD=250,在40的右侧作△40E,

使得4E=40,ZDAE=ZBAC,连接CE、DE,0E交AC于点。，若CE||4B,则40C的度

数为.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）如图，在△4BC中，NABC=2NC,的平分线交班;于点。，过点B作/。的

垂发交40于点F,交4C于点E.

（1）求证：a/lBE为等腰三角形；

⑵若力C=ll,AB=6,求B0的长.

18.（6分）如图，在△ABC中，4D垂直平分8C,垂足为D,过点〃作DF_L48,垂足为F,FD的

延长线与AC边的延长线交手点左上£=30°.

（1）求证：△ABC是等边三角形;

⑵求证：BF=-AE.

6

19.（8分）如图，在△ABC中，NC=60°，点、D,E分别在边AC,4B上，且DE=CD,BD平

分/ABC,过点。作。尸J.BC于点F,作DGJ.4B于点G.

(1)求证：NGED=NC；

⑵若BC=11,BE=5,求CO的长.

20,（8分）图①、图②、图③均是6x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小

F方形的顶点称为格点，点4R、C,〃均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作

图

图①图②

（1）在图①中，画一格点£,使得4BE=45°；

⑵在图②中的CO上找一点，使得/B〃O=45。.

2L（10分）已知一张三角形纸片ABC（如甲图），其中/B=/C.将纸片沿过点8的直线折

叠，使点。落到4B边上的点E处，折痕为BD（如乙图），再将纸片沿过点£的直线折叠，点力

恰好与点〃重合，折痕为EF（如丙图）.

AA

(1)请直接找出丙图中除△ABC外的所有等腰三角形;

(2：请求出甲图△ABC中各角的度数.

22.（1U分）在△48。中，AH=AC,NBAC=n：作等胺△〃（；〃，ikAC=CD.

图1

（1）如图1,若N34c与NZCD互余,则/BCD=(用含有九的式子表示);

⑵如图2,若NU4c与4CD互补,过点。作CE_L40于点E,求证：BC=2CE；

⑶若△4BC与△4C。的面积相等，则N%CO的度数为多少？

23.（12分）在等边△A8C的两边48、AC所在直线上分别有两点M,N,。为△ABC外一点，且

/MDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M,N分别在直线48,AC上移动时,

BM.NC,MN之间的数量关系.

⑴如图1,当点M、N在边4B、4C上，且OM=ON时，试问BM、NC、MN具有怎样的数量

关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

（2）如图2,点M、N在边AB、4c上，且当OMHON时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成

立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

⑶如图3,当M、N分别在边48、Q4的延长线上时，BM、NC、MN具有怎样的数量关系？请

证明.

24.(12分)等边中，PC=4,4H1RC于点凡点〃为边上一动点，连接40,点/?

关于直线A0的对称点为点反连接AE,0E,CE.

(1：如图1,点？恰好落在的延长线上，则求/BCE=______°；

(2：过点〃作DG||4c交于点G,连接GE交40于点F.

①如图2,试判断线段4F、EF和CE之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,直线GE交AH于点M,连接BM,〃点运动的过程中，当BM+GM取最小值时，请直

接写出线段0G的长度.

参考答案

一.选择题

1.B

•・•点夕关于4。的对称点片恰好落在CD上，

・・・40垂直平分BE,

：.AB=AE,DE=DB,

・•・XEAD=/BAD,ZEDA=/BDA,

\'AB=ACt

：.AC=AE,

又..F尸为AACE的中线,

ZCAF=ZEAF,AF1DE,

：.ZEAF+ZDAE=ZCAF+ZBAD,

：.ZDAF=-ZBAC=62°,

2

•••ZAFE=90°,

，在RtaAFD中，ZADE=900-62°=28°,

?./ADB=ZADE=28°.

故选B.

2.C

解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称,

则该汽车的号码是E6395,

故选：C.

3.C

解：VZDAE=ZBAC,

，ZDAE-ZDAC=ZBAC-NU4C,ZEAC=ZDAB,

'：AB=ACtAE=ADt

A△ABD三△AEC(SAS),

A^ABD=NACE,

'/CE//AB,

：./ABD+NBCE=180°,

/ABD+NBCA+NACE=180",

'：AB=ACr

/.XABD=d

/ABD=ZBCA=/ACE=-x180°=60°,

3

・•・AHBC是等边三角形,

・•・ZBAC=ZDAE=60°,

'：AE=也

・・・A40E是等边三角形，

ZADE=60°,

/BAD=28°,

「・ZOAD=ZBAC-/BAD=60°-28°=32°,

「・ZDOC=NOAD+ZADE=320+60°=92°.

故选：C.

4.D

解：•:△ABC的两条高40,BF交于E,

：.ZADB=ZADC=NBFC=90°,

ZABC=45°,

，ZBAD=90°-45°=45°,

/.ZABC=/BAD,

：,AD=BD,

*/ZEBD+/BCF=NBCF+ZDAC=90°,

:・ZEBD=ZDAC,

••△EBD=△CAD,

；.DE=DC,

/DEC=ZDCE=1x90c=45°,

丁ZAEB=105°,

J/BED=180°-105°=75°,

?.ZFEC=1800-/BED-/DEC=60°.

故选:D.

5.B

解：・.・OM垂直平分AB,EN垂直平分AC,

：,DA=DB,EA=EC（线段卷直平分线上的点到线段两端的距离相等）.

:・-/BAD,ZC-^CAE（等边对等角）.

设/BAD=NB=x,NCAE=ZC=y.

在AA8C中，NBAC+NB+NC=180°（三角形内角和定理），

即ZBAC+x+y=1800①.

,/ZDAE=20°,且ZBAC=ZBAD+ZDAE+ZCAE=%4-200+y,

・•・ZBAC-x-y=200②.

将①中x+y=180。一/BAC代入②，得4AC—(180。-ZBAC)=20",

即2/B4C-180。=20°,

解骞/B/C=100°.

故选：B.

6.B

解：过点。作。DNLAC,

••・40为△ABC的角平分线,

・•・DM=DN,

vAB=4,AC=7,

...S4ABD_

••ADC―^ACDN-7'

•・・E为BC中点,

S—BE=S—EC=QS^ABC、

设S—8D=4x,S-DC=7x,则SMBC=11%,

•C_c_11

"=、2AEC=yX»

.Si_llx_22

•'-T*

故选：B.

7.A

解：VZBAE\ZCBF\ZACD=1:2:3

・••设=则48尸=2x,ZACD=3x

•••△ABC是等边三角形,

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

二/FBC=ZABC-^ABF=60°-2x

NFCB=ZACB-ZACD=60°-3x

^CAD=/CAB-ZBAE=60°-x

，/DEF=ZBAE+ZABE=x+60°-2%=600-%

/DFE=NFBC+/FCB=2%+600-3%=60°-x

NEDF=NACD+ZDAC=3x+600-%=600+2工

，/DEF=NDFEH/EDF

•••△。£尸的形状是等腰三角形，.

故选：A.

8.C

解：如下图，连接8凡过点C作CH_L8凡交B尸的延长线于〃，4B和CH交于点G,

•••△80£*是等边三角形，点尸是0£的中点，

ZABF=30°,

，点F在射线8F上运动，

当点产与点”重合时，CF取最小值，此时点0、G重合,

ZACB=90°,/ABC=30°,

・•・4=90°-NABC=60",AB=2AC=12,

•••/ABF=30°,

J/BGH=ZAGC=900-ZABF=60°,

・・・A/CG是等边三角形，

：.AG=AC=6,

：,BG=AB-AG=12-6=6,

「.△BOE的周长为3x6=18.

故选：C.

9.B

解：•••△4道通2是等边三角形

0当，

^B1A1A2=^A1B1A2=60,A1B1=AXA2=4

:/MON=30°,

?.Z0BM1=•/遇2-/MON=30°

/MON=NOBi/i=30°,

-04=ArA2—2,

.\A2O=ArO+ArA2=2x2=4

23

同理可得：AO3=A3B3=2x2=8,A04=A4B4=2x2=16,

.\A1A4=A04—OAX=16—2=14.

故选B

10.B

解：①•••△ABC是等边三角形，

・•・/BAC=NABC=60°,AB=AC.

・•・ZABD=ZCAE=120°.

在A48。和^CAE中，

AB=AC

/ABD=ZCAE,

BD=AE

.-.^ABD=△CAE(SAS)

・•・/BAD=/ACE,ND=NE.

・・・/ACE+4=ZBAC=60°,

/BAD+4=60°.

•・•ZBAD=ZEAF,

・•・ZEAF+4=60°.

•・•/DFC=ZEAF+4

・•.ZDFC=60°；故①正确.

②•••CG=CA,

••・ZCAD=NCG4,gPZBAC+ZBAD=NDCG+/D.

•••ZBAC=NK+NACE,

•・・ZE+2/ACE=NDCG+/D.

•・•/D=/E,

---NDCG=2^ACE；故②正确.

③如图，作NBCG的平分线交40于点儿则NDCKNGCK+DCG,

vZDCG=2/ACE,

・•・/DCK=NGCK=ZACE.

ZDCK+ZACK=ZACE+ZACK,即NACB=NECK=60°.

•••/DFC=60°,

ZECK=/DFC=60°.

••.△CFK是等边三角形.

CF=FK=CK.

在AACF和aGCK中，

CF=CK

ZACF=ZGCK

CA=CG

•••△ACFdGCK(SAS).

AF=GK.

FK-AF=FK-GK.

CF-AF=GF：故③F确.

④•••△48。CAE,

:•BD=4E,ND=/E、ZBAD=NACE.

・•・ZD+/BAD=/E+ZACE=60°

由③得/GCK=NACE,ZECK=60°,

・•・ZGCK+ZHCE=60°.

/HCE=ZE.

EH=CH.

AH+AE=CG-GH.

AH4-BD=AB-GH.

:•GH+BD=AB-AH=BH.

・•・GH+BD=BH,故④错误.

故正确的有①②③，3个，

故选：B.

二.填空题

11.18

解：过点〃作OE于点反作0E_L4C,交4c的延长线于点F.

由作图过程可知，4P为NBA。的平分线,

・•・DE=DF.

'''S&ABD=12,

.\-xABxDE=-x2ACxDE=ACxDF=12,

22

•e•S^ACD=1xxDF=1x12=6,

的面积是十S—CD=18.

故答案为：18.

12.248C+ZADC=360°

解：:。在48的垂直平分线上，。在力C的垂直平分线上

DA=08,DA=DC,

：.ZDAB=ZDBA,ZDBC=/DCB,

'：ZDAB+ZDBA+ZADB=180°,/DBC+NDCB+NBDC=180°,

ZDAB+ZDBA+NADB+/DBC+NDCB+/BDC=180°+180°=360°,

，2ZABC+ZADC=360°

故答案为：2N4BC+N/OC=360°.

13.-

4

解：如图，过力作AHJL8C于〃，过〃作DEJLBC于其过点力作4F1DE于R

则四边形4HEF是长方形，

：.AF=EH,EF=AH,

\*AH1BC,/ACB=45°,

ZHAC=45°=NACB,

：,AH=CH,

,：DE1BC,AF1DE,

，％=/=90°,

••・以4B为斜边作等腰直角△4BD,

AZADB=90°,AD=BD,

：./BDE=ZDAF=90'-^ADE,

：.ABDE三△OAF(AAS),

：・BE=DF,DE=AF.

设BE=Q,DE=b,则EH=AF=b,EF=AH=CH=a+

：・BH=BC-CH=3-(a+b)f

：,EH=BE+BH=3-b

.\3-b=b1

解得b二|,

，〃88=]BJDE=[X3X|=3，

故答案为：p

14./或10

解:由题意，动点〃速度为2cm/s,Q速度为lcm/s,运动时间为ts,则。Q=£cm.

•・•力在8。延长线上，OA=10cm,

・••当P在力至。之间(t45)时，PO=10-2tcm;

当尸在。到“之间(t>5)时，PO=2t—10cm.

又/BOC=60°,力在8。延长线上，故/POQ=180°—60°=120°.

要使APOQ为等腰三角形，分以下二种情况：

①若tW5,PQ不可能与其它边相等，因“POQ=120°是钝角，是三角形内的最大角，根据“大

角对大边“可知PQ最长.

/.t<5,PO=0Q,

・・10-2t=t,

解得t=j;

②若5,因NPOQ=NBOC=60°,使△POQ为等腰三角形时，△POQ必构成等边三角形,

/.2t—10=t,

解得t=10.

综上，才的值为5或10.

故答案为：学或10.

15.1

解：如图，过P作PFII8C交/C于F,

Bc是等边三角形,

ZBAC=/ABC=NACB=60",

PF〃BC,

・・・ZAPF=ZABC=60°,ZAFP=ZACB=60°,/PFD=NQCD,

又“P4尸=ZBAC=60°,

•・.△4PF是等边三角形，

・•・AP=PF=AFt

•・•PELAC,

AE=EF,

-AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ,

在APFO和△QCO中，

/PDF=NQDC

/PFD=NQCD，

PF=CQ

.*.△PFDQCO(AAS),

FD=CDf

AE=EF,

EF+FD=AE+CDt

AE+CD=DE=^ACf

vAC=2,

DE=-AC=-x2=

22

故答案为：1.

16.95°

解：vZDAE=/BAC,

・•・ZDAC+ZCAE=ZBAD+ZDAC,

ZCAE=/BAD,

在AACE和△AB力中,

AB=AC

ZCAE=ZBAD,

AE=AD

A4CE三△ABO(SAS),

・•・ZACE=/B,

vCE||ABt

/ACE=/BAC,

・•・/B=/BAC,

••・BC=AC,

:•AB=AC=BC,

・•.△ABC是等边三角形，

・・・ZDAE=ZBAC=60°,

-AE=AD,

・•・A/WE是等边三角形，

・•・ZADE=60°,

•・•/BAD=25°,

・•・ZDAC=ZBAC-ZBAD=35°,

/DOC=ZDAC+ZADE=95°.

故答案为：95°.

三.解答题

17.(1)证明：•••BELADt

・•・ZAFE=ZAFB=90°,

又.‘•40平分/B4C,

ZEAF=ZBAF.

又•••在尸和△/BF中

ZAFE+ZEAF+ZAEF=180",ZAFB+ZBAF+ZABF=180°

・•・ZAEFZABF,

AE—AB,

••・△48E为等腰三角形;

（2）如图,连接OE,

NOT■分上7MC,

40垂直平分BE,

:•BD=ED,

・•・ZDEF=/DBF,

vZAEF=ZABF.

・•・ZAED=/ABD,

又ZABC=2/C,

・•・ZAED=24

又•••△CEO中，NAED=NC+/EDC,

ZC=/EDC,

•••EC=ED,

•••CE=BD.

BD=CE=AC-AE=AC-AB=11-6=5.

18.(1)证明：・・・4。垂直平分8C,

:.AB=ACy

vEFLAB,4=30°,

ZBAC=90°-NE=60°,

・•.△4BC为等边三角形；

(2)解：AE=65F,理由如下：

••FO垂直平分BC,

：.BD=CD=-BC

2t

「A48c是等边三角形，

4=60°,

又NBFD=90°,

?./BDF=30°,ZEDC=30°,

入,：/E=30°,

ACE=CD,

，在直角△中，

BDFBF=-2BD=-2CD=-2CE=-4BC,

：,AE=AC+CE=BC十CE=4BF+2BF=6BF,

：.BF=-AE.

6

19.(1)证明：,：DF1BCtDG1ABtBD平分/ABC,

：.DG=DF,ZDFC=ZDGB=90°

VED=CD,

：.RtAEDGwRtACO"(HL),

"GED=NC.

(2)解：如图，在BC边上取一点H,使得BH=BE=5.

•「BD平分Z48C,

:・ZEBD=/DBH.

又二BD=BD,

"BEDdBHO(SAS).

AED=HD.

VED=CD,

CD=HD.

又..•Nt=60°,

・・・ACHD是等边三角形.

CD=HC=BC-BH=BC-BE=6.

20.(1)解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示,

贝I」ZABE=45°,

则点月即为所求.

（2）解：根据题意，得4B_LCD,

取格点凡连接交CO于点〃，

根据作图，得ABJL=4F,

得到4FB=45°,AF||CD,

故/BHD=^AFB=4S°

B

故点〃即为所求.

21.(1)解：丙图中除△ABC外的所有等腰三角形：△BCD,ABDE,△EAD,ADAB；

(2)解：'：AB=AC9

AZABC=NC,

由折叠，得NSEO=/C,ZEDF=^4,

/BED=NEDF+4=24,

:・/ABC=/C=24,

VZABC+NT+/4=180°,

：,2ZA+24+4=180',

・•・4=36°,

，/ABC=NC=2/4=72°.

故甲图△ABC中各角的度数分别为-4=36°,/B=4=72°.

22.(1)解：在△ABC中，AB=ACfZBAC=n

••・/ACB=Z/1BC=1(1800-ZBAC)=90。-1n

・•・/BAC与/ACD互余,

・•.ZACD=900-ZBAC=90°-n°,

・•・/BCD=NACB-ZACD=90°-(90°-n°)=°

故答窠为：；

(2)证明：过点A作AFJ.BC于点F,如图2所示：

在A4BC中，AB=AC,ZBAC=n0,

・・

•^CAF=ZBAF=2-ZBAC=2-n°,BF=CF=2-BC,

・•・BC=2CF,

在Rt△力CF中，ZACF=90ZCAF=9001n°,

2

在△ACO中，AC=CDfCEJ./O于点E,

/ACE=ZDCE=-2ZACD,

•・•/BAC与4C。互补，

・•・ZBAC+ZACD=180°

-2ABAC+2-ZACD=90°,

2ZACD=90°--2ABAC=90°--2n°,

即/4CE=90°--2n°,

・•・ZACF=ZACE=90°--*n)°,

,；AF工BC于点、F,CE14。于点E,

ZAFC=ZAEC=90°,

在△AFC和△AEC中，

(ZAFC=ZAEC=90°

JZACF=ZACE，

VAC=AC

:AAFC三△4EC(AAS),

CF=CE,

又•••BC=2CF,

••・BC=2CE；

(3)若△ABC与△ACO的面积相等，则的度数为九°或180°-n°,理由如下:

依题意有以下两种情况：

①当△A8C与△ACD都是锐角三角形时，

过点B作BMJ.4C于点M,过点。作DN14c于点N,如图3①所示：

图3①

•••/AMB=ZCND=90°,

,t*S&ABC=3"C,BM,S^ACD=-AC,DN,

•••△48。与44。。的面积相等,

-AC-BM=Uc•DN,

22

：・BM=DN,

vAB=ACfAC=CD,

AB=CD,

在RtaABM和Rt△CDN中，

(AB=CD

[BM=DN'

/.Rt△ABM三Rt△CON(HL),

•・•/BAM=/DCN,

即/4CD=ZBAC=n°；

②当是锐角三角形，△/CO是钝角三角形时，

过点B作，8JL4C于点H,过点。作DKJ.4C,交AC的延长线于点K,如图3②所示:

图3②

・•・ZAHB=NK=90：

•-S*BC=2.BH,S*CD=•OK,

•••△ABC与△4C。的面积相等，

1AC•BH=1AC,DK,

22

BH=DK,

,•,AB=AC,AC=CD,

'.AB=CD,

在Rt△48H和RtaCDK中，

(AB=CD

tBH=DK'

：,Rt△ABH三RtACOK(HL),

・•・/BAH=/DCK,

即/DCK=ABAC=n°

•・•ZDCK+ZACD=180°,

ZACD=180p-ZDCK=180°-n°,

综上所述：若△ABC与△ACO的面积相等，则2。。的度数为九°或180°-n

23.(1)解：BM、NC、MN之间的数量关系8M+NC=MN.理由如下：

;DM=DN,/MDN=60°,

「.△MDN是等边三角形，

:・MN=DM=DN,

•・・A4BC是等边三角形，

，4=60°,

•：BD=CD,/BDC=120°,

・•・ZDBC=/DCB=30°,

?./MBD=/NCD=90°,

在Rt△BOM和Rt△CDN中，

(DM=DN

iDB=DC'

，Rt△BOMgRt△CON(HL),

，“BDM-/CDN-30°,BM-CN,

ADM=2BM,DN=2CN,

:.MN=2BM=2CN=+CN.

(2)猜想：结论仍然成立.

证明：在NC的延长线上截取CM】=BM,连接DM〉

1

•；/MBD=NMiCD=90°,BD=CD,

・・.xDBM名△OCMi(SAS),

・・・DM=DMi，/BDM=NCDMi，MXC=BMy

•••/MDN=