正比例函数、一次函数图象与性质-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第十二讲正比例函数、一次函数图象与性质

【学习目标】

1.理解-次函数和正比例函数的概念；

2能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

3.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基

础上，掌握一次函数图象及其简单性质；

4.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题

【基础知识】

1.一般地，如果），=kr+/7（k,b是常数，kHO）,那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y=Zx+b中的b为。时，（k为常数，kwO）。这时，y叫做x的正比例函数。

2.一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3.一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数），=履+〃的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数y=Ax的图像是经过原点（0,0）的直

线。

4.正比例函数的性质

一般地，正比例函数y=有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时,图像经过第二、四象限.y随x的增大而减小.

5.一次函数的性质

一般地，一次函数y=有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当kvO时，y随x的增大而减小

在卜=丘+仇4。0）中，当攵>0时，，，随x的增大而增大，此时若人>0,则直线），=云+力经过第一、二、

三象限；若8=0,则直线丁=履+6经过原点及第一、三象限：若〃<0,则直线>=履+人经过第一、三、

四象限；当％<0时，），随x的增大而减小，此时若〃>（）,则直线了=辰+）经过第一、二、四象限；若8=0

时，则直线），=&+力经过原点及第二、四象限；若b<0,则直线y="+〃经过第二、三、四象限.

【考点剖析】

考点一：确定一次函数的解析式

例I.（1）若》=工+2—3人是正比例函数，则力的值是（)

.八2八23

A.0B.---C.一D.

332

【答案】C

【详解】

・・・y=x+2-3b是正比例函数,

2

・・・2—3/?=0,解得：b=一,

3

故选：C.

(2)已知y与x—i成正比例，且当x=3时，y=4.

(I)求出y与X之间的函数解析式；

(2)当x=i时，求y的值.

【答案】(1)k2x2(2)0

【详解】

解：(1)设y=k(x-1),

把x=3,y=4代入得(3-1)k=4,解得七2,

所以)，=2(A-1),

即尸2x-2：

(2)当尸1时，

>=2x1-2=0.

考点二：函数图象上的点

例2.(1)已知点。(〃?,〃)是一次函数y=-2x+l图像上任意一点，则2〃?+〃的值等于()

A.1R.-1C.-----D.—

22

【答案】A

【详解】

•・•点PQn,n)是一次函数y=-2x+1图象上任意一点，

^,-2m+\=n,

:.2m+n-\.

故选A.

(2)已知点4的坐标为(a,y)和点8的坐标为(a+1,%)都在i次函数y=4x—2图象上，则%-y的值

为.

【答案】4

【详解】

解：当x=a时，yi=4t/-2；

当下。+1时，y2=4(a+l)-2=4a+2.

.'.yi-y\=4a+2-(4a-2)=4.

故答案为：4.

考点三：一次函数与坐标轴的交点

例3.(1)如果直线y=〃H+l和丁=心工一4的交点在x轴上，那么勺：勺等于()

A.4B.-4C.1：4D.(-1)：4

【答案】D

【详解】

解；令y=。，则&1X+i=o,

解得工=一；，

-4=0,

4

解得4=1，

k2

，两直线交点在入轴上，

1_4

FF

&：%2=1：D.

故选：D.

(2)平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y=|x+5与x轴、)，轴分别交于点A,B,则「.AO3

的面积为()

A.—5B.4C.5D.10

【答案】C

【详解】

把户0代入y='11+5得产5,

把尸0代入)，=,戈+5得|x+5=0,解得尸-2,

・•・直线y=[x+5与x轴的交点八的坐标为(-2,0),与y轴的交点4的坐标为(0,5),

：.OA=2,OB=5,

的面积为,仓必5=5.

2

故选C.

考点四：一次函数的图象性质

例九(1)已知正比例函数产/山的图象过第一、=象限,则5的取值范围是()

A.m<0B."EOC.m>0D.m>0

【答案】D

【详解】

解：•・•正比例函数严〃优的图象过第一、三象限，

故选D.

（2）在平面直角坐标系中，正比例函数伏〈0）的图象的大体位置是（）

【答案】B

【详解】

根据正比例函数图象的性质，知：

当上<0时，图象是经过二、四象限的一条直线.

故选:B.

（3）如果函数y=2x十根的图像经过第二象限，那么小的取值范围是（）

A./n>0B.m>0C.m<0D.m<0

【答案】A

【详角牟】

解：根据题意得：m>0,

故选：A.

（4）已知一次函数>，=奴+々+2的图象与y轴的正半轴相交，且丁随x的增大而减小，则a的值可以是（）

11

A.-B.-1C.-2D.—

42

【答案】B

【详解】

解：•・•一次函数尸以+。+2,），随x的增大而减小，

又•:一次函数y=ar+a+2的图象与y轴的正半轴相交，

Z.d+2>（）,

：.-2<a<0,

则”的值可以是-1.

故选择：B.

（5）已知点（-3,yi）、（1,3）、（2,户）在一次函数y=E+5的图象上，则产、”、3的大小关系是

（）

A.3V”VyiB.yi<3<>'2C.j2<.yi<3D.

【答案】D

【详解】

解：•・•（1,3）在一次函数）=履+5的图象上，

/.3=H5,

解得：2=-2,

・•・函数解析式为y=・2x+5,

•・•点（-3,yi）、（2,”）在一次函数），=-2计5的图象上，

.*.>1=6+5=11,

”=-4+5=1,

V1<3<11,

故选：D.

（6）已知一次函数），=3工-4的图象向上平移〃个单位后经过第二象限，请你写出一个符合条件的〃的值

为.

【答案】5（答案不唯一,6>4即可）

再根据平移后的一次函数图象经过第二象限，即可列出关于人的不等式，解出8的解集即可.

【详解】

一次函数y=3x-4的图象向上平移〃个单位后得到的新函数解析式为：），=3x-4+〃.

•・•平移后的图象经过第二象限，

・・・T+/;>0,

故答案为：5（答案不唯一，b>4即可）.

考点五：与一次函数有关的规律探究

例5.在平面直角坐标系中，直线/：y=x-i与X轴交于点A，如图所示依次作正方形AUG。、正方形

2c2G.正方形ASCCi，使得点A、4、A…在直线/上，点c、c?、G…在）’轴正半

轴上，则△4016A201782016的面积是

【详解】

解：观察，发现：Ai(1,0),Ai(2,1),As(4,3),A4(8,7),As(16,15),As(32,31),…,

AA„(2n->,2nL1)(n为正整数).

观察图形可知：点Bn是线段CnA用的中点，

・••点Bn的坐标是(2叫2M),An(2叫2n-'-l)(n为正整数)，

，ZXAnAn+lBn的面积是一(21**1)2=22n-3,

2

・•・AA20I6A2017B2016的面积=230⑹3=24029,

故答案为：24029.

【真题演练】

1.在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A(5,b),B(a,4)两点，则小》一定满足的

关系式为()

a3

A.a-b=1B.。+匕=9C.a*b=2()D.—=—

b4

【答案】C

【详解】

设该正比例函数是y=U(后0),则〃=5亿4=ak.

4a

・•・就=20.

故选：C.

2.已知关于x的一次函数为>4m+3,那么这个函数的图象一定经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【详解】

解：当工="4时，y=Y〃z+4〃i+3=3,

即此一次函数的图象经过定点（-4,3）,

因为点（-4,3）位于第二象限，

所以这个函数的图象一定经过第二象限，

故选:B.

3.已知一次函数）=丘+伏&。0）的图象经过第一、二、四象限，那么以下选项正确的是（）

A.kb>0B.kb<0C.kb>0u.kb<0

【答案】B

【详解】

解：•・•一次函数），二履+优々工0）的图象经过第一、二、四象限，

：.k<0,b>0,

:・kb<0,

故选B.

4.如图，一次函数），=&+〃和正比例函数>二姑二在同一坐标系内的图象可能是（）

【详解】

解：A、•・•一次函数的图象经过一、三、四象限，

•••女>0,bVO；

：・kb〈O,

•••正比例函数产心x应该经过第二、四象限.故本选项不符合;

B、・・•一次函数的图象经过一、二、四象限，

：.k<0,h>0.

・••妨VO,

・•・正比例函数y-X〃应该经过第二、四象限.故本选项符合；

C、•・•一次函数的图象经过二、三、四象限，

：.k<0,b<0.

:,kb>0,

，正比例函数产Mx应该经过第一、三象限.故本选项不符合;

D、•・♦一次函数的图象经过一、二、三象限，

・・・〃>0,/?>0.

:・kb>0,

・•・正比例函数产心上•应该经过第一、三象限.故本选项不符合；

故选：B.

5.在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐

标为（）

A.（0,2）B.（0,-2）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】C

【详解】

•.•将函数），=2工-1的图象向左平移1个单位长度的解析式为y=2（x+l）-l=2x+l,

.•.当工=0时，>=1,

••・平移后与>轴的交点坐标为（0,1）,

故选：C.

6.已知点A（—l,））6（2,必）在函数'=一"+1的图像上，则（）

A.x<》2B.y,>C.y,=y2D.凹与为的大小关系不能确定

【答案】B

【详解】

解：Vk=-9<0,

，y随x的增大而减小，

V-1<2,

.*.yi>y2，

故选：B.

7.把一次函数y=2x-3先关于元轴对称，再向左移2个单位，所得直线表达式（）

A.y=-2x-lB.y=2x-lC.y=2x-\0D.>,=-2x+7

【答案】A

【详解】

解：直线y=2工一3关于x轴对称的直线所对应的函数表达式为-y=21一3,

即y=-2x+3,

将直线丁=-2工+3向左平移2个单位，函数表达式变形为丁=-2。+2）+3=-2X-1.

故选：A.

8.正方形生GA.A々c3A.按如图所示的方式放置，点A，A2,4,..和点综凡,打,..分

别在直线），=工+1上和X轴上，则点G.9的纵坐标是（）

【答案】B

【详解】

解：当x=0时,y=x+l=l,

・••点Ai的坐标为（0,1）.

•・•四边形A1B1GA2为正方形，

・••点Ci的纵坐标为1,

当X=1时，y=x+l=2,

・••点A2的坐标为（1,2）.

•・・A2B2c2A3为正方形，

••・点C2的纵坐标为2.

同理，可知：点A3的坐标为（3,4）,

点C3的纵坐标为4,

・••点Cn的纵坐标为2f

・••点C1999的纵坐标为2^8.

故选:B.

9.已知），=4fi,若），是大的正比例函数，则4的值是.

【答案】4

【详解】

由正比例函数的定义得：。工0且。一3二1，

解得：a=4,

故答案为:4.

10.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表:

数量（千克）0.511.522.533.5•••

售价（元）1.534.567.5910.5・..

如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价用丁（元）表示，则），与x的关系式为

【答案】y=3x

【详解】

解：根据表格可知香蕉的单价为3元/千克，则y=3x.

故答案为：）=3工

11.已知点（一3,2）在直线），=办一人"，人为常数，且“00）上，则*的值为______.

I2

【答案】一:.

3

【详解】

解：•・•点（-3,2）在直线y=or-/?（小。为常数，且存0）上，

：.2=-3a-b,

:.力=-3a-2,

.a_a_1

…~b+2~—3C7—2+2--3，

故答案为：

3

12.已知一次函数y=2x+4的图象经过点力（m,8）,那么〃?的值等于.

【答案】2

【详解】

解：把产8代入一次函数产2计4,得

8=4+4

・・・A=2,

所以m=2f

故答案为：2

13.已知点A（2a+5,a-3）在直线y=x上，则。=.

【答案】-8

【详解】

解：・・•点人（2。+5,。-3）在一次函数〉=%直线上，

**.〃-3=2a+5♦

解得。=一8,

故答案为：-8.

14.点2卜心）在函数），=3x+2的图像上，则代数式助一6。+4的值等于

【答案】8

【详解】

解：将点尸（ap）代入y=3x+2中,得

/?=3。+2

:.b-3a=2

2/?-6。+4

=2。一%）+4

=2x2+4

=8

故答案为：8.

15.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一-次函数.

（1）在时速为80千米的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（时）之间的关系；

（2）汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，那么汽车离开A站的路

程y（千米）与时间x（时）之间的关系；

（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客

需交的行李费y（元）与携带行李质量x（千克）（x>20）之间的关系.

【答案】（I）y=80x,是一次函数；（2）y=40x+4,是一次函数；（3）y=1.5（x-20）,是一次函数

【详解】

解：（1）由题可得，y=80x,是一次函数；

（2）由题可得，y=40x+4,是一次函数；

（3）由题可得，y=1.5（x-20）,是一次函数.

16.在平面直角坐标系中，点夕。〃+4,〃?）是一次函数y=-2x+2图象上一点.

（1）求"？的值.

（2）当TKx<2时，求），的取值范围.

【答案】（I）m二-2,（2）-2<j<4

【详解】

解：（1）把工=加+4,）'=加，代入），二-2工+2,得：机二-2（机+4）+2

m--2

（2）当天=-1时，，y=4

当上=2时，y=-2

•••上<0,y随x的增大而减小

-2<y<4

【过关检测】

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A.y=6x—1B.y=—C.y=x2D.y=——x

X2

【答案】D

【详解】

解：A、y=6.T-l是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

B、是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

x

C、y二V是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

D、），二一；不是正比例函数，故此选项符合题意：

故选：D.

2.下面各点中，在函数y=-；x+3图象上的点是（）

A.（3,0）B.（-2,2）C.（2,-2）D.（4,1）

【答案】D

【详解】

1331

解：A、当x=3时，y=---x+3=---+3=—#）,则（3,0）不在函数了=----x+3图象上，所以A选项

2222

不符合题意；

B、当_r=-2时，y=-g.r+3=1+3=4#2,则（-2,2）不在函数y=-g.r+3图象上，所以4选项不符

合翘意；

C、当x=2时，y=-gx+3=-1+3=2,-2,则（2,-2）不在函数y=-yx+3图象上，所以C选项不

符合；

D、当工=4时，y=-y.v+3=-2+3=1,则（4,1）在函数产--1-x+3图象上，所以。选项符合题意.

故选：D.

3.如表中是正比例函数），=心的刍变量x与函数y的对应值，则〃的值为（）

X-21

y4P

A.2B.-2C.ID.4

【答案】B

【详解】

解：由表格可得：当--2时，尸4,代入正比例函数解析式可得：4=—2k,

解得：k=2

:.正比例函数解析式为y=-2x,

把户1代入得：丁=-2,即〃=-2.

故选B.

4.已知点P（2,机）在一次函数>=如一3帆+2的图像上，则加的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【详解】

把点P（2,小）的坐标代入一次函数y=如一3m+2中，

得2〃L3〃Z+2=〃？

—2〃z+2=0

/.-2m=-2

ni=1

故选：C.

5.已知点A（—2,芦）,8（6,丁2）在一次函数>'=（/+1卜一〃（。，〃为常数）的图象上，则力与为的大

小关系为（）

A.%>力B.y=%C.凹<为D.无法判断

【答案】C

【详解】

解：因为；〃2+]>0,'随X的增大而减大，

又-2V6,

所以，yv%

故选:c.

6.已知一次函数），=公+〃,。〃>0,且），随x的增大而增大，则此图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】

解：在一次函数丁=办+人中，ab>0,

•・）随x的增大而增大，

，。>0,

・••一次函数>=依+人经过第一、二、三象限，不经过第四象限,

故选D.

7.一次函数y=3x+6的图象经过()

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限

【答案】A

【详解】

解：*.*一次函数尸3工+6中.1=3>0,Z>=6>(),

・••此函数的图象经过一、二、三象限，

故选：A.

8.在同一坐标系中，若直线y=-x+b与直线y二日一4的交点在第一象限，则下列关于A、8的判断正

确的是()

A.k<0,b<()B.k<。，b>()

C.k〉0,b<()D.k>0,b>0

【答案】D

【详解】

直线y=-x+Z?与直线)，=k.x-4的交点在第一象限，

即直线y=r+直线y=4的图象都经过第一象限，

/./>>0,A:>0

故选:D.

9.在平面直角坐标系中，将直线)，="-6沿x轴向右平移3个单位后恰好经过原点，则左的值为()

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】A

【详解】

解：将直线尸履-6沿x轴向右平移3个单位后得到y=A(x-3)-6,

•・•直线经过原点，

：.G=k(0-3)-6,

解得：k=・2,

故选：A.

10.已知一次函数>>，=依+力的图象如图所示，则)，=-2丘-〃的图象可能是()

【答案】c

【详解】

解：•・•一次函数），=履+〃的图象经过二、三、四象限，

KO,b＜0,

・•・函数y=・2U・b的图象经过第一、二、三象限，

•・•因为因＜|-2川，

所以一次函数）=匕+〃的图象比＞=-2h-〃的图象的倾斜度小，

综上所述，符合条件的图象是C选项.

故选：C.

11.直线y=4x+l与x轴交点坐标为.

【答案】卜川

【详解】

解：当y=0时，4x+l=0,解得：x=--

4

:.目线y=4x+1与矛轴交点坐标为（一;,0）

故答案为：（一

12.有一种动画设计，屏幕上的4ABe是黑色区域（含三角形的边界）.其中A（-1,1）,仇2,1）,C（l,3）.用

信号枪沿直线），=丘-2发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的攵

的取值范围是_________.

3

【答案】K-3或挺二

2

【详解】

解：VA(-1,1),8(2,1),C(1,3).

:.当直线y=kx-2经过点A时,4-2=1,解得k=-3；

3

当直线产6-2经过点8时，2k-2=l,解得七；，

AA<-3或后之，

2

故答案为：仁-3或化之.

2

13.正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S=f.如果正方形的边长的变化范围很小，例如k从

1变至IJL08,我们来观察面积S的变化情况：

X11.021.041.061.08

S11.0401.0821.1241.166

(1)分别计算x从1变到1.02,从1.02变到1.04,从1.04变到1.06,从1.06变到1.08时,面积S增大了

多少；

(2)根据第(1)题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面枳S可不可以看成边长x的一次

函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？

【答案】3)面积S依次增大了0.040,0.042,0.042,0.042；(2)不可以，猜测：面积与边长不成一次

函数关系

【详解】

解：⑴1.040-1=0.040,

1.082-1.()40=0.042,

1.124-1.082=0.042,

1.166-1.124=0.042,

即上从I变到1.02,从1.02变到1.04,从1.04变到1.06,从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040,

0.042,0.042,0.042；

(2)因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的

一次函数，

猜测：面积与边长不成一次函数关系.

14.已知一次函数y=(4+2m)x+m-4,求：

(1)m为何值时，y随x的增大而减少？

(2)m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？

（3）若m=l时，求此函数图象与两坐标轴的交点坐标？

【答案】（l）m