2026高考数学二轮复习专练：随机变量及其分布

专题突破练15随机变量及其分布

必备知识夯实练

1.（2025福建福州三模）已知随机变量上3（〃$,若凤㈤=2,则P（X=2）=（）

之

AA14B%

C.1D.|

28

2.（2025河北唐山一模）随机变量X〜N（%W）Q>0.若尸（><4+G=p,则尸）

A.l-pB.2-2/7

C.p-|D.2p-1

3.（多选题）（2025广东清远模拟）离散型随机变量X的分布列如下：

X12J4

pm0.3n0.2

若石（川=2.7,则下列结论正确的是（）

A.〃?+〃=0.5B.E（3A^1）=7.1

C.DC¥）=0.81D.P（X>2）=0.5

4.（多选题）（2025湖南长沙模拟）盒中有.3个球，其中1个红球,2个黄球.从盒中随机不放

回地取球,每次取1个，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为空分别

为随机变量。的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A.P（0=0）3B.E©=1

C.E（3c+l）=3D.D（3]1）=6

5.（多选题）（2025江苏苏州模拟）随机变量X的分布列如下表，随机变量丫〜以3,|）.设

z=xy,p（z=0）=g,且x与y相互独立，则下列说法正确的是（）

O1

Xa1

Pp1-P

A5D1

A.p=X-/B.p=-o

C.a=0D.E(Z)=j2

1

6.（2025河南郑州一模）统L学中通常认为服从正态分布M/，，）的随机变量X只取a-

30什3。）中的值.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位:mm）六Ml。4）,某天检测员随机抽

取了一个包装盒，测得其厚度不小于16mm,他立即判断生产出现了异常，由此可知。的最

大值为__________.

7.（2025安徽黄山模拟）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律

时发现的，其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望演㈤和方差。（㈤均存在，则对任

意正实数£，有尸（|X-E（㈤.根据该不等式可以对事件|不£（㈤|<£的概率作出估计.

现抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在〃次抛掷中屋记成功次数为

X,为了至少有98%的把握使试脸成功的频率在区间d小内，估计抛掷的次数〃的最小值

为.

8.（2025山东潍坊模拟）一个点从数轴的原点开始运动、通过投掷骰子决定运动方向:若出

现1,4时,向负方向移动1个单位长度;若出现2,3,5,6时,向止方向移动2个单位长度.投

掷1次骰子，该点位置的均值为__________.投掷6次骰子后，概率大于整的点的位置存

243

在的最小区间为.

关键能力提升练

9.（多选题）（2025广东深圳二模）随机变量X）分别服从正态分布和二项分布，且

六曲（3,1）,卜3（6$,则（）

\.E（X）=E（Y）

B.D（X）=D（r）

C.P（XW1）=P（X25）

D.Pg3）>P（X24）

10.（2025广东惠州模拟）有2〃个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握

手,若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如〃=2时,一共有4个人.以1.2,34表示.握手两

人用一•条线连接，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有丫对相邻的两人握手，当

〃=4时,丫的数学期望£（y）=___________.

2

11.(15分)(2025上海普陀二模)某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资

源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统,形成了“A通识过关一B综合拓展—C创新提

升“三层动态原库，且A,B,C三层题量之比为7：3：2,设该题库中任意1道题被选到的

可能性都相同.

(1)现有4人参加一项比赛、若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人

中至少有2人的选题来自B层的概率；

核心素养创新练

12.(17分)(2025湖北新八校联考)我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为

微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限

的情况微分恒等式法的一个应用案例如下：

关于X的恒等式满足x+(l-x)x+(l・x)2x+…+(1・X产x+…=1,

对等式两边求导可得l-x+(l-X)-2(1-X)x+(1-x)2+•••-(k-1)(1-x)*-,x+(1-x/-1+…=0.

移项得1+(1-x)+(1-x)2+,*•+(1-x/*1+,,,=x+2(1-x)x+,,,-^(k-1)(1-x)k',x+,,

某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计人(〃£

N)次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈.若每人每次套中的概率为MO<P<1),且每

次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量

X.

⑴若％=1,〃三,求x=3的概率；

⑵求X=OW=1X=〃(〃WN)的概率，并写出随机变量X的分布列；

(3)用微分恒等式法求随机变量X的数学期望E(㈤,并据此估计当k=3,p=Q75时每位参

与该项活动的师生的积分.

3

答案：

1.B解析因为长例破，

所以E(X)=〃xg=2,

解得〃=4,

所以。(¥=2)=鬣(34T.

故选B.

2.D解析因为X〜且P(X<〃+o)=p,所以尸(X2〃+o)=l-p,根据正态分布曲线

的对称性，可得尸(*〈〃-。)=「(入2〃+(7)=1-〃,所以P0I-O<X<N+O)=1-P(XWN-(J)-

P(¥2〃+。)=1・2(1・“)=2〃-1.故选D.

3.ABC解析由题设根+〃+0.5=1,则〃7+〃=0.5,故A正确;由E(X)=〃z+0.6+3〃+0.8=27则

加+3〃=1.3,联立〃7+〃=0.5,所以加=0.1,〃=0.4,则P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6,故

D错误回3X-1)=3E(X)-1=8.1-1=7.I,故B正确;。(3=(1-2.7卢().1+(2-2.7内0.3+(3-

2.7)2x0.4+(4-27)2x0.2=0.81,故C正确.故选ABC.

4.ABD解析片0表示停上取球时没有取到黄球,所以尸(片0)W，故A正确；

又随机变量。的所有可能取值为0,12则批=1)=卜］/

产(六2用xl=:，故4的分布列为

4A

012

111

p

333

所以£(e)=0xi+lxi+2x口，故B正确；

oOO

由E(34+l)=3E©+l=3xl+l=4,故C错误;

。©=卜(0-1)2+卜(1・1)2+卜(2・1)2=|,。(3。+1)=9乂。©=6,故》正确.故选ABD.

5BC解析由八例3息故尸(y=o)=cg6)。锣

p(r=1)=Cl.|.(l)2=^

p(y=2)=cl-(|)2-i=i

4

p(y=3)=*|T

当。力0时,Z=AT=O,即尸(X=Q,y=O)+尸(X=l,y=0)=%+31-p尸/Hg,

当a=o时,z=xy=o,即p(x=o)+p(x=i，=o)=p+#-p)嗡解得故A错误,B,C正确;

z的可能取值为

0,123,P(Z=O)*2,9P(Z=l)=P(X=l,y=l)V2x|2=六4p(z=2)==(X=l,y=2)q4X彳2=g8p(Z=

3)=P(X=1，Y=3)号x|4，

故E(Z)=0x*1x》2x5+3x2=*故D错误.故选BC.

olZ/L/oio

6.2解析由题可知10+3oW16,解得cW2,故。的最大值为2.

7.400解析由题意知，成功次数人功启,所以七（㈤=沙（㈤今，要使:＜-＜/岭〈不言

ssyonzoz

2

即＜£即|在|＜3由切比雪夫不等式P（|XTW）21rj,知至少有98%的把握使试

63b3b3b（-n）4

2

验成功的频率在区间（'，）内，则1-备N0.98,解得〃2400,所以抛掷的次数〃的最小值为

400.

8.1［3,9］解析设投掷1次时的位置值为X,易知X拘可能取侑有-1,2,则P（X=-1）=：=

6

；,P（X=2）W=I，则X的分布列为

Sb3

X-12

12

P

33

则均值为£（A）=（-l）x1+2x1=l.

JJ

设投掷6次时的位置值为匕则y的可能取值有-6,-3,0,3,6,9,12,

则尸（丫=-6）=或x（》6x（|）o=击,p（y=-3）=源x（*（］嗡,

6X（抄守嗡6x（处身嗡p（y=6）=第x（*身嘿

贝”p（y=6）＞p（y=9）＞p（y=3）＞p（y=i2）＞p（r=o）＞p（r=-3）＞p（r=-6）,

5

54144/197

且p(y=6)+p(y=9)=黑+----<,

243243-----243'

尸（y=6）+P（y=9）+/V=3）=墨+墨+孤=裳>197

243'

所以概率大于学的点的位置存在的最小区间为[3,9].

9.ACD解析对于正态分布片N(3,l),可得其期望£(X)=3Q(X)=1,对于二项分布

丫〜8(6,*可得E(Y)=6x⑺=6x[x]=,，所以E(X)=£(/),。(出<。⑺做A正确,B

错误油于正态分布具有对称性，由XTV(3,1),可得尸(AW1)=P(XN5),故C正确;对于

收+

Cl+4)(乎=1+6：，2。二鼻,所以p(x24)vP(X23)W.所以P(yW3)>P(X24),故D正确.

L645LL

故选ACD.

lO.y解析当〃=3时，按顺时针方向把人标记为1,2,3,4,5,6,用(V)表示i和/握手.

若1和2握手,共有两种方法:(3,4),(5,6)和(3,6),(4,5),若1和6握手，共有两种方

法:(2,3),(4,5)和(3,4),(2,5),若1和4握手，共有1种方法:(2,3),(5,6),所以一共有5种方法.

当〃=4时，若1和2握手，剩下6个人,情况同〃=3,共5种方法，若1和8握手，剩下6个人,

情况同〃=3,共5种方法，

若1和4握手，则2和3握手,5,6,7,8之间握手情况同〃=2洪2种方法，从而有1><2=2种

方法，

若1和6握手，由对称性,情况同1和4握手，共2种方法，所以一共有5+5+2+2=14种方

法.

6

其中，共2种方法使得丫=4(相邻两人按顺时针或逆时针方向依次握手)/(丫=4)=2="共

14/

4种方法使得丫=2(类似(1,6),(2,5),(3,4),(7,8)等),尸(丫=2)4=*共8种方法使得丫=3(类

似(1,4),(2,3),(5,6),(7,8)等),尸(丫=3)喘=*的分布列为

234

/，24

777

故£(Y)=2xg+3x,+4xT=m.故答案为去

”.解(I)因为A,B,C三层题量之比为7：3：2,所以在B层选题的概率为卷=：,不在B

层选题的概率为15=*设至少2人的选题来自B层的概率为P,从B层选题数量为X,

由题意得XL8(43),而二项分布概率公式为尸(乂=女)=肾(3(1之则至少2人的选题来自

B层的概率为P(X=2)+P(X=3)+P(X=4),故尸=第中小+c猊呢)+以(1啜+装+

1_67

256—256

(2)因为A,B,C三层题量之比为7：3：2,所以在A层最多抽到7道，且7可取0,1,2,3,则

7

P(X=0)

五？(x—1)FT9"(x—2)-用彳P(x—3)一弟445

其分布列为

X0123

17217

P

22224444

所以现¥)=0x/+1x5+2x分3Xd

12.解⑴若％=1,则¥=3表示总共套了4次,其中前3次套中，第4次没有套中，因此概率

为P(X=3)=(1)3x六巳

ZZ16

(2)X=0表示总共套了&次淇中前〃次均没有套中，

因此概率为P(X=O)=C/U-p»=C£pO・(l-p)\X=l表示总共套了1+左次，其中前4次中套

中了1次，第1+%次没有套中，因此概率为P(X=l)=C»・(l-p»；……

X=〃表示总共套了〃+女次淇中前〃+hl次中