向量的加法运算（教案）

第六章平面向量及其应用

6.2.1向量的加法

一、教学目标

1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义;

2.熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量;

3.理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.两个向量的和的概念及其几何意义；

2.向量加法的运算律。

三、教学过程：

1、情景引入

在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示.它的

实际位移入公，可以看作水平运动的分位移

AC与竖直运动的分位移AD的合位

问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为A豆，AD,AC之间有什么关系？

【答案】AB=AC^AD.

问题2：向量48,AC,CB之间有什么关系？

【答案】AB=AC+CB.

2、探索新知

（1）向量的加法：求两个向量和的运算:叫做I句量的加法。表示：AB+BC=AC.

规定：零向量与任一向量。，都有4+0=0+。=〃.

说明：①共线向量的加法：ab_+

—>--->At

②不共线向量的加法：如图（1）,已知向量。，b,求作向量〃+/?.

作法：在平面内任取一点。（如图（2））,作04=。，AB=b,则03=。十〃.

(1)(2)

(2).向量加法的法则：

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：+=.【口诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量。，〃为邻边作QA8CD,则

则以A为起点的对角线AC就是。与人的和,这种求向量和的方法称为向量加法的平行

四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究：

问题I：若向量［和B共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量3+B吗？

【答案】(1)当"和否同向时，a+b=A8+BC=AC.

(2)当〃和〃反向时，a+h=AB4-BC=AC

问题2：日+川,向,曲之间具有什么样的关系。

【答案】当］和％反向或不共线时，I1+/IVZI+曲;当［和B同向时，自+5HZI+I］

综上，日+Z区向+向,

问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？

【答案】如图所示：在平行四边形/WC。中，/=而+正

AC=AD4-DC=b+a,所以a+K+a。

在图(2)中，AD=AB-\-BCCD=AC-\-CD={ci-\-b)+c»

AD=AB+BC+CD=AB+BD=a+(b+c),所以，

(a+/7)+c=a+S+c)o

运算律：

交换律：a+b=b+a.结合律：(o+/?)+c=a+S+c).

4.例题分析：

例1.化简下列各式：

⑴产方+而+80；

(2)(

(3)AB^BC^CD^DE.

解：⑴方+。户+丽=(0户+尸力)+丽=o月+M=o；

(2)(AB+MB)-}-B0-^~OM=(AB+MB)

=AO+OB=AB；

(3)AB+BC+CD^DE=AC+CD^DE=AD^DE

=AE.

例2.如图，点。是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列两个等式一定成立的是哪个？

@AB+AD=AC；②BO+OC=ZM.u-----------------------------

解：丽+而=就，故①正确；/

BO+OC=~BC=AD,故②错误

注意：向量求和，注意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量4D

例3.小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落.一阵风吹来，使何小雨滴以3m/s的速

度向东移动.那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？

3

（提示：tan37°="）

解:如图，设质表示小雨滴无风时下落的速度，0方表示风的速度，以OA,0B为邻边作

平行四边形OACB,则°乙就是小雨滴实际飞行的速度.在RtAOAC中，OA

=4m/s,

ACI=3m/s,所以OC|=5m/s.且tanNAOC=*即NA0CQ37°.

所以小雨滴实际飞行速度为5m/s,方向约为东偏南53°.

四、小结：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；

2.熟练掌握问量加法的平行四边形法则和一:角形法则以及向量加法的运算

律。

3.\a-^-b\<\a\+\b\

五、作业：习题3.16,7,9题

A级必备知识基础练

1」探究点二］在四边形ABCD中,48+40=则四边形

ABCD是()

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四边形

2.［探究点二］在边长为1的正方形ABCD中+BC+而।

等于（）

A.0B.1c.6D.3

3（多选题）［探究点一］已知向量a〃b,且|a|R|b|,则向量a+b的

方向可能（）

A.与向量a的方向相同

B.与向量a的方向相反

C.与向量b的方向相同

D.与向量b的方向相反

PA+研+历+而）+

4」探究点二1向量(0M化简后等于

()

A前B⑸

PCPM

r•nJL/•

5.［探究点二］如图,在平行四边形ABC。中，写出下列各式的结

果：

⑴而+礼;

⑵互+CD+DC=

（3）A8+AD+CD_

（4）4C+BA+D/_

6.［探究点二］若菱形ABCD的边长为工则pB+BC+Cq等

于.

*西

7」探究点一］已知||二3,4。3=60。,求|04+Ofi|

8」探究点三］一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30。方

向行驶2km,然后又向西行驶2km,你知道此船在整个过程

中的位移吗？

9.［探究点二］如图,在梯形ABCD中,AB〃CD,E,F,G,H分别是

梯形43co的边AN乃C,CD,D4的中点，化简下列各式:

।\DG+EA+CB,

（2产6+CG+DA+EB

B级关键能力提升练

AB+CD+EF二（

10.在正六边形ABCDEF中,)

A不“屁CD

D.Cr.D.0

河+而）+即+DA

11.（多选题）设a=）,b是任一非零向量,

则下列选项正确的有（）

A.a/Zb

B.a+b=a

C.a+b=b

D.|a+b|<|a|+|b|

12.如果⑶=6,|b|=3,那么|a+b|的取值范围是,

13.ZX45C是正三角形，给出下列等式：

①1AB+BC|_|FC+CJ4|.

⑨+CBiiBA+BCi

③[AB+4C|_|6>4+CB|

其中正确的有.（写出所有正确等式的序号）

14」苏教版教材例题]在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h

的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地

渡过长江,其航向应如何确定？

C级学科素养创新练

15.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点0且

IAB1=1匚］。4+0C=。8+0D©osZDAB=；.求

I反+玩|匕|而+就I

II与II.

参考答案

1.D由平行四边形法则可得,四边形48co是以A8,4。为邻边的平行四边形.

2.B卜48+8C+CO|=|AC+。。|=内。|=：］

3.ABCD3a〃b，且|a阴b|,；.a与b共线，它们的和的方向可能与a同向或反向，与b同向

或反向.

4.C

（PA^MA）+（A。+A。）+

历/=赤+而+而+而+就二而+丽+嬴?+就=前+拓（+就=可+

正二正

5.(1)4C(2样。(3).。(4)0(1)由平行四边形法则可知,48+、。=〃.

(2而+而+而=诟+而=而

(3)^+AD+CD=AC+CD=AD

(4)4?+^+D4=F4+4C+D4=BC+D1=O

^"^^4

6.2因为四边形ABC。是菱形，所以内8+BC+CC|=|4D|=2.

7.解加图,作平行四边形OACB,

・.・|。4=|。句=3.，四边形OACB为菱形.

连接OC/8,则0C_LA8,设垂足为D.

,/ZAOB=60\：.AB=\0A\=3.

3代

・••在RtAOAD中,0。二丁,

__3^3

.・.|。。=|04♦Ofi|=2x2=3百

8.解如图，用AC表示船的第一次位移，用CC表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形

法则知从°=AC+C。,

所以从。可表示两次位移的和位移.由题意知，在Rt^ABC中,N8AC=30°,

则80入。=1,48=&.

在等腰三角形AC。中＜C=CO=2,

1

所以ZD=ZDAC=2ZACB=30°,

所以/84。=60。/。=2人6二26,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60。,位移的大小

为km.

9解(1)0G+EA+CB-GC+BE+CB—GB+BE-GE

(2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DE=Q

10.D如图，连接AD8E,设A。与BE交于O点，则8°=CD.OA=EF

.,.48+C。+课=4B+BO+0A=A0+。4二0.故选D.

11.ACVa=(^+BC)+(CO+DA)=AC+以=o,

又b为任一非零向量,・・・A,C正确.

12.[3,9]

13.①③对于①,1+四=阳严+以|=|84,・.・|"|二卢4①正确;

对于②/。+以|=砂可,如下图所示,

以BA.BC为邻