题型专练：分式的乘除（4基础2提升+培优）-苏科版八年级数学下册【含答案】

10.4分式的乘除

题型一分式乘法

题型二分式除法

题型三分式乘除混合运算

题型四合乘方的分式运算

题型一分式的化简求值

题型二分式最值

A基础达标题」

题型一分式乘法

XY-V

1.计算-------21的结果是（）

x-yy

XX

A.2B.一上C.—D.一

xxyV

2.下列各式从左到右的变形一定正确的是(

“x2+1x+\一3x3x-x--ycxx~

A.-------=------B.--------=-----C.——^=x+yD.-=—

5x5—x+1x—1x+yyy

4.计算:

…4"6//

3bl-ac'2'

x1

(2)-一7---------.

x+yx+y

题型二分式除法

24

5.化简二一+—；的结果为()

X~+XX+I

试卷第i页，共6页

12x

A.—B.—C.2xD.

2xx2

X1

6.已知"=—一，则下列结论正确的是（）

x-11-x

rX,X+l

A.M+N=-\B.M-N=---

x-\

1

C.MxN=D.M+N=x

U-i）2

7.某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料.现在有两种原料力

和8,原料力的质量为工（单位：kg）,原料8的质量为一、（单位：kg）,将它们混合

a-1a-l

后进行一些操作（操作过程不影响质量）,下列关于这两个代数式的运算正确的是（）

A.+--1-=Q-2+1.B.-----—=a+\

a-\a-la-\a-\

a-+2a+\

C.D.

12

8.化简:-----------------------------------

a-ba+hJa2-b2

题型三分式乘除混合运算

（〃》＞（））,则有（两图中〃，。分别相同）（）

A.k>2B.1<“<2C.-<^<1D.0<“<2

2

10.计算：xy^--=

y

11.计算:

⑴9"十金争

_a2-1a+2a2-4a+4

a2-4a2-2a+la+1

12.如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下闰题:

乂f-9.E=x+3

入好―6x+9.x+3-x-3

—/

（1）求被手遮住部分的代数式；

试卷第2页，共6页

⑵已知,d-x-3=0，求(1)中所得的代数式的值.

题型四含乘方的分式运算

13.计算的结果是()

A.aB.a3C.a6D.a9

14.-T+.

J{yJ

i3

15.如果x+—=3,则3/+1+弓■的值等于；

xx*

16.按要求完成下列各题：

⑴化简：(一2/),)+匕.上］-(2x-y)2；

2x1工/

(2)因式分解：12+9『一36/.

能力提升题

题型一分式的化简求道

17.若〃?=5,则必驾±泡的值为（）

mz

9D9厂3-3

AA.—B.-C.—D.-

255255

（4Aa2-2a+\

18.先化简，再求值：I——-♦、〃，其中。=4.

Va+3J2a+6

19.先化简，再求值：■>"：2］）（2"1）-a（2a+1）,其中

a--4a+4\a-2a）

+（71+2026）°.

20.先化简，再求值：卜7+1)'-a(a+2)+彳一甲+4其中a=2"+

{2a-1\-12a”

题型二分式最值

分式号布的最大值是()

D.-1

A.5B.6c；

试卷第3页，共6页

〃+1

22.已知〃？，〃为实数，且〃L〃=6,〃?2-2〃，则下列关于的说法正确的是（

m

A.有最大值，且最大值为;B.有最小值，且最小值为:

44

C.有最大值，且最大值为D.有最小值，且最小值为一：

44

23.新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作

交换对称式.

例如：/+_/,（》_］）（）一］）,它们都是交换对称式.已知：（x-a）（x-»=x2_px+q,

①若p=2国=-1,则交换对称式2+_______；

ab

②若4=-2,则交换对称式"2+号的最小值为_______.

ab

24.请仔细阅读下面材料，然后解决问题：

在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称方

为“假分式”，例如：—;当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，

x+1x+\

例如：」7，告.我们知道，假分数可化为带分数，例:=空=3+：=3：,类似的,

X+IJC+14444

假分式也可以化为“带分式''（整式与真分式和的形式），例如：一v-1=—Y+1-首2印2

X+lX+lX+1

（1）将分式二化为带分式；

X-1

（2）当x取哪些整数值时，分式々的值也是整数？

x-1

（3）当》=时，分式四二的最大值是

x~+\

25.将7张如图1的两边长分别为。和b（。2力，。与人都为正整数）的长方形纸片按图2

的方式不重叠放在长方形/6C。内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下

角的阴影部分的面积相等，设三=k,若44=3,左为整数，则。可取的值的个数为（）

试卷第4页，共6页

图1图2

A.0个B.3个C.5个D.无数个

26.艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于

购买艺术节学生奖品.根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的!，二、

三等奖奖品的总价之比为7:11.第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为2:3:4：

第二次将用余下的资金继续购买一、二、二等奖奖品，经预算，需将余下资金的;购买一等

奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为一.

27.先阅读下列解法，再解答后面的问题.

3x-4AB

已知(1)(x-2)=二一工，求"、〃的值.

解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x-4=J(x-2)+5(x-l),

即：3x-4=(A+B)x-(2A^-B),

A+B=3A=l

-(24+4)=-4‘解得：’

8=2

解法二：在已知等式中取x=()有—A+—―=-2,整理得24+8=4；

A5

取x=3,有二+B=二,整理得4+23=5.

22

叱[2A++2B5=54,解得[[Ab=al

llxAB

a)已知G7而二号二1/一石二？’用上面的解法一或解法二求"、'的值.

(2)计算：7—ri-E+/二°\+/4c+…—77;(X+U)，并求X取

(x-l)(x+l)(x+l)(x+3)(x+3)(x+5)(x+9)(x+l1)

何整数时，这个式子的值为正整数.

试卷第5页，共6页

28.综合与实践

定义：如果两个分式尸与。的和为常数3则称P与。互为“和常分式”，常数〃称为“和常

值例如：分式尸。=型」，0+。='+四二1=2,则2与。互为“和常分式”，“和

mmmm

常值乂=2.

(1)已知分式力=七1,8=也烂，判断力与8是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；

w+2w+2

若是，请求出“和常值”.

(2)已知分式。=2"6-=1,D=YM^,若。与。互为“和常分式”，且“和常值”％=2.

w-3w-9

①求代数式"(用含〃，的式子表示).

②若分式。的值为正整数，求〃?的值.

(3)已知分式£=如一，F=丁，，(。，b为整数)，若E与尸互为“和常分式”，求“和

ni-1nr-2m+1

常值

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的枳作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再

约去公因式即可.

xx-yx

【详解】解:-------=-

x-yyy

2.B

【分析】本题考查了分式为基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键.

根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不

变，逐项判断变形是否正确.

【详解】A；—^―（分子从V+1变为工+1,分母从5x变为5,未同时乘以或除以

5x5

相同整式）.

「•变形不一定正确.

消）二三（分子分母同乘一,旦小。）.

..・变形一定正确.

c：v±JCr）（Fx-…+y（除非…）.

x+yx+y

「•变形不一定正确.

2222

D：V二工二（土分子分母同乘X得士，工工与，除非、=＞）.

VV-yxy,xyy

「•变形不一定正确.

故选B.

答案第1页，共14页

y(x-y)

(x2+y2)(x+y)

【详解】(1)ft?：%.竺=竺;

3b2ac~c

_x(x+y)x2+y2

(v2+y2)(x+y)(x2+y2)(x+y)

_x(x+N)-，+/)_+xy-x2-y2

~(x2+JJ)(x+y)一(工2+y2)(x+j，)

xy-y2

~(x2+y2)(x+y)

y(x-y)

~(x2+y2)(x+y)'

5.A

【分析】本题考杳分式的除法运算，先对原式分母因式分解,再根据分式除法法则将除法转

化为乘法，约分后即可得到结果.

【详解】解：

X+XX+1

2x+1

=-；-----X-----

x(.r+l)4

1

=元’

•••化简结果为:，

2x

故答案为：A.

6.B

【分析】本题考杳了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键

根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可.

【详解】解：A."+%="+二匚=工-一二二==1,故此选项不符合题意；

r-II—rr-Ir-Ir-I

B.M-NM」1-」一二已+一1==，故此选项符合题意；

x-11-xx-1x-1x-l

r1x

C.MXN=--=--――,故此选项不符合题意；

x-1I-x(x-1)

D.材+二二告子——二白巾-力二-X，故此选项不符合题意；

x-1l-xx-1

故选B.

7.B

答案第2页，共14页

【详解】解：A、—+—=—^«*2+1,故选项错误；

a-\a-\a-\

「a21a2-1+辽但々力3

B、---------=-----=————^=a+l,故选项正确；

a-\<7-147-1a-\

22

a1a2

、=｝一^¥“"故选项错误；

chaT7"7a-7l

(i~1)(a~4-11jci~+267+1....

D、l二「〔二TTJ西厂，故选项错展

8.安

ab

【分析】先将异分母分式通分，除法转化为乘法，再算小括号里的同分母分式减法，最后算

乘法.

-e(12、ab

【详解】解：:------p—~~厂，

\a-ba+bJa~-b-

a+b2(a-b)(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)ab

_a+b-2a+2b(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)ah

3b—a

ah,

9.B

【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算.分别计算出甲图中阴影部分面积

及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可.

【详解】解：甲图中阴影部分面积为片一川,

乙图中阴影部分面积为与,

2-b，_(a叫(a+〃)_a+b_+b

则左=J

a(a-b)a(a-b)7

a>b>0,

?.0<—<1,

、b、、

/.1<一+1<2,

：.\<k<2,

故选：B.

答案第3页，共14页

10.

y~

【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果.

【详解】解：原式=xy2

X

=^―

X

=y2-

2x5

II.(I)-

⑵一

【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案.

（2）先因式分解，再约分化简即可求出答案.

【详解】（1）解：原式=—券）可

6x5y

=—-----

/3

2/

中解传+"2（"2『

（2）解：原式一TK7K，73；~

a-2

F2

12.（1）--

x+3

（2）1

【分析】（1）等式两边先乘以工，再除以，储一9c可得E；

x+3X’-6x+9x+3

（2）把——x—3=0变形为犬=4+3,再代入（1）中结论计算即可.

【详解】（1）解：由等式的基本性质得，被手遮住部分的代数式为色•上・、『一」、

x-3x+3x*-6x+9

x+3x2x2-6x+9x+3x2(X-3『x2

化简，得---------•=----

x-3x+3x2-9x-3x+3(x+3)(.r-3)x+3

答案第4页，共14页

・•・被手遮住部分的代数式为

x+3

(2)解：:/一x-3=0

x2=x+3»

x~x+3.

X+3.¥+3

13.A

【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果.

【详解】解：/

•••化简得结果为4.

【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可.

V2X6

【详解】解：原式

yy

X2y3

=/7

i

-4,

xy

15.22

/i\2\

【分析】利用完全平方公式求出x+-=9,得出X?+F=7,再整体代入求值即可.

IX)X

3羊解】•..x+1=3.

x+—=9»即x?+2H■-v=9,

【X)x~

21r

XH——=7,

X

1/1\

.•.3x2+1+二=3v2+_+1=3X7+1=22.

/Ixj

16.(1)4x2y2

答案第5页，共14页

⑵(X+3『(X-3)2

【分析】本题主要考查分式的混合运算及因式分解；熟练掌握运算法则是解题的关键;

(1)根据分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可;

(2)先根据平方差公式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】⑴解：原式—哼号一村一母+力

=-2x2y•4•2-4x2+4xv-y1

v~x~

=—4孙-4.r2+4xy-y2

22

=-4x-y；

(2)解：原式=12+9+6X)(/+9-6工)

2

二(x十3y(x-3).

17.B

【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入加=5计算结果.

【详解】解:4m2+47n，.(/―4m+4)m(m2)2(m-

m2m2m2m

Xvm=5,

(5-2)2_

••・原式=9

5

18.二|

a-13

【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对除法的分子分母因式分解，将除法转化为乘

法后约分得到最简式，最后代入。的值计算结果.

a2-2a+\

【详解】解:

2。+6

Z+3__4].ST)?

\々+3a+3j2(a+3)

:"l」(a+3)

a+3

2

一力’

当〃=4时，

答案第6页，共14页

22

原式二

19.三；2

a-2

【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，计算整式的乘法，然后

计算负整数指数塞和零指数幕求出a的值，然后代入求解.

【详解】解:+(〃+1)(2“一1)一〃(24+1)

a+22aa-2

+2a*2*4-a+2a-\-2a2-a

("2)2a(a-2)a(a-2)

a+2a+2

(。-2『a(a-2)

a+2q("2)

(4-21q+2

=-----1

a-2

=a—a-2

a-2a-2

2

=7^2

当a+(兀+2026)°=2+1=3时，原式=^7=2.

4

20.K一4

_.__._(,\2/।u~~8o八4，―4a+4

［详解］解：(a+1)-a(t7+2)+--「+41

、2.CI-1］1-Z(1

cf-8a+4(2w-l)a2-4a+4

—G~+2a+1-(a~+2a)+

2a-1\-2a

\-2a

=(r，+2.〃+1i-er，-2ca+-。-.一--4

2a-1/-4a+4

二］上+2)("2)1-24

2a-l(〃_2y

=q

a-2

_a-2a+2

a-2a-2

答案第7页，共14页

<7-2

•••〃=2。+仕］=1+2=3,

4

原式=一^--=-4.

3—2

21.C

【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求四分母的最小值，进而求出分式的最

大值即可.

【详解】解：•••/+2x+5=(x+l)2+4,且(x+l『NO,

.-.x2+2x+5=(x+l)2+4>4,

.•.x2+2x+5的最小值为4.

二分式，；〈的最大值是;;

.V+2x+54

故选：C.

22.D

【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题,

再结合不等式范围推导最值，是解题的关键.

由〃「〃=6得〃=〃?-6,代入〃d-2〃得〃亚4,进而将四表示为9,分析其取值范围

mm

即可.

【详解】解：-6,

n=m—6,

代入m>-2n,得w>-2（w-6）,

UPm>-Im+12,

整理得3〃业12,

二解得4,

n+1w-6+1m-5

又•••m>4,

答案第8页，共14页

w44

当〃?=4时，等号成立，即四取得最小值-!，

m4

・•・山有最小值

m4

故选：D.

23.-6”

4

【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键.

对于①，利用多项式的乘法得到4+6和必的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化

简为关于。+6的表达式，然后配方求最小值.

［详解］①；(x-a)(x-h)=x2-(a+b)x+ab,(x-a)(x-b)=x2-px+q,

/.x2-(a+b)x+ab=x1-px+q,

p=a+b,q=ab,

..baa2+b2(a+b)2-2ab(a+bY

,—I—=--------=-----------------=------------2

abababab

":p=a+b=2,q=ab=-\,

22

二原式=----2=-4-2=-6»

-1

故答案为-6；

小步+2/+22222，二22/2、2(。+3

(2)-------+--------a~+—+b~+—=a~+b~+—+—=(a+b1A)-2abL+--------

abababab

vq=ab=—2

•••原式=(4+6)2-2x(—2)+^^

-2

=(a+b)2+4-(a+b)

=p~+4-p

=p2-p+-1-----1+44

44

(1、，15、15

244

故答案为三

4

3

24.(1)3+--

X1

答案第9页，共14页

(2)x=-2,0,2,4

⑶当x=0时，分式中1的最大值是5

x'+l

【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识.

（1）根据材料提供方法变形即可求解；

（2）由（1）得'3x=3+二；3，根据分式3多r的值是整数，得到「3为整数，即可得到当

x-lX-1X-］X-1

x取整数时，X-1是3的整数因数，得至1卜-1=±1或x-】=±3,即可求出x=—2,0,2,4：

（3）二变形为3+一匚，即可得到当/+］取最小值时，分式工又有最大值.根据

X-+1r+1X-+1

/N0,得到V+1N1,求出当x=0时，除!3=5,问题得解.

x~+1

【详解】（1）解：2L=3X-3+3=3（1）+3=3+J；

x-lx-lx-lx-l

3v3

（2）解：•••由（1）得上一=3+',

x-lx-l

•••分式3上t、的值是整数，

x-l

・•・二为整数，

x-l

•••当x取整数时，X-1是3的整数因数，

AX-1=±1ngX-1=±3,

.•.x=-2,0,2,4；

（3）解：345=3卜2+1）+2=3+^,

x2+\x2+\x2+l

•••当/+］取最小值时，分式号2有最大值.

x~+\

x2>0»

.♦.当f+1=1即x=0时，=3+=3+2=5,

x-+lx2+\

故当x=0时，分式算士1的最大值是5.

X'+1

25.A

【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等,可得4648-4"=片/8-3时,从

而得到12b-3〃=",再由£=左，可得a二与，从而得到。取1,3,9,即可求解.

bb+3

【详解】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面枳相等，

答案第10页，共14页

AB-4ab-a-AB-3ab,

所以4力43-a•48=,

因为AB=3,

所以126-3a=ab,

因为?=3

b

所以a=kb,

所以I2b-3bk=k〃，

因为〃为整数，

所以b+3取1,2,3,4,6,12,

因为/，为正整数

所以分取1,3,9,

当力=1时，k=3,此时。=3,

当力=3时，k=2,此时。=6,

当匕=9时，k=l,此时a=9,

因为月8=3,

。＜3,

”可取的值的个数为0.

26.1:3

【分析】设学校预定总资金为。元，可得一等奖总价为28,根据第一次购买资金比设第一

次一、二、三等奖资金分别为2x,3.r,4x,根据一等奖总资金占比列方程求出〃与x的关

系，再设第二次购买二等奖资金为机元，根据二、三等奖总价之比列方程求出〃?，进而得

到还需购买的二、三等奖资金L匕.

【详解】解：设学校预定总资金为。元，则预定一等奖总价为Ja元，

4

设第一次购买一、二、三等奖奖品的资金分别为2x元，3x元，4x元，

则第一次共花费资金2x+3x+4x=9x元，余下资金为(〃-%)元,

第二次购买一等奖的资金为《(。-9工)元，

答案第11页，共14页

因此一等奖总资金满足：2x+；（a-9x）=；o,

整理得

34

解得a=\2xf

第二次用于购买二、三等奖的资金总和为：（1-9x）=g（12x-9x）=2x元，

设第二次还需购买二等奖的资金为小元，则购买三等奖的资金为（2丫-加）元，

3%+川7

根据预定二、三等奖总价之比为7:11,可得：4r+（2x-/n）=n>

交叉相乘得：U（3X+〃?）=7（6X-〃?）,

整理得:33%+11冽=42%-7m,

解得〃7=gx,

则第二次购买三等奖的资金为2x-

因此还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为:x：［x=l：3.

A=3

27•⑴2

⑵当x取2,3,4,7时，这个式子的值为正整数.

【分析】（1）仿照示例解答即可；

（2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法

则化简可得一J，然后根据整数性质求出x符合条件的整数的值即可.

x-1

llxAB

【详解】⑴解：解法-：匹同『二筋一门

将等号右边通分，再去分母,得：lb=4（3x-4）-8（x+6）,

即：llx=（34-8）x+（-4.4-68）,

3A-B=\{A=3

解得:

-4J-6Z?=0B=-2

、—llx_A_____B

解法一，(x+6)(3x-4)x+63x-4

AR

在已知等式中取x=0,有0=2+5,整理得24+38=0；

64

答案第12页，共14页

11A

取x二l,有一一=一+8,整理得N+78=-11.

77

24+38=0A=3

解J……解得

B=-2'