高中数学必修第一册教案：空间向量及其线性运算

1.1.1空间向量及其线性运算教学设计

课题1.1.1空间向量及其线性运算单元第一单元学科数学年级高二

(1)知识与技能：1、理解和掌握空间向量的基本概念；

2、掌握空间向量的基本运算.

学习(2)过程与方法：通过高一学习的平面向量相关知识，推广引申，理解和掌握空间向量的

目标线性运算.

(3)情感态度与价值观：培养学生的类比思维，类比学习空间向量，运用向量的概念和运

算解决问题，增强学生的逻辑思维，培养学生的开拓创新能力.

(1)逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直.

核心

(2)直观想象：向量运算的几何意义.

素养

(3)数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律.

重点空间向量的概念及其线性运算

难点理解空间向显的线性运算

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课PPT展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以发挥想象，思介绍知识背景，

想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方句、考知识之间的提起学生的兴

大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显,致性.趣.

然，这些力不在问一个平面内.联想用平面向量解决

物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向

量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我们

类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念

和表示开始.

讲授新课活动一、让我们将以前学过的向量的概念和运教师注重比通过比较，既复

算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是太来

就适用于空间中。较，将关键知习了平面向量的

请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向识点展现给学基本概念，又能

量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相

等向量。生.使学生更好的理

请学生比较与平面向量的异同。解空间向量，培

向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既

适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二养学生的类比思

者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不想，提高学生举

同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可

以迁移到空间图形中。一反三的能力.

(1)空间任意两个向量都可以平移到同一人平

面内，成为同一平面内的两个向曷。

注意：(1)印刷体用黑体，书写要带向量箭头.

(2)空间向量是平面向量的推广，其表示方法

以及一些相关概念与平面向量一致.

活动二、数学中，引进一种量后，一个很自然的问

题就是要研究它们的运算、由于任意两个空间向最

都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任

意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的

运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，

定义空间向量的加法、减法以及数乘运算.

线性运算：交换律，结合律，分配律

课堂探究知识探究一、如图1,在平行六面体中学生根据环环通过思考，培养

相扣的探究问学生探索新知的

ABCD-A^Ciy,分别标出AB+AD+AA',

题题，探究空精神和能力.

+4万表示的向量.从中你能体会向量加法

间向量及其线

运算的交换律和结合律吗?一般地，三个不共面的向

性运算.发展

量的和与这三个向量有什么关系？

学生的几何直

观和数学运算

的核心素养.

AB

图1

可以发现：AB+Ab+AAf=AB+AAf+Ab=AC

有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和大变

例1在空间四边形0A8C中，O4+A豆-C8•等于

()

A.OAB.ABC.OCD.AC

答案：C

知识探究二、对任意两个空间向量。与/2,如果

a=/lZ?(2wR)，。与8有什么位置关系？反过来，a有助于学生理解

与〃有什么位置关系，a=2b?向量之间的美系

对任意两个空间向量，a,〃他工0）,a//b的充要

条件存在实数九，使。=劝学生理解向量

例2在平行六面体ABCD-AffCiy中，若

之间的线性关

AC=xAB+^BC+^CCMx+y+z=_______.

系

答案：6

解析：在平行六边形A88-4&C77中，有

fi

AC=AB+BC+CC,B.AC=xAB+^BC+-CCi

23

所以有x=l>—=1»—=1,解得x=l,y=2>z=3,

23

所以x+y+z=6.

知识探究三、（方向向量与共面向量的概念）日图

2可知，存在实数4,使得。户=我们把与向理解方向向量和

量。平行的非零向量称为直线/的方向向量共面向量的概念.

思考问题，发

挥想象.

/图2

由图3,如果表示向量。的有向线段函所在的直线

OA与直线/重合，那么向量。平行于直线/.如具直

线OA平行于平面。或在平面a内，那么称向量a

平行于平面a.平行于同一个平面的向量，叫做

共面向量.

OaA

a/

图3

例3.如图所示，在平行六面体ABC。-48677中，

设A4；=a,AB=b,AD=c,M,N,尸分别是

A4,,8C，G。的中点，试用*b,c表示以下各

向后:

(I)A户；

(2)V?;

(3)MP.

通过例题让学

生掌握本节课

知识，井能够

灵活运用.

解：（1）因为尸是GA的中点

AP=AAi+AiDi-^DlP=a+AD+-DiC1,

I一1

=a+c+—A4=a+c+—b.

22

（2）因为N是BC的中点，同理可得：

——1

A^N=-a+b+-c.

J

（3）同理可得：MP=—a+—b+c.

22

知识探究四、对平面内任意两个不共线向量。，b,

由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个

向量〃可以写成〃=m+）力,其中（X,），）是唯一确定

的有序实数对.对两个不共线的空间向量。力，如果

〃=.m+）力，那么向量〃与向量有什么位置关

系?反过来，向最〃与向量。涉有什么位置关系时,

p=xa+yb?

解析：如果两个向量”，力不共线，则向量〃与向

量〃，8共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

(x,y),使〃=此+)力.

例4如图4-1,已知平行四边形A8CD,过平面

AC外一点0作射线OA,OB,OC,OD,在四条射

线上分别取E,F,G,a,使

OEOFOGOH出t口口厂口皿上

-----------.......=k,求证E>F,G,”四点

~OAOBOCOD

共面

O有助于学生建立

起空间向量的意

识，发展学生的

几何直观的核心

素养

EF

图4-1

解析：因为=所以回顾平面向量

基本定理，思

OE=kOA,OF=kOBtOG=kOC,OH=kOD.

因为四边形A3CD是平行四边形，考空间向量中

所以/=岫+而.是否存在此位

置关系.

^EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC

=k^AB+AD^=k(0B-0A+0b-0A^

=OF-OE±OH-OE=EF±EH

随堂练习1.下列说法中正确的是（）学生动笔思注重学生对知识

若同则〃，〃的长度相等，方向相同或

A.=5,考，巩固新知.的把握，理解知

相反不会的地方及识，发展学生的

B.若向量〃是向量〃的相反向量，则同=同时反映.类比思维，培养

学生几何直观和

C.空间向量的减法满足结合律

数学运算的核心

D.在四边形ABC/）中，一定有通+而=庶

素养.

2.如图，在四棱柱的上底面A8CD中，AB=DC^

则下列向量相等的是（）

DC

AA78

Di…一…C|

//

A1/

A.AD^CliB.OA^OC

C-/与Z）与D.仍与砺

3.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是

学生和教师共

（）

同探究完成4

A.OM=2OA-Oli-OC个练习题。通过这4个题，

B.OM=-OA+-OB+-OC巩固基础知识，

532

发散学生思维，

c.MA+MB+MC=6

培养学生思维的

D.OM+OA+OB+OC=6严谨性和对数学

4.（多选题）已知平行六面体ABCD-AMCTY，的探索精神。

则下列四式中其中正确的有（）

A・AB-C