高一预习人教A版高中数学必修一《三角函数的应用》知识点及总结（解析版）

第24讲三角函数的应用

【人教A版2019】

■内首航

模块一：三角函数的简单应用

模块二：拟合法建立三角函数模型

「题型1三角函数在物理学中的应用

三角函数的应用题型2三角函数在圆周运动问题中的应用

提升•必考题型归纳--题型3三角函数在生活中的应用

■题型4几何中的三角函数模型

工题型5用拟合法建立三角函数模型

课后作业（19题）

思维导图

振幅：振幅彳是做简谐运制的物体离开平衡位置的最大距离

周期：它是做简谐运动的物体往夏运动一次所鬲要的时间

三角函数中各频率：它是做简谐运动的物体在单位时间内往京运动的次数

量的物理意义

相位：①X-瀚为相位

三角函数的简单初相：x=0时的相位。称为初相

应用三角函数应用的步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；＜4｝检验；（5）还原

三角函数的简三角函数的常见应用类型：①三角函数在物体简谐运动问题中的应

I用；②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用；③

单应用

______IV三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用

数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数

拟合法建立三角用拟合法建立的解析式进而研究实际问题

函数模型三角函数模型

模块一三角函数的简单应用

知识梳理

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1.函数y=Asin(ft>x+e),[0,+8)(其中力>0,e>0)中各量的物理意义

在物理中，描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率笔都与函数)，=/lsin(sr+8)

(J>0,(o>0,x20)中的常数有关.

振幅振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离

了=普，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间

周期

/=亭=券，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数

频率

相位CDX+(p称为相位

初相4=。时的相位9称为初相

2.三角函数的简单应用

(1)三角函数应用的步骤

(2)三角函数的常见应用类型

①三角函数在物体简谐运动问题中的应用

物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.

②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用

物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.

③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用

大海中的潮汐现象、U常生沽中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解

决这些问题.

题型归纳

【题型1三角函数在物理学中的应用】

【例1】(24-25高一上•全国•课后作业)某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位:

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mm）与时间f（单位：s）之间满足关系式尸20sin得广,小九+切，则开始计时后，该振子第一次到达位

移最小点所用的时间为（）

A.0.6sB.0.5sC.0.4sD.0.3s

【解题思路】根据题意产20sin件当产-20时求出脚可.

【解答过程】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期广益=0.6s,当片0时，尸-20,

所以开始计时时该振子位移为-20mm,则该振子第一次到达位移最小点所用时间为Z=0.6s.

故选：A.

【变式1.1]（24-25高一上.广东・期末）如图，一个质点在半径为2的圆。上以点夕为起始点，沿逆时针方

向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离），关于时间，的函数解析式是（）

三缶'

A.产力sin《L》/B.尸力cos步

C.产/sin含汁沙D.尸沙

【解题思路】设点P的纵坐标为根据题意可求助但与儿从而可求解.

【解答过程】设点尸的纵坐标为/&Msin®/+〃，

由题意可得拉空=3,得。=共

w3

因为起始点P在第四象限，所以初相9=-5

由图可知/=2,

所y/〃?=2sin得t-1

所以该质点到x轴的距离），关于时间/的函数解析式是尸人而仔-沙

故选:A.

【变式1.2]（24-25高一上•浙江金华・期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采

集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）.已知

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噪声的声波曲线y=4cos@x+M（其中4>0,心0,OW8V2兀）的振嗝为1,周期为2兀，初相位为则通过主动

降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（）

【解题思路】由振幅可得力的值，由周期可得口的值，由初相位可得9的值，即可得出声波曲线的解析式，进

而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.

【解答过程】解：因为噪音的声波曲线尸4cos3c+M（其中00,Q0,叱厂2兀）的振幅为1,则4=1,

周期为2兀，则①=彳=§=1，初相位为％3=号,

T2n22

所以噪声的声波曲线的解析式^=cosg+p=-sinx,

所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为产sinx.

故选:A.

【变式1.3］（2025高一上・江苏・专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在却时相对于平衡位置的

高度h（单位：cm）由关系式h=2sin（/+J确定以/为横坐标，h为纵坐标，下列说法错误的是（）

A.小球在开始振动（即片0）时的位置在（0,近）

B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2cm

C.小球往史运动一次所需时间为2点

D.每秒钟小球能往复振动1次

n

【解题思路】对于A,把片0代入已知函数，求得y值即可得初始位置;

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对于B,由解析式可得振幅，即为所求；

对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解;

对于D,由频率与周期的关系即可求解..

【解答过程】对于A,由题意可得当/=0时，h=2sin(0+^)=V2,

故小球在开始振动时的位置在(0,a);故A正确；

对于8,由解析式可得振幅月=2,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2cm；

故B正确；

对于C,可得函数的周期为片名=斗=2心故小球往复运动一次需次s；故C正确；

U)1

对于D,由C可知，片2兀，可得频率为户(Hz),即每秒钟小球能往复振动1次，故D不正确.

I2n

故选：D.

【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】

1J1例2](24-25高一下•四川成都•期末)筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，

如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现

有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒时距离水面的高度〃(单位：米，记水筒M在

水面上方时高度为正值,在水面下方时高度为负值)与转动时间X单位:秒)满足函数关系式”=2sin偌什”4,

成他。且片。时，盛水筒M位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时;盛水筒〃距离水面的高度为

C.1.25D.0.25

【解题思路】根据2sin9+：=2.25求出的即可得到函数解析式，再代入片80计算可得.

【解答过程】依题意可得2sin9+12.25,即sin”g又°口网,,所以“弋，

所以〃=2sin备+/+£

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则当片80时〃=2sin6x80+/+：=2sin：=2$呜+：=2.25,

即当筒车转动到第80秒时，盛水筒M距离水面的高度为2.25米.

故选：B.

【变式2.1］（24-25高一上•广东湛江・期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心

。到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置方是从距地面21米时开始计算时

间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设从点勺运动到点尸时

所经过的时间为人单位：分钟），且此时点尸距离地面的高度为hl单位：米），则h是关于/的函数.当汇H时，

h（r）=（）

A.40如1（口-3+41B.40sin（W—）+41

\\567\306/

C.40sin俱-41D.40sinG—）-41

\I56/\306/

【解题思路】先由题意得到“。儿吟进而得到/min后，以3为始边，”为终边的角口-％从而得到点尸的

o15o

纵坐标为40sin（［L»,即P距地面的高度函数求解.

13o

【解答过程】由题意得八0夕0=也而是以Ox为始边，0%为终边的角，

OO

由。尸在/min内转过的角为引=（，可知以Ox为始边，

OP为终边的角为自-.，则点尸的纵坐标为40sin焦

所以点尸距地面的高度为h=40sin6上^）+41,

故选:A.

【变式2.2］（24-25高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车

的工作原理（如图）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒

车转轮的中心O到水面的距离。为1.5m,筒车的半径，为2.5m，筒转动的角速度①为专rad/s,如图所示，

盛水桶M（视为质点）的初始位置?（）距水面的距离为3m,则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（）（0=1.4,

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V3«1.7).

A.4.5mB.4.0mC.3.5mD.3.0m

【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即

可.

【解答过程】根据题意，建立如卜所示平面直角坐标系：

根据题意，盛水桶M到水面的距离h与时间/满足：h=Asin(fo/+^)+^^>0,^0((),；)：

因为筒转动的角速度为争ad/s,故”=含

又"8=1.5+25=4又+8=1.5-2.5=-1,解得4=2.5,3=1.5,则h=2.5sin(9什骨)+1.5；

又当片0时，h=3,则2.5sin0+1.5=3,sin3=3则cos3=Jl-sin,=g；

故当片3时，h=2.5sin(^x3+8)+1.5=2.5xg(cos3+sinG+1.5=2.5乂与x(+1.5=3.95%.

故选:B.

【变式2.3](24-25高一上•陕西榆林・期末)如图，一个大风车的半径是9m,每I6min旋转一周，最低点离

地面1.5m,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间(min)之

间的函数关系是()

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9m

A.h=-9cos-/+10.5B.h=9cosJf+10.5

oX

C.h=-9sin^r+1.5D.h=9sin^/+1.5

88

【解题思路】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得。离地面的距离力与时间/之间的函

数关系.

【解答过程】以最低点的切线作为X轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

风车上翼片端点。所在位置可由函数X0,来刻画，而且hQ)=y(/)+1.5,

又设P的初始位置在最低点，即

在RUO/Q中，cos外卡，所以尸一9cos>9,

又冷=4□和白，□y(/)=-9cos：/+9,

15too

则hQ)=-9cos?+105

o

【题型3三角函数在生活中的应用】

L」【例3】(24-25高一上•全国•课后作业)某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相

关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速宜线运动时传感器所在点距离地面的高度h,

已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度h(单位：英寸)关于

时间，(单位：秒)的函数解析式为()

A.h(/)=8cos4兀/+8B.h(z)=8cos4兀/

C.h(r)=8sin4n/+8D.h(z)=8sin4m

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【解题思路】建立合适的坐标系，求出h（。关于/的函数解析式；

【解答过程】以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为X轴,

垂直于地面的所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可设hO=4os&+伙月＞0g＞0）,

由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以4=8,

当尸0时，将（0,16）代入解得8=8,乂轴承每秒转动2圈，

则轴承的角速度'为3一言-4九rad/s,则h（/）—8cos4n/+8.

故选：A.

【变式3.1］（2025高三・全国・专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深），（单位：m）与时间工（单

位:h）之间的关系可用函数/6~sin@x+3不5，＞0。＞04/＜涵似刻画，据此可估计当天12h的水深为（）

A.B.4mC.（5-千）mD.（5-W）m

【解题思路】根据函数图象可确定周期，即可求解根据最低点得4=3,即可.代入伍,£）求解e=-%从而

根据解析式代入『12即可得解.

【解答过程】由题图可得巴=18-6=12,则口=也

co6

当sin（/x+°）=-l时，），取得最小值，为-4+5=2,得4=3,

■:函数产3sin（'+夕）+5的图象过点（6,£）,

，3sin(-6+°)+5=3即sin%一.乂何杉，.*.^=3sin

当E2时，y=3sin「兀-，+5=-；+5=（

故选；A.

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【变式3.2]（24-25高一下•北京昌平・期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐L般

早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港

口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）的部分记录表.

时间0:003:006:009:0012:00

水深

5.07.55.02.55.0

值

据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：（）0的水深值为（）

A.3.75B.5.83C.6.25D.6.67

【解题思路】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得力数力，将表中最大值点坐标代入解析式可得仍

然后可得所求.

【解答过程】记时间为x,水深值为7，

设时间与水深值的函数关系式^y=f（x）=Asin偿>0,①>0）,

由表中数据可知，7=12,/2max=7.5j2min=2.5

r-r-2氧n/7.5-2.55,7.5+25.

所以6>=不=2，A=——=-,b=——=5,

IZOLLL

所以72=|sinRx+（p）+5,

又.尸3时，尸7.5,所以:sin（：x3+@）+5=7.5,

所以g+°=g+2%兀，即3=24兀/Z,

所以尸:sin^x+2Z；7r2+5=|sin^.v+5,

f（\3人|sin.+5=|sin：+5=+5=6.25,

即13:00的水深值大约为6.25.

故选：C.

【变式3.3]（24-25高一下•江西萍乡•期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培.时

钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20C,气温上升到约30C

开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花，该景区6时〜16时的气温y（C）随时间

x（时）的变化趋势近似满足函数尸10sin£「聚+25,则在6时〜16时中，赏花的最佳时段大致为（）

A.7.3时〜11.3时B.8.7时〜11.3时

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C.7.3时〜12.7时D.8.7时〜12.7时

【解题思路】由三角函数的性质结合条件即得.

【解答过程】当辽几⑹时，沁

84L24J

由尸1Osin《x-9+25=20,得sin=一$

所以江-］=-［行个说7（时）;

N4h3

由尸lOsin《X-2+25=30,得sin

所以时）.

o4n3

故在6时E6时中，观花的最佳时段约为8.7时□11.3时.

故选：B.

【题型4几何中的三角函数模型】

1J［例4］（24-25高三上•河北邢台・期末）如图，已知0A8是半径为2千米的扇形，OAUOB,。是弧

AB上的动点，过点C作CH04,垂足为从某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形OOE”组

成，且。〃=2。。，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（）

C.255万元D.250万元

【解题思路】设□4OC=a，心网,利用a表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最

多需要多少费用.

【解答过程】设।AOC=a,"口”,/,则O"=2cosakm,（9£>=cosakm,

所以矩形ODEH的面积S|=2cos%：<m2,

=x2><2

又S/joci2sina=2sin6zkin,

所以风景区面积S=2cos2a+2sina=2-2sin%+2sina=-2/sin^-^T+g）,

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当sina=:时，S有最大值:km2,故最多需要9100=250万元的修建费.

故选：D.

【变式4.1］（24-25高一上•山东烟台・期末）如图，直线48与单位圆相切于点O,射线OP从04出发绕着点。

逆时针旋转，在此过程中，记/OP=x（0〈xV7T）,射线。屋杀过的单位圆O内阴影部分的面积为S,贝！对函数S=/（x）

说法正确的是（）

A.当x=f时，SW

242

B.\Jx}/x2f使得/出片/诙？

C.对”□（（）,%都旬，+.”=危）+：

D.对“□（（）,》都有〃!7%"|+."=兀

【解题思路】根据题设可得危）=厂“必・且0令5,结合图分析各项的正误.

【解答过程】如下图（O。与OP重合）匚OCZ>2x,则阴影部分面积/（x）=：xix2x—；sin2x=x—；sin2x,且0<1-<兀,

所以/（5）=3一:sin7t=1A错：

由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在修办2使得月B错；

当X口«,,则/+xj=^+x-gsini7r+2x）=^+x+1sinZ#+/（x）,C错；

6+,=\~x~\sin（兀-2x）+T+x-；sin（兀+2x）=~x~；sin2x++x+；sin2.r=7t,D对，.

故选：D.

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【变式4.2](24-25高三上•河北保定•期末)如图，点尸为射线j=v5x与以原点。为圆心的单位圆的交点，

•动点在圆0上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转•圈.则该动点横坐树关于运动时间/

B・下sin佝-/

D.心改白-])

【解题思路】动点的运动速度为兀rad/s,射线产治八.对应的角度为归土故动点P行程的射线。P对应的角度为

加,得到答案.

【解答过程】动点的运动速度为日rrad/s,射线丫对应的角度为%号

故动点P行程的射线。尸对应的角度为三+加，故/0=cos-什],

故选：C.

【变式4.3](2025•山西二模)三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理@方称之为“毕

达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成•个大正方形，角a为直角三角

形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积筝与大正方形面积S2之比为1:25,则cos(a+半尸()

BT7N/2

D-F

10IOc・y

【解题思路】由题意得QE=DCcosa=EC-EH=DCsina-wDC,从而可得sina-cosa=,给等式两边平方化简后得

2sinacosa=g,从而可求出sina+cosQ='而cos(a+彳尸cosacos宁一sinasin上=-^(sin«+cosa),进而可求得答

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案.

【解答过程】由题意得。。=5£〃，因为。＞QCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCs\na-DC,

所以sina-cosa=/则1-2sin«cosa=&

所以2sinocosa=5,

所以(sina+cosa)2=1+2sinacosa=

因为aZI(O,：),所以sina+cosa=(,

所以cos(a+)=cosacos^-sinasiny

日.、

=--—(sina+cosa)

=_"=_运,

2510

故选:D.

模块二拟合法建立三角函数模型

»知识梳理

1.用拟合法建立三角函数模型

数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据而出值图.求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解

与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚40夕的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以

实现符号语言（解析式）与图形语言（函数图象）之间的相互转化.

题型归纳

【题型5用拟合法建立三角函数模型】

1J［例5】（24-25高一•全国•课后作业）某港口水深y（米）是时间/（OS咚24,单位：小时）的函数，下

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表是水深数据:

f（小时）03691215182124

J（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数尸ZsinM+b的图象

（）试根据数据表和曲线,求出尸月sinM+b（4>0,Q»0力>0）的表达式；

（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距

离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不

能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

【解题思路】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出4力，由两个最高点的之间的距离可以求出口，从而

可求函数的表达式；

（2）在当好日24的前提下，解不等式把11.5即可.

【解答过程】⑴根据数据，产鳖改，

<-A+b=!

口/=3,6=1（）,7^=15-3=12,

2n兀

匚吟=『

□函数的表达式为尸3sin.Z+10f0<,<24；；

（2）由题意，水深虔4.5+7,

即3sinJ什10^11.5（归S24）,

6

62

□-/□2E+［,2E+引，k=0,1,

666J

□f口［1,5］或汇［13,17］；

所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

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【变式5.1］（24-25高一下•湖北黄冈•阶段练习）某市某日气温MC）是时间《0WW24,单位：小时）的函数,

下而是该天不同时间的气温预报数据：

/（时）03691215182124

XC)15.714.015.720.024.226.024.220.015.7

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看，或函数产/sin（〉W+9）+5（力＞0,1吐0,|/|〈兀）的图

象.

⑴根据以上数据，试求函数户XsinW+E+b（4＞0,卬＞019|＜加）的表达式

（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温

不能低于23C,根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区

间表示）将该种商品放在室外销售？（忽略商品搬运时间及其他非主要因素）

【解题思路】（I）由［“艺求得b=20/=6,又由f=12,求得再由片3时，得到sin（：+o）=-1,求

1一月+0=142124

得少=-手，即可求得函数的解析式；

（2）令这23,得到sin*/—；）*解得11+24心也19+24%,WZ,进而得到答案.

【解答过程】（I）解：由的图象，可得｛丝［2，，解得人20,介6,

I一/十分=14

又由915-3=12,解得人24,所以片务,,

因为片3时，可得尸14,即6sin（着+夕）+20=14,解得sin（彳+^尸一1,

即；+^=4+2E,HZ,所以8=弓+，兀左DZ,

又因为|夕|〈兀，解得8=-手，所以尸6sin*L.）+20,f□儿241

（2）解:令於23,即6sin（争—与）+20223,可得sin（1L1星,

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+2kn<7;/-7<7+2kn,kQZ,解得11+24仁也19+24MTZ,

又因为汇（0,24）,所以当A=0时,可得11W也19,

所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在E/11,1夕时间段将该种商品放在室外俏售.

【变式5.2]（24-25高一下•江西景德镇•期中）“八月十八潮，壮观天下无.一苏轼《观浙江涛》，该诗

展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地

考察某港口水深），（米）与时间处二24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：

/（小时）03691215182124

y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1

该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该

曲线可近似地看成函数图象.

（1）试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；

（2）-•般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底

与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据■，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港

时间段的建议.

【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可；

（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【解答过程】（I）画出散点图，连线如下图所示：

设尸博…根据最大值3最小值7,可歹历程为：匕窝口｛3

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再由7=三=12,得cy=g,

Q6

y=3sing什10(0<t<24)；

6

(2)3sin7/+10-8>3.5Dsin7/>；.

662

vo<r<24,

：.Q<^t<47r,

6

.*.;<;/<7,或?+2让*二F+2〃

ooonno

解得1SW5,或133sl7,

所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的.

【变式5.3］（24-25高一上•福建福州•阶段练习）某港门的水深M米）是时间x（0SK24,单位：小时）的函数,

下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数产4sin（①x）+b的图象.

M时）03691215182124

y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

（I）试根据以上数据，求出产4sin（（yx）+6的表达式;

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与

水面的距离）为7米，那么该船在叶么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间

最多不能超过多长时间（忽略进出所用的时间）？

【解题思路】⑴根据数据，P艺:可得4=3,6=10,由六】5-3=12,可求s杉从而可求函数的表达

<-A+b=l6

式；

（2）由题意，水深八4.5+7,即3s:nl+1041.5（0ClxLJ24）,从而可求x」［l,5］或xEl［13,17］进而可得答案.

6

【解答过程】（1）根据数据，/震1）

匚力=3,Z?=10,

片15-3=12,

2兄JT

n

Ey=3sin-x+10

函数的表达式为,v=3sin，+10（0口、124）：

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（2）由题意，水深），口4.5+7,

即3sinEx+10E111.5（0UxL24）,

6

sin-x>|,

62

□劣口[2〃6~?,2而+巧，k=0,1,

666

□xD[l,5]n£AG[13,17]；

所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

课后作业（19题）

一、单选题

1.（24-25高一上•全国•课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经

【解题思路】最小值和最大值之间的横坐标相差;周期，由此可以知道答案.

【解答过程】因为最小值和最大值之间的横坐标相差;周期，

而乙在最低点，

所以经过;周期后，乙点与丁点相同.

故选：D.

2.（24-25高一上•全国•课后作业）某城市在某天的气温变化7（单位：°C）与时间/（单位：h）的关系可以

近似表示为h8sin借/-夕+18北凡2”,则下列说法中错误的是（）

A.当日最大温差为16°CB.中午十二点时达到当日最高温

C.午夜两点之后温度开始逐步上升D.早晚八点时温度相同

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【解题思路】结合函数解析式，由正弦型函数性质逐个判断即可.

【解答过程】最高温度为7=8+18=26口，最低温度为7=-8+18=10

所以当日最大温差为26-10=16口，A正确；

将7=26代入48sin俏/-2+⑶解得E4,B错误；

令2E—^^己人曰52而+晨女口2，解得24什20华24%+14,Q0时，即，口立,144

所以函数7在f□仅』4/上单调递增，C正确；

将「8/2=20分别代入原函数中解得71=18口,72=1811,即早晚八点时温度相同，D正确.

故选：B.

3.（24-25高一上.全国•课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m,对应塔高（旋

转中心距离地面的高度）为60m,扇叶逆时针方向每分钟旋转27转.若〃点为扇叶尖上一点，当M位于最

低点时开始计时，则知离地面的距离h（单位：m）与其转动时间/（单位：s）的函数关系式为（）（角速

度=圆半径转过的弧度/运动时间）

A.h=60-20cos-^/B.h=60+20cos—/

C.h=60-20sin^/D.h=60+20sin^/

ioio

【解题思路】依题意建系，设h（/）=/lsin（①什°）+b,理解题意可得44。的值，代入点（0,40）,求出9,结合选项

即得.

【解答过程」以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系.

由题意可得M点作匀速圆周运动的角速度为①=2?=*add，

可得/秒后M点旋转过的弧度为苧rad/s,

设函数h（/）=/sin（M+9）+。，由题可得4=20,6=60,

所以h（1）=20sin（知+缶+60,当片。时，h=6（）-20=40,

代人可得sin°=-l,则得0=-：+2任，左rZ,

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贝ijh（/）=20sin（得Lg）+60=60-20cos/.

故选：A.

4.（24-25高一上•全国•课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀

速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm,粒子旋转一周需要的时间为

2s.若从4点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与x轴所在平面的距离h与时间/会0）的函数关系式可以

C.h=3sin(n/-

【解题思路】根据h表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD.

【解答过程】由题意知，h表示距离为非负数，A,C错误；

粒子从起始位置开始运动，至h轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小，

h=|3sin,+；）|中，当汇“。寸，吟□（/，函数单调递增，满足题意，B正确;

中，当归■，浦-:匚（一：,0）,函数单调递减，D错误.

故选;B.

5.（24-25高三上•北京•阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦♦,也可称为“葫芦曲线它的性质是

每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为6=（2-；闫）|sincM仑0,

其中国表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足①匚。,3》经过点兀,》.则该条葫芦曲线与直线-卜交

点的纵坐标为（）

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【解题思路】根据曲线方程上的点历杳兀,源得①=2,将尸）代入计算可得纵坐标.

【解答过程】将点“以"弋入葫芦曲线的方程可得（2-泪）卜i吟.V

即卜in5司=1,由⑦。,3）可得①=2,

因此曲线方程为|y|=（2-；目）|sin2x|,

当户卜时,可得回=（2T用）卜in2刷=（2一凋冰in我卜卜词哼

所以交点的纵坐标为±?.

故选：C.

6.（2025高一上•全国・专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼

上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图3）.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过

程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移.y（单位：m）和时间/（单位：s）的函数关系为

y=Win（Q）t+（p）（Q）＞0,加］＜R）,如图（2）.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置/（-1勺）的时间分

别为“，3，且“+「2=2,『2+，3=6,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m

的总时间为（）

【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期.最后计算总时间即可.

【解答过程】由题意得与“+/2）=1，*2+6尸3,

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故函数尸sinGx+〃〃X）,"/<兀）的周期为7=2x（3T尸4,所手=：,可得尸sing/+“

令sin（1+->0.5,解得软+：-：（p<t<4k+g-Z,

故总时间为4%+^―-（p—（4k+1—-（p）=；,

3Jt3R3

综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于O.5m的总时间为卜.

故选：D.

7.（2025高三•全国・专题练习）如图，长方形44C。的边/伤=2,801,。是的中点.点看边BC,C。与

。力运动，记ZI80P=x.将动点P到48两点距离之和表示为x的函数危），则产心）的图像大致为（）

【解题思路】借助排除法，计算/■夕、/版排除C、D,计算时的情况可得》口“，0时图像不是线段，

可排除A.

【解答过程】由题意可得/偿=彼+/=2於，/般=庐西4=乃+1,

故〃9勺岁，由此可排除C、D；

当时点尸在边BC上，ra=tam-,以=〃屏+?屏=/l+tan2x,

所以./&>tanA+i4+tan2x,可知xJ他/时图像不是线段.可排除A,故选B.

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故选：B.

8.124-25高•上•全国・单元测试)如图，,个大风车的半径为6m,12min旋转-周，它的最低点飞离地面2m,

风车翼片的一个端点P从飞开始按逆时针方向旋转，则点尸离地面距离h(m)与时间^而”之间的函数关系式

是()

A.h(z)=-6sin-/+6B.hQ)=-6cost+6

66

C.hQ)=-6sin，+8D.h(/)=-6cos》+B

66

【解题思路】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中

相应系数，即可得解.

【解答过程】根据题意可设hQ)=/cosM+8,则/<0,8>0.LllZmin旋转一周，

□"=12,口①=：.

36

［最大值与最小值分别为14,2,

□｛一驾飞、解得力=-6,6=8.

IA+B=2

h")=-6cos"+8.

故选：D.

二、多选题

9.(24-25高一上•全国•课后作业)(多选)弹簧振子以0为平衡位置，在8、C两点间做简谐振动，B、。相

距20cm,某时刻振子处在4点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有()

A.振动的振幅为10cm

B.周期7=ls

C.弹簧振子在5s内通过的位移为200cm

D.弹簧振子在5s内通过的路程为200cm

【解题思路】利用简谐运动中振幅、周期、位移等概念一一分析即可.

【解答过程】由题意知振幅的2倍为20,则振幅为10cm,故A正确；

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0.5s振子首次到达C点，即£=05所以7=1,故B正确；

所以5s内振子通过的路程为奈x20=200,故D正确：

5s对应5个周期，所以振子又回到B点，位移为0cm,故C错误.

故选：ABD.

10.(24-25高一下•湖北•期中)如图，摩天轮的半径为5