第一节 实数-2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块一教与式

第一讲实数

知识梳理夯实基础

知识点1:实数的分类

正整数

整数零•"无理数的几种常见形式？

有理数负整数

!⑴开方开不尽的数的方根，如行，正，JH等；!

实数正分数’及化简后含的数；

分数有限小数或无限循环〃数|(2)Jin

负分数-(3)构造型的数，如0.1()100100()1…(相邻两个!

|1之间依次多一个0)等；

无理数负无理数无限不循环小数I

:(4)某些三角函数值，如sin60s,cos450等.

‘正实数!।

实数零J

负实数

知识点2:实数的相关概念

］、数轴

(1)数轴的三要素：原点、和。例:

原点正方向

-4-3-2-1014

单位长度

(2)实数和数轴上的点。

2、相反数

(1)定义：只有不同的两个数互为相反数。

(2)。的相反数是,特殊地，0的相反数是—o

(3)实数〃，Z?互为相反数=〃+/?=()。

(4)互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离

3、绝对值

(1)定义：在数轴上，表示数〃的点到的距离，叫做数。的绝对值,

记作时O

(〃>。)

若。20,则史

(2)时=«(〃=())

若4SO,则同二

(〃<0)

4、倒数

(1)定义：如果两个实数的乘积为,那么这两个实数互为倒数。

(2)实数明〃互为倒数＜=＞访=1。

(3)非零实数。的倒数为，0没有倒数，倒数等于它本身的数

是O

知识点3:科学计数法

科学记数法的表示形式为,其中1引4＜10,〃为整数。

用科学记数法表示绝对值较大的数：当原数的绝对值大于等于10时，n等

于原数的整数位数减去1;

用科学记数法表示绝对值较小的数：当原数的绝对值小于1时，n是一个

负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面零的个数（含整数位上的

零）。

■aaaaaaI

I温馨提示：

j将含有计数（量）单位的数字用科学记数法表示时,应先把计数单位转化为数字，I

!把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示。常考的计数单位j

I有：1千二10,，1万二10,，1亿=1（）8；常考的计量单位有：lmm=10*m,l///n=10~6/n,j

|l〃〃z=10一"〃2等。.

知识点4:近似数

1、定义：一个与很接近的数叫做近似数。

2、精确度：一般日“四舍五入”法取近似数，“四舍五入”到哪一位，就说

这个近似数精确到哪一位。

知识点5:平方根、算术平方根与立方根

名称定义性质

一般地，如果一个数的

一个正数。的平方根有两个，它们互

平方等于。（〃之0）,那么

平方根为__________；0的平方根是0；负数没有平

这个数就叫做。的平方

方根。

根。

算术平当。之0时,是有意义的，一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术

方根它表示〃的算术平方根.平方根是____，即C二—0

一般地，如果一个数的正数的立方根是一个正数；负数的立方根是

立方等于。，那么这个数一个负数；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做。的立方根.性。

易失分点&的“双重非负性”

右具有双重非负性:①被开方数a必须是非负数，即。幺）；②&是非负数，即

4a20。

知识点6：实数的运算

1、加、减、乘、除、乘法的运算法则

(1)加法法则：

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝

对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加和为零；

一个数与零相加，仍得这个数。

(2)减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

(3)乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对喧相乘；

任何数与。相乘仍得0。

(4)除法法则：

除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

(5)几种常见的运算：

乘方：an=a-aaIn个“相乘)

零次累：任何非零数的零次寨都为1,即a°=l(a，O)

T的奇、偶次霖:T的偶次黑为1,奇次嘉为-1。

负整数指数累：任何不为零的数的-p(p为正整数)次嘉，等于这个数p次嘉的倒

数；特别地，一个不为零的数的-1次嘉是其倒数。即。心=4(。=0，〃为正

a

整数)，

2、运算律：.

(1)加法运算律

加法交换律：a+h=b+a;

加法结合律：(〃+〃)+c=a+(〃+c)o

⑵乘法运算律

乘法交换律：ab=ba;

乘法结合律：•c=a•(be)；

分配律：a(Z?+c)=a/?+ac。

3、实数的混合运算顺序

(1)计算每一小项的值(如零次幕、负整数指数辕、开方、绝对值、乘方等)；

(2)根据原式中的运算符号进行实数的混合运算(先乘除，后加减，有括号的先算

括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行)；

⑶写出算式的结果。

知识点7：实数的大小比较

数轴法将两个数表示在同一数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大。

正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大

类别法

的反而小。

设是两个任意实数，则〃一6>()=々>/?；a-b=O<^>a=b\

差值法

a-h<0<=>a<h

平方法若心b20,则右〉6（用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较）.

作商法若b>0,则a>b；若b<0,则水b.

h

估算法对任意两个正实数a,b,先估算出a,匕两数的范围，再进行比较.

把要比较的两个数进行适当放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较

放缩法

两个实数大小的目的.

直击中考胜券在握

31

-----7t-----

1.实数tan45。，V8,0,5,炳,3,sin600,0.3131131113...（相邻两个3之间

依次多一个1）,其中无理数的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

试题分析：掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有71

的数，结合题意判断即可.根据无理数的定义可得无理数有：-，，sin60%

0.3131131113...（相邻两个3之间依次多一个1）,共3个

考点：无理数

2.（2021•山东•胶州市初级实验中学一模）网的相反数（）

A.2B.-2C.±2D.g

【答案】B

【分析】

先计算出阪=2,再求出2的相反数即可.

【详解】

解：自痒2,2的相反数是-2,

团相的相反数是-2,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了立方根和相反数，求出酶=2是解答此题的关键.

3.（2021•广东•珠海市文园中学三模）实数-3的绝对值是（）

A.-3B.+3C.3D.--

3

【答案】C

【分析】

直接利用绝对值的性质分析得出答案.

【详解】

解：实数-3的绝对值是3.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键.

4.（2019•山东•宁津县育新中学七年级阶段练习）下列说法①-5的绝对值是5；（2）-1

的相反数是1；③。的倒数是0；④64的立方根是±4,⑤g是无理数，⑥4的算术平方

根是2,其中正确的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根据绝对值、相反数、倒数、立方根、无理数、算术平方根的概念及性质逐一进行分析即

可得.

【详解】

①-5的绝对值是5,正确；②-1的相反数是1,正确；③0没有倒数，错误；④64的

立方根是4,错误，⑤g不是无理数，是有理数，错误，⑥4的算术平方根是2,正确，

故选B.

【点睛】

本题考杳了绝对•值、相反数、倒数、立方根、无理数、算术平方根等，熟练掌握各相关概

念以及性质是解题的关键.

5.（2022•全国•九年级专题练习）下列各数：-4,-2.8,0,|-4|,其中比-3小的数是

（）

A.-4B.|-4|C.0D.-2.8

【答案】A

【分析】

根据正数比负数人，正数比。人，负数比。小，两个负数中，绝对值人的反而小解答即

可.

【详解】

解：能1-40=4,4>3>2.8,

（2-4<-3<-2.8<0<（3-40,

回比-3小的数为-4,

故选：A.

【点睛】

本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键.

6.（2020•陕西•一模）■三的立方根是（）

9

D.——

16

【答案】A

【分析】

如果一个数x的立方等于。，那么x是。的立方根，根据此定义求解即可.

【详解】

644x4x4I4）II4J

回--3的立方等于-7三7

464

回-2三7的立方根等于-工3

644

故选A.

【点睛】

此题主要考查了一个数的立方根，解题时先找山所要求的这个数是哪一个数的立方，由于

开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根.需要注意的是立方根与原数

的性质符号相同.

7.（2021•四川凉山•中考真题）商的平方根是（）

A.±3B.3C.9D.±9

【答案】A

【分析】

先求得如=9,再根据平方根的定义求出即可.

【详解】

而=9,

9的平方根是±3,

故选A.

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，能熟记算术平方根的定义的内容是解

此题的关键.

8.（2021•内蒙古赤峰•中考真题）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示.如果

。+〃=0,那么下列结论正确的是（）

---------1---------------；——1----------►

abc

A.同>同B.a+c<0C.abc<0D.=1

【答案】C

【分析】

根据a+b=0,确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答.

【详解】

解：国a+b-O,

回原点在。，b的中间，

如图，

---------1---------------!——'----------►

abc

由图可得：|a|V|c|,a+c>0,abc<0t£=一1,

故选：C

【点睛】

本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置.

9.下面不等式正确的是（）

C.(—8)2<(—7)2D.-0.91<-I.l

【答案】B

【分析】

根据正数大于负数、两负数相比较，绝对值越大则值越小，结合选项即可作出判断.

【详解】

解：A、|42|<|-34|,故《9>-3=，故本选项错误；

3434

13j3

B、—<—»故|-二IVI-77I,故本选项正确；

611

C、(-8)2=64,(-7)2=49,故(-8)2>(-7)2,故本选项错误；

D、|-0.91|=0.91,|-1.1|=1.1,0.9K1.1,故故本选项错误.

故选B.

【点睛】

此题考查了有理数的大小比较，属「基础题，解答本题的关键是掌握正数大于负数、两负数

相比较，绝对值越大则值越小，难度一般.

10.（2019•天津滨海新•中考模拟）若2=回，b=|-6|,c=则下列关系正确的为（）

A.a>h>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

先估算出病和病的取值范围，再进行比较即可得答案.

【详解】

025<30<36,

05<V30<6,HP5<a<6,

0b=H,

13b=6,

064<65<125,

04<^65<5,即4<c<5,

0b>a>c,

故选C.

【点睛】

本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键.

11.（2019•福建南安•中考模拟）已知”=4+2石，则以下对|m|的估算正确的（）

A.2<|m|<3B<3<|m|<4C<4<|m|<5D.5<|m|<6

【答案】A

【分析】

首先根据完全平方根式，将m2展开可得m的绝对值的大小.

【详解】

：0m2=4+273=（5/3+1）2,

团m=±（5/3+1）,

即m|=6+l，

01<73<2,

02<|n?|<3.

故选4.

【点睛】

本题主要考查学生的的完全平方展开式的用法，关键在于将实数分成两个数的平法和.

12.设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，d是倒数等于自身的

有理数，则a・b+c・d的值为（）

A.1B.3C.1或3D.2或-1

【答案】C

【解析】解：由题意得，。=1,b=T,c=0,d=±l,

当c/=l时，—£/=1—（—1）+0—1=1,

当d=—1时，a—力+c—"=1—（-1）+0—（-1）=3,

故选Co

13.（2020滨州中考）冠状病毒的直径约为80〜120纳米，1纳米==1.Ox109米，若用科

学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）

A.1.1x10-9米B.LlxlCr8米c.1.1x10-7米D.1.以10.6米

【答案】C

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio-n,与较大数的科学记

数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

【详解】

解：110纳米=110x109米=1.1X107米

故选：C.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axion,其中14|a|V10,n为由原数左

边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

14.第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据

218000000用科学记数法表示为（）

A.218xl（rB.21.8x107C.2.18x10sD.0.2l8xl09

【答案】C

【分析】

用科学记数法表示较大的数时，•般形式为axIO”，其中1引《＜10,。为整数，据此判断

即可.

【详解】

解：218OOOOOO=2.18xl（）x,

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为axicr,其中1引4＜10,确定a

和〃的值是解题关键.

15.（2021•江苏仪征•八年级期中）下列说法正确的是（）

A.近似数4.80精确到十分位

B.近似数5000万精确到个位

C.近似数4.5T万精确到0.01

D.L15X104精确到百位

【答案】D

【分析】

一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，带有单位的近似数与

用科学记数法表示的近似数要由最后一位在原数中的位置确定，再逐一分析各选项从而可

得答案.

【详解】

解：近似数4.80精确到百分位，故A不符合题意；

近似数5000万精确到万位，故B不符合题意；

近似数4.51万精确到口位，故C不符合题意；

1.15x104精确到百位，正确，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是近似数的精确度问题，掌握近似数的精确度是解本题的关键.

16.（2021•山东胶州•八年级期中）比较大小：1一匕叵.（用”＞〃，"V"或”=〃填空）

33

【答案】＞

【分析】

先求出而＞3,然后利用作差法得到2-纪叵=姮匚＞0,即可得到答案.

333

【详解】

解：032=9＜（VH）2=11,

团招＞3，

⑸25-VHVH-3

团---------=-------＞0N»

333

团2＞百

33

故答案为：>.

【点睛】

本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法.

17.（2021•浙江•杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若实数a,b互为相反数，c,

d互为倒数，e是疝的整数部分，，是石的小数部分，则代数式7^拓+&-«+/的值

是.

【答案】4-

【分析】

根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可.

【详解】

解.：团实数。、b互为相反数，

国a+b=0,

比、d互为倒数，

E）cd=l,

03<Vi2<4,

回屈的整数部分为3,e=3,

02〈百V3,

同石的小数部分为6-2,即「6-2,

+b+\[cd-e+f=0+1-3+>/5-2=

故答案为：4-75.

【点睛】

本题考查相反数、倒数、无理数的估算，掌握相反数、倒数的意义，以及无理数的整数部

分、小数部分的表示方法是解决问题的关键.

18.（2021•全国•八年级专题练习）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A

两点对应的实数分别是石和1,则点B对应的实数为

B.4C

0145

【答案】2-石

【分析】

根据对称的意义得到AC=AB=V5-1,可得答案.

【详解】

解：回点C与点B关于点A对称，AC=>/5-l,

0AB=75-1,

团点B对应的数是1-（石-1）=1-石+1=2-6

故答案为：2-石.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出点B对应的实数是解题关键.

19.（2021•四川广元•中考真题）如图，实数屈,m在数轴上所对应的点分别为

A,8,C,点6关于原点。的对称点为。.若m为整数，则m的值为.

••・••・A

DCAOB

【答案】-3

【分析】

先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

【详解】

解：回点8关于原点。的对称点为。，点8表示的数为相，

回点。表示的数为-历，

购点表示-岳，C点位于4、。两点之间，

团-\[\5<m<-5/5，

团m为整数，

例m=—3:

故答案为：-3.

【点睛】

本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的

整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方

法.

20.（2021•江苏涕阳•七年级期中）数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四

个数a,b,・a,-b的大小关系为一（用“V”号连接）.

【答案】b<-a<a<-b

【分析】

根据a与b的关系，在数抽上表示它们的位置，然后根据在数轴上右边的数比左边的数大

解答即可.

【详解】

国a>0,b<0,a+bVO,

团四个数a,b,・a,-b在数轴上的分布为:

b-a0a-b

0b<-a<a<-b.

故答案为b<-a<a<-b.

【点暗】

本题考查了相反数在数轴上的分布特点，实数与数轴的关系，以及利用数轴比较实数的大

小，根据a与b的关系，在数轴上表示它们的位置是解答本题的关键.

21.（2021•丽水中考）计算：|一2021|+（-3）°-〃.

【答案】2020

【分析】

先计算绝对值、零指数呆和算术平方根，最后计算加减即可；

【详解】

解：|-2021|+（-3）0-^

=2021+1-2,

=2020.

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则.

22.（2021•金华）计算：喜-4疝145。+|-2|.

【答案】1

【分析】

利用乘方的意义，二次根式的化简，特殊角的函数值，绝对值的化简,化简后合并计算即可

【详解】

解：原式=-1+2&-4x变+2

2

=-1+20-20+2

=1.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运

算法则化简是解题的关键.

23.（2021•全国•九年级专题练习）计算：|1一正|-241145'+（3.14-九）“一0"、.

【答案】-4

【分析】

根据绝对值的性质，特殊甬的三角函数值，零次累，负整数指数系进行运算即可.

【详解】

|1-V2|-2sin45°+（3.14-^）°一（：

=V2-l-2x—+1-4

2

=72-1-72+1-4

=-4

【点睛】

本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幕，负整数指数第，熟知以上运算

是解题的关键.

24.（2019•四川达州•中考真题）a是不为1的有理数，我们把」一称为a的差倒数，如2

1-a

的差倒数为」=-1,T的差倒数了4不=；,已知4=5,%是4的差倒数，的是用的差

1-2।一2

倒数，处是勺的差倒数”依此类推，a2。力的值是（）

【答案】D

【分析】

根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用

2019除以3,根据余数的情况确定出与出oi9相同的数即可得解.

【详解】

解：*/«|=5,

I4

回数列以5,一^三个数依次不断循环,

2019+3=673,

4

•'•«2oi9=«5=-

故选D.

【点睛】

本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环

是解题的关键.

25.观察下列等式：

211

第一个等式：

1l+3x2+2x2?2+12?+l'

________2______