2026年中考数学二轮复习：高效培优练06 圆的证明与计算原卷版

F-V-

专题06圆的证明与计算

A题型01圆的基本性质应用/

》技巧提炼

1.概念关联：利用“同圆或等圆中，弧相等Q弦相等O弦心距相等O圆心角相等”的连锁关系，将

弧、弦、角的问题互相转化。

方法

2.圆周角定理：直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；圆内接四边形对角互补、外角等

于内对角。

然

3.辅助线技巧：遇直径连圆周角（得直角）；遇弦连圆心与端点（得等腰三角形）；遇圆内接四

边形连对角线（转化角关系）。

易错

1.忽略“同圆或等圆”前提：如“相等的弧所对的弦相等”需强调“同圆或等圆”，否则不成立。

2.圆内接四边形外角与内对角混淆：外角等于“与它相邻内角的对角”，而非任意内对角。

辨析

♦例题剖析

【典例01】（2026•湖南长沙一模）如图，相为。0的直径，弦CD与4B交于点、E,若EO=EC,

ZCOE=50°,则N8O。的度数为（）

【典例02】（2026•山西太原•一模）如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心的圆与反比例函数y=3

x

在第一象限的图象交于48两点.已知点4的横坐标为1,点8的横坐标为G，连接0408,则标的

长为.（结果保留兀）

♦巩固训绳，

【训练01】（2026•湖北襄阳二模）如图，43是。。的直径，弦CD交AB于点F,CEJ.AB于点、E,

若/尸=2,BF=8,CF=4,则CE的长为（）.

【训I练02】（25-26九年级上•湖北黄冈•期中）如图，己知力（4,0）、8（0,3）,以点4为圆心，力4的长为

半径画圆，交N轴正半轴于点。，则线段力C的长度等于

B

O

【训练03】（25-26九年级上江苏南通期末）如图，在四边形48CO中，/ACB=/ADB=90°,

DE:BE=3:5,sinZDAE=g,则tan/BQC=

A题型02切线的判定与性质/

1.切线判定：

（1）有公共点：连半径，证垂直（如“切点处的半径与切线垂直”）；

方法（2）无公共点：作垂线，证半径（如“圆心到直线的距离等于半径”）。

2.切线性质：切线垂直于过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于

总结切线的直线必过圆心。

3.辅助线：必连“切点与圆心”，构造直角三角形（如切线与半径形成直角，用于勾股定理计

算）。

1.判定方法混淆：“有公共点”时需证“垂直”，“元公共点”时需证“距离等于半径”，二者

易错

不可颠倒。

2.忽略“切点”：切线性质中“垂直”仅针对“过切点的半径”，若半径不过切点，无法用切线

辨析

性质。

♦例题物

【典例01］（2026•江苏苏州•模拟预测）如图，48是。。的直径，弦CQ与48相交于点£.过点。作

DF//AB,交C力的延长线于点=CZ),N/=67.5。.

B

户D

(1)试判断直线。户与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若DE・DC=2,求。。的半径.

【典例02](2026•广西南宁•二模)如图，8。是△力8c的外接圆。。的直径，线段8E与。。相切于点

R,连接CE,交BD,/1B于有、F,G,NEBG=/BFE.

至D

匕B匕B

图1图2

(1)求证：CG1/18；

(2)求证：ACBC=BDCG；

(3)如图2,若AC=R、AG=y!5BG4BC=60,求阴影部分的面积.

♦巩固训练♦

【训练01】(2026•安徽芜湖•一模)如图,已知48是。。的直径，点。为。。上一点，过点C的切线交

助延长线于点尸，且尸C=BC.

(1)求证：AP=AC；

(2)过点。作CO〃48交。。于点。，若48=8,求CO的长.

【训1练02】(2026・贵州遵义一模)如图，48是O。的直径,力上是。0的弦，过点。作仪交4E

于点尸，连接力C交€>0于点D,若CE=CF.

⑴求证：是。。的切线：

(2)连接A。，过点4作4M〃BE交OO于点M,连接&W,根据题意，补全图形，猜想四边形/化4M的

形状，并说明理由；

(3)若力。=3,。尸=加，求CQ的长.

【训练03】(2026•云南楚雄•一模)如图，C是以为直径的。。上一点，8_148于点。，过点B

作。。的切线，与力。的延长线相交于点E,〃是。。的中点，连接力〃并延长与朋相交于点G,连接CG

并延长与的延长线相交十点〃，。。的半径为3.

(1)若4。=5,求点。和点"间的距离；

(2)求证：C”是。。的切线；

(3)当8。=2时，请判断下列结论哪个成立？①/G>CG=8G,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,

并说明理由.

A题型03垂径定理的应用<

》技巧提炼

1.核心模型：垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，常构造“弦心距、弦长一

半、半径”的直角三角形(勾股定理)。

方法2.步骤：

(1)作弦心距(过圆心作弦的垂线)：

总结Q)用垂径定理得“弦长一半”；

(3)勾股定理列方程(半径2=弦心距2+弦长一半2)。

3.实际应用：将实际问题转化为圆的问题(如拱门的最高点为圆心，地面弦的中点为垂足)，用

垂径定理求半径。

1.垂径定理的“平分弦”需排除“弦为直径”：若弦是直径，平分它的直径不一定垂直于它。

2.弦心距的位置：弦心距是“圆心到弦的距离”，而非“圆心到弦端点的距离”（后者是半径）。

♦例题剖析,

【典例01】（2026•湖北随州一模）如图，。。的直径48垂直于弦C。，垂足是£,已知

NC4B=22.5。,OE=g，贝!C。的长为（）

【典例02】2026•陕西榆林•一模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章记

载了计算弧田面积所用的经验公式.如图，OA.08、OC是。。的半径，OCt4B于点D,《方田》

章计算弧田面积所用的经验公式：S阴影=g（/18・CQ+a）2）,若48=8,。4=5,按照这个公式计算，S阴影

的值为.

♦巩固训练

【训练01】（2026・广西南宁•二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分.

如果M是€>0中弦CO的中点.经过圆心。交。。于点£,并且CO=4m,£W=6m.则。。的半

径为（）

5

A.—mB.3mD.4m

2

【训练02】（2026•陕西西安二模）如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭

山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路.已知隧

道的最大高度48为8m,隧道入口宽CO为10m,该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆

心为。，则这个圆的半径是.

【训练03】（2026・浙江温州•模拟预测）如图，48为。。的直径，弦CO1月8于点〃，点E为。。上

一点，CD=BE＞连接。上交48于点尸.若力〃=1,48=10,则“E的长为

A题型04圆周角定理的应用/

》技巧提炼

1.角度转化：将圆周角转化为圆心角（乘以2）,或利用“同弧所对圆周角相等”转移角。

方法

2.直径的应用：直径所对圆周角为直角，常用于构造直角三角形（如“直径+圆周角”得直角，用

于勾股定理）。

总结

3.分类讨论：非直径弦所对圆周角有两种情况（互补），需考虑全面。

易借1.漏解：如“弦AB所对的圆周角”需考虑“弦AB在圆心的同侧或异侧”，两种情况角度互补。

2.圆心角与圆周角的关系混淆：圆周角是圆心角的一注，而非两倍（如“弧AB所南圆心角为

辨析

100°,则圆周角为50°”）。

♦例题剖析♦

【典例01】（2026•湖北十堰一模）如图，。力是。。的半径，分别以点力和点。为圆心，大于;。力的

长为半径作弧，两弧交丁河，N两点，作直线M/V交O。丁点C,连接CO并延长交OO丁点氏连接

BA,则/48c的度数是（）

C.40°

【典例02］（2026•安徽蚌埠一模）如图，△/水?内接于。。，2NOBC=90°+NOAB.

⑴求证：4=2乙EC、

(2)若CEA.OB交OB于E点,求证：AB=2CE.

巩固训练

【训练01］（2026•山西太原一模）如图，相是。。的直径，点C,。是上位于异侧的两点,

连接力C,AD,CD.若NO4=36。，则/4QC的度数为（）

D

A.36°B.72°C.54°D.64°

【训练02】（2026•安徽阜阳一模）如图，48,。是。。上不同的三个点.若NOBA=72。,则NC的度

数为______

【训练03】（2026•安徽阜阳一模）如图，在△力8c中，480=90。，"=8，8C=6,A/是平面内

的一动点，ZBAM+ZABM=90°f连接CM,N是力。的中点，连接MN,则下列结论错误的是（）

A.CM的最小值是2万-4B.CM的最大值是2JF+4

C.MN的最小值是1D.点N到4"的最大距离为2石

・题型05圆与多边形综合《

分技巧提炼

1.圆与三角形：三角形的外接圆（外心是三边垂直平分线交点）、内切圆（内心是角平分线交

点）；直径所对圆周角为直角（如“直角三角形的外接回直径是斜边”）。

方法

2.圆与四边形：圆内接四边形（对角互补）；外切四边形（对边和相等）；特殊四边形（如菱形

内接于圆，则菱形是正方形）。

总结

3.辅助线：连对角线（转化角关系）：作高（构造直角三角形）：连半径（用切线或圆周角性

质）。

1.外心与内心混淆：外心是“外接圆圆心”（到三个顶点距离相等），内心是“内切圆圆心”（到

易错

三边距离相等）。

2.特殊四边形的条件：如“菱形内接于圆”需满足“对角线相等”（即正方形），否则无法内接

辨析

于圆。

♦例题剖析

【典例01］（2026・广西南宁•一模）如图，四边形力4CQ内接于。。，若乙1=68。，则/8CQ的大小为

A.92°B.112°C.132°D.142°

【典例02］（2026•湖南张家界•一模）如图，四边形4?。。内接于力。1c的延长线相交于点£

力C,8。相交于点尸，G是44上一点，GD交AC于点、H,LAB=AC,BG=DG.

（1）请直接写出/4?。与/。8£,/£的数量关系：；

（2）求证：AH2=HF2+HFFCx

（3）若tan/48C=逐，AD=2DE,CD=&,求的周长.

♦巩固训练，

【训I练01】（2026•山西运城一模）窗花是我们节日装饰的元素之一.如图，这是一个花瓣造型的窗花

示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，前所

在圆的圆心C恰好是△力的内心，且04=2,则图中阴影部分的面积为（）

A.-B.—it—2\/3C.—兀-2A/JD.4H-65/3

9333

【训练02】（2026,安徽淮南•一模）如图，四边形/4C。内接于0。,£是5c延长线上一点，为。。

的切线，DC=DE.若NCDE=50°,。0的半径为2,则就的长是

【训练03】（2026•湖南长沙一模）如图1,4c是。。的直径，力。是。。的弦，/力。。的平分线

交。。于点8,交4C于〃，连接48、CB.

图1图2图3

AD2CD2ADCDDMDM

⑴填空:------r-I------r-------F----------+----;（直接将结果

AB'CH­BDBDADCD

写在相应的横线上）

（2）如图2,过点。作。N/4C,垂足为M若AD=2小CN,求的值;

⑶如图3,记DC=m,DA=nt

①试用含小，〃的式子表示

②若点/是“CQ的内心，试用含加，〃的式子表示黑.

A题型06圆的综合计算4

》技巧提炼

1.弧长与扇形面积：

方法

（1）弧长公式：/=等（〃为圆心角度数，厂为半径）；

180

（2）扇形面积公式：S=竺日=L,,（/为弧长）。

总结

3602

2.圆锥与扇形：圆锥的例面展开图是扇形，扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长

（2加・=乙史，/•为圆锥底面半径，/为母线长）。

180

3.动态问题：用“函数思想”，设变量（如角度、时间），表示弧长或面积，求函数关系。

易错1.公式混淆，避免“弧长用面积公式”或“扇形面积用弧长公式”。

2.圆锥参数的对应：圆锥底面半径八母线长人扇形圆心角〃的关系.需明确“扇形半经是母线长”

辨析“扇形弧长是底面周长”。

♦例题剖析

【典例01】（2025•云南临沧•一模）如图，。。是△力8c的外接圆，AC是。O的直径，平分/月4。

交。。于点O,连接40,过点。作。尸〃4C交的延长线于点尸.

⑴求证：OQ是0。的切线.

（2）若筋=石，求证：四边形4。尸。是平行四边形・

（3）设力。与8。交于点G,若。。的半径为5,AB=6,求G。的长.

【典例02】（2023•广东阳江•一•模）如图，在矩形48c。中，AB=C，40=3,连接4C，点芯为力。

上一个动点，点尸为8c上一个动点，连接4区EF,且始终满足48E=N8收，则线段8尸的最小值

为（）

A.1B.-|

♦巩固训练〉

【训练01】（2023•内蒙古赤峰•中考真题）如图，43是OO的直径，。是O。上一点过点C作CD_L/1A

于点E,交。。于点。，点尸是48延长线上一点，连接。尸，AD,NFCD=2NDAF.

⑴求证：C尸是。。切线；

2

（2）若力尸=10,sinF=—,求CQ的长.

3

【训练02】（2024•浙江宁波•模拟预测）在RS相。中，已知乙4c8=90。，CZ）=1jC,过力、D,B

三点画圆0,"'是直径，的平分线恰好过圆心。，交6。于点E,且OC_L8O.

⑴求证：ZBAF=45°.

(2)求tanZJ5D的值.

（3）若OE=1,CB的延长线与"'的延长线交于点，，直接写出8〃的长.

【训练03】（2023•四川德阳•中考真题）如图，。。的直径48=10，DE是弦,ABIDE,

CEB=EBD，sinZ^C=|,力。的延长线与的延长线相交于点尸，的延长线与。£的延长线相

交于点G,连接CG.下列结论中正确的个数是（）

①/DBF=3/DAB；

②CG是。。的切线；

③&E两点间的距离是加；

④成邛.

cG

E

AB

O

D

F

A.1B.2C.3D.4

题型强化训练

一、单选题

1.（2025•江苏南京・中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

2.（2025•山东东营•中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左

视图均为边长是l（）cm的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（）

A.50cm2B.50^-cnrC.100cm2D.100^-cm2

3.（2025•四川・中考真题）如图，点4B,C在OO上,若/。=64。,则4=()

A.16°B.32°C.48°D.64°

4.（2021•山东淄博•中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如

图，弦力8_LCO,垂足为点。，8=1寸，/B=l尺（1（）寸），则圆的直径长度是（）

c

A.12寸B.24寸D.26寸

5.（2025•山东滨州•中考真题）如图，E、F、G、〃四点分别在正方形力8。的四条边上,

AF=BG=CH=DE.若AB=17,EF=13,则△GC〃的内切圆半径为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

6.（2025•山东滨州•中考真题）如图，点力，B,C,。在。。上，OC工AB,4toe=60。，则sin/BD。的

值为

7.（2025•山东东营•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点胡、N,与y轴相切于点

0,点夕的坐标为（5,-3）,则点N的坐标为.

8.（2025•江苏南京•中考真题）如图，扇形。力8的圆心角为260。，若点P在该扇形内，则//P8的度数的

范围是

o.

9.（2025•陕西・中考真题）如图，点48CQ在真。上,若/1+/2=100。，则的度数为—

10.（2025•四川攀枝花•中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形

均匀分割成〃个“小扇形”（如图1）,扇形的面枳就是这些“小扇形'’的面枳和，当〃尢限大时，这些“小

扇形”可以近似的看成底边长分别为4,J…，，高为〃的“小三角形”，它们的面积和为

……即扇形面积S=；＞.

请根据这样的方法继续思考：如图2,扇形OOG与扇形OE广有共同的圆心角，且瓠长分别为3和7,

DE=4,则图中阴影部分面积是.

图1图2

三、解答题

11.（2025•山东东营•中考真题）如图，相是。。的直径，C、。是。。上的两点，AD=DC=CB^DF1BC

于点F,延长尸。交的延长线于点£,连接8Q.

F

D