2026年高考数学一轮复习专练函数的概念及其表示

第01讲函数的概念及其表示

A夯实基础B素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（24-25高三上•广东潮州•期中）在下面四个图中，可表示函数），=/（力的图象的可能是

Q

2.（24-25高三上・河南•期末）函数/（x）=31n（2x-l）+—；的定义域为（）

X—1

A.（1,+co）B.C.U（l，+8）D.U（!»+<»）

Iz/

2ax+a-\,x<0

3.（24-25高三上•四川广元•期末）已知函数/（i）=在R上单调递增，则。

x2,x>0

的取值范围是（）

A.[—1J]B.[-1,0）C.（0,1]D.（0,+8）

4.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）已知函数/（力=「2在（，几〃?+1）上单调

递增，则实数〃?的取值范围为（）

A.S，-2]U[1什）B.[-2,1]

C.（-<»,-1]U[2,-K»）D.[-1,2]

5.（23-24高二上•安徽马鞍山•开学考试）已知函数/（1）的定义域为（0』，则函数

/（W）-/（1一月的定义域为（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[-1,1]D.[-h0）U（0,l]

6.（24-25高三上•四川成都•期中）已知定义在（0,内）上的函数/*）满足/（1）-3/（1）=-3，

XX

则/（2）的值为（）

A.7B.8C.13D.14

7.（24-25高三上•甘肃酒泉•期末）己知函数〃力=,的值域为。,

3）

-,+cc,则实数。的取值范围是（）

一乙/

25

C.一,+00

16

二、多选题

8.（24-25高三上•四川绵阳•期末）若xwR,函数仆）=♦-2%+9的值域是［0,问，且

〃7。〃，则下列结论中正确的是（）

A.a>0B.ab=4

C.若/（，〃）=/（〃），则加+”=［

6

三、填空题

9.（25-26高三上•全国•课后作业）已知函数一3X-4,且/"（〃）］=-4,则实数

6LV-1

10.（25-26高三上•全国裸后作业）若函数/（%）=的定义域为R,则实数。

\Jcvc2-2ax+1

的取值范围是.

四、解答题

11.（2024高三・全国•专题练习）求函数），==的最大值.

12.（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）已知函数/（x+5）=2x.

⑴证明：/（6为一次函数.

⑵若/（/（〃?））+/（/叫=0,求〃，的值.

13.(2024高三・全国•专题练习)求下列函数的解析式：

(1)已知/(I一sinx)=co/x,求/(x)的解析式；

(2)已知=求/(x)的解析式；

Ix)x-

(3)已知是一次函数且3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,求f(W的解析式;

(4)已知/(大)满足2/(x)+/(r)=3x,求f(x)的解析式.

B素养提升

1.(2025•山西•模拟预测)已知函数/(”=

2.(25-26高三上•全国•课后作业)已知函数/(幻=3,其中⑶表示不超过x的最大整数,

当一9W时，下列函数中，其值域与/⑴的值域不相同的函数为，)

A..V=X,XG{-1,0,1,2,3)=2x,xe

D.>'=X2-I,XG(0,1,>/2,>/3,2}

a,a>b,

{,,设函数/(x)=x+1,g(x)=(x-1)?,

记函数2(x)=max{/(x),g(x)},且函数”(幻在区间[〃?,，力上的值域为似1],则区间,间的

长度的最大值为()

(tz-2)x-3,x<2

4.(2025高三•全国•专题练习)己知函数/")=a八，若对R上的任意实数々，

—,x>2

%(司二占)，恒有(七一七)[/(芮)一/(々)]<0成立，那么实数”的取值范围是

5.（24-25高三上•湖南邵阳•期末）已知〃x）八若存在实数〃（八0

x-（a-3）x+b,x>1

且〃工1）,W/占eR,当彳尸占时，都有>2,则实数。的取值范围为.

•GF

6.（24-25高三上•云南昭通•期末）已知函数〃x）=bg2（加-2加+4）.

⑴若/W的定义域为R，求〃的取值范围；

（2）若/（X）的值域为R,求。的取值范围.

第01讲函数的概念及其表示

A夯实基础B素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（24-25高二上•广东潮州•期中）在下面四个图中，可表示困数），=/（犬）的图象的可能是

【答案】D

【知识点】函数关系的判断

【分析】根据函数的定义，即可判断选项.

【详解】根据函数的定义可知，任何一个％值只能对应唯一的）'值，（1）（2）（3）不满

足，

故选：D

Q

2.（24-25高三上・河南・期末）函数"x）=31n（2x-l）+—的定义域为（）

A.（l,+oo）B.（g，+8C.；1[u（l，+8）D.（g/U（l，yj

【答案】D

【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域

【分析】根据对数函数的直数大干零和分式函数的分母不为零列不等式如求解即可.

【详解】由题意知《解得且XW1,

工一1二0,2

所以函数/（力的定义域为（g，l）u（l，+8）.

故选：D

3.（24-25高三上•四川广元•期末）已知函数=12fM/"<0在R上单调递增，则。

的取值范围是（）

A.[-1J]B.r-1,0）C.(0,1]D.(0,+oc)

【答案】C

【知识点】根据分段函数的单调性求参数

【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得.

【详解】由函数/（幻=12nli在R上单调递增，

x",x>0

[2a>0

得<解得0v〃Wl,

所以4的取值范围是（。,11

故选：C

4.（24-25高三上,福建福州•阶段练习）已知函数/0）=<:二:°在（川,m+1）上单调

递增，则实数〃?的取值范围为（）

A.2]U[1»+CC）B.[-2,1]

C.（^»,-1]U[2,-H»）D.[-1,2]

【答案】A

【知识点】根据分段函数的单调性求参数

【分析】作出函数/'（x）的图象，由图象得到/（"的单调递增区间，根据条件列出关「小的

不等式，解不等式得到机的取值范围.

【详解】作出函数〃x）=_；'一的图象，如下图，

要使函数/（X）在（见〃7+1）上单调递增，

则或〃2+1W-1,解得〃后1或〃三一2,

.•・实数〃7的取值范围为（70,-2]U[l，y）.

故选：A.

5.（23-24高二上安徽马鞍山•开学考试）己知函数/（%）的定义域为（05，则函数

的定义域为（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[-U]D.[-l,0）U（0,l]

【答案】A

【知识点】抽象函数的定义域

【分析】依题意得解出该不等式组即可得解.

【详解】因为函数/（"的定义域为

0<x2<l-l<x<0gg0<x<l

所以=>=>0<x<1,

0<l-x<l0<x<l

所以函数/卜—的定义域为（0,1）.

故选：A.

6.（24-25高三上•四川成番•期中）已知定义在（0,xo）上的函数/*）满足/（幻-3/4）=-3,

xx

则/（2）的值为（）

A.7B.8C.13D.14

【答案】C

【知识点】函数方程组法求解析式

【分析】由构造方程法可先求出/。）解析式，再求出。2）的值.

【详解】由题意得，因为3/（3=-3，

xx

所以对于任意X€（0，y）,/（-）-3/（x）=-16.r,

X

联立XX消去/（3可得,

X

/(-)-3/(x)=-16x

x

2

f(x)=6x+~,

x

所以"2)=6x2+l=13,

故选：C.

x~~2xH—,xW1,

2的值域为O,

7.（24-25高三上•甘肃酒泉•期末）已知函数

a,,

X4-----1,X>I

X

3、

。1孑，+8,则实数。的取值范围是（）

4/

【答案】c

【知识点】根据分段函数的值域(最值)求参数、根据值域求参数的值或者范围

【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数。的取

值范围.

【详解】当XW1时，/(x)=Y-2x+5=(x-l)2+/在(-0),1］上单调递减，

此时,，+8);

当X>1时，f(X)=XH------1.

X

①若.41,则/'(7)="十9-1在(1,+8)」二单调递增,此时/(x)e(a,18),

X

「3、

乂函数“力的值域。仁于+8，不合题意；

-乙/

②若"I,则f(x)=x+q-122&-l,当且仅当工=石>|时，等号成立，

X/

..3\2>［a—1>—

又函数〃力的值域。1；，+8，则｛2,

L；1^>1

解得。之?孑5.综上所述：〃之9孑5.

1616

故选：C.

二、多选题

8.(24-25高三上•四川绵阳•期末)若xwR,函数仆)=♦—2%+9的值域是［0,同，且

"7W〃，则下列结论中正确的是()

A.。>0B.ab=4

C.若/(〃?)=/(〃)，则〃?+"」D.—1

C14+。8

【答案】ABD

【知识点】根据值域求参数的值或者范围、基本不等式求和的最小值

【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可.

【详解】当〃=0时，/(/)=-2工+1,显然此时函数的值域不是［0,”)，不符合题意；

当“工0时，f(x)=ax2-2x+—=a\x-^-\--+—,对称轴为工=,，

因为二次函数/(x)=ad_2x+［的值域是［0,+x),且xwR,

。°a>0n

所以有｛1b八=<,/，因此选项AB正确，

——+—=0ab=4

a4

、2

若〃冲〃且/(/〃)=/(z〃)，所以由二次函数的对称性可得m十〃=',

因此选项C不正确：

a>0

>0

由心，=卜>0,因为4+〃之2皿=8,当且仅当。=〃=2时取等号，

b=4

ab=4

所以选项D正确，

故选：ABD

三、填空题

9.(25-26高三上,全国•课后作业)已知函数/(x)=f—3x—4,且/"(〃)］=-4,则实数

a-.

【答案】匹返或4或一1

2

【知识点】已知函数值求自变量或参数

【详解】令，=/3)，则/一3"4=T,解得/=3或0.由八。)=/=3,得。2一3。一7=0,

解得。=出昼.由/(，)=，=0得〃2一3〃一4=()，解得a=4或一1.

2

10.(25-26高三上•全国裸后作业)若函数/(%)=/"'7='的定义域为R,则实数a

Var*-2ar+l

的取值范围是.

【答案】m)

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、己知函数的定义域求参数

【详解】若函数/")=/"11=■的定义域为R，则如对任意xeR恒成

7ax-lax+1

ftz>0

立.当a=0时，不等式ar2-2at+l>0化为I>0,恒成立：当a=0时，需满足｛,

△=4a2-4a<0

解得Ovavl.综上所述，实数a的取值范围是

四、解答题

11（2。24高三・全国・专题练习）求函数户中子的最大值.

【答案】"①

4

【知识点】基本（均值）不等式的应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域

【分析】将多项式化简计算，利用基本不等式计算可得当x=±蚯时，有最大值为安邑.

4

八2产+2（x、2）+2Yjf

【详解】易知y=2（X4+2）2+X4+2*eR）：

2x4+4­

当x=0时，）'=；；当x=0时，x2>0.

2

x1<11

易知工4+2一广力工一「八2一南,

7VV

7

当且仅当丁二:，即广士也时，等号成立.

2

可得y=g+x-3也.

X4+224

故当*=土啦时，y有最大值生虫.

4

12.（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）己知函数/（x+5）=2x.

（1）证明：f（x）为一次函数.

⑵若〃"〃?））+/'（〃『）=0,求/〃的值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）/H=-1±>/2T-

【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式

【分析】（1）应用换元法求原函数解析式，即可证；

（2）由（1）所得解析式，根据已知将相关参数代入得方程，即可求解.

【详解】（1）令x+5=f,得-5,则/⑺=2（/-5）=2/-10,

所以〃力=2/-10,故/（x）为一次函数.

（2）因为/（/（〃?））+/（〃『）=（）,所以2（2〃L10）―10+2^-10=0,

整理得〃/+2〃?一20=0，解得m=-1土立L

13.（2024高三•全国•专题练习）求下列函数的解析式:

（1）已知-（1一sinx）=co§2x,求/（x）的解析式；

(\\I

(2)已知/x+—=f+r,求/(x)的解析式；

IX)x-

(3)已知/(大)是一次函数且3/(X+I)-2/(X-1)=2X+I7,求/(x)的解析式：

(4)已知/*)满足2/(用+/(—)=3x,求/*)的解析式.

2

【答案】(1)/(X)=2X-X,X€[0,2]:

(2)f(x)=x2-2,xe(-<»,-2]|J[2,-H»)；

(3)f(x)=2x+7；

(4)/(x)=3x.

【知识点】已知函数类型求解析式、已知f(g(x))求解析式、函数方程组法求解析式

【分析】(1)设l-sinx=//e[0,2],由换元法可得出答案.

(2)由f+与=(1+_[丫-2,由配凑法可得答案.

尸Ix)

(3)可设/(幻=纱+"。=0),利川待定系数法可得答案.

(4)将x用一“替换，由方程消元法可得答案.

【详解】(1)(换元法)设l-sinx=fjw[0,2],则sinx=lT.

所以/(l-sinx)=cos2;v=l-sin2x,所以/⑺=1一(1-f)?=2f-J,/e[0,2].

即/(A)=2x-x\xe[0,2].

(2)(配凑法)因为+_2,

kx)『Ix)

又当x>。时，x+->2(当且仅当x=l时取,

X

当x<0时，x+-<-2(当且仅当x=—l时取"="),

X

所以/(X)=x2-2,xe(-oo,-2]U[2,+oo).

(3)(待定系数法)因为/(“是一次函数，可设/(幻="+。(。工0),

所以3[a(x+l)+0]-2[a(x-l)+〃]=2x+17.

a=2

即at+(5a+b)=2K+17,所以

5〃+。=17

a=2

解得

b=l

所以f(x)的解析式是/(X)=2x+7.

(4)(方程组法)因为2/(x)+/(-x)=3x,①

所以将x用一工替换，得2f(-x)+/(x)=-3x,②

由①②解得/(x)=3儿

B素养提升

1.（2025•山西•模拟预测）已知函数=则/（）

9

A.-B.5C.9D.10

2

【答案】C

【知识点】求函数值

【分析】用士■代换“得小?|=」7,即可求目标函数值.

n~\rrJn-\

故选：C

2.（25-26高三上•全国•课后作业）已知函数/*）=[%],其中3表示不超过x的最大整数,

I7

当-（时，下列函数中，其值域与/（X）的值域不相同的函数为（）

c1八1,3

A.y={-1,0,1,2,3)B.y=2xxe^--,0,-,l,->

C.屋D.y=/_],xe{0.1,&,32}

•XIZ3•

【答案】c

【知识点】函数新定义、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数俏域

■17~

【详解】当XC时，”V）的值域为{-1,0123}.对于C,该函数的值域为{-1,123,4}.

3.（25-26高三上•全国•课后作业）定义max{«〃}=<：'：一设函数f（x）=x+l,^（x）=（x-1）2,

b、b>a.

记函数/"）=max{/*）**）},且函数"（x）在区间[〃?,川上的值域为OU,则区间[〃?,〃]的

长度的最大值为（）

7

A.1B.3C.-D.2

4

【答案】D

【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数

【详解】令/（x"g（x）,则K+12（X+1）2,解得—IWXWO,所以

(x+l)~,x<—1»

F(x)=max{f(x),g(x)}=x+1,T4xW0,则尸(力的图象如图:

(x+l)2,x>(),

又F（0）=F（-2）=l,F（-l）=0,且函数F（x）在区间［m,〃］上的值域为似11,当〃=0时，

-2</n<-l；当〃?=一2时，TW〃工0,所以当<=-2,〃=0时,区间［，小川的长度取得最大

值，最大值为2.

（£7-2）X-3,X<2

4.（2025高三•全国•专题练习）已知函数/。）=〃.，若对R上的任意实数为，

一,x>2

%（内工/），恒有（5-七）［/（与）-/（七）］<0成立，那么实数。的取值范围是

【答案】耳2）

【知识点】根据分段函数的单调性求参数

【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.

【详解】因为函数满足对R上的任意实数N，巳，（A-,*X2）,

恒有（再一%）［/（芭）-/（玉