2026年浙江省部编版高中二年级数学下册第10章同步练习题

2026年浙江省部编版高中二年级数学下册第10章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是（）A．-4B．-2C．2D．4解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n+5，则数列{aₙ}的通项公式是（）A．aₙ=2n+1B．aₙ=2n-1C．aₙ=2•3ⁿ⁻¹D．aₙ=3•2ⁿ⁻¹解析：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-3+5，得a₁=4。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=[2aₙ-3n+5]-[2aₙ₋₁-3(n-1)+5]=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。故aₙ-5=2(aₙ₋₁-5)，即{aₙ-5}是首项为-1，公比为2的等比数列，aₙ-5=-1•2ⁿ⁻¹，得aₙ=2ⁿ⁻¹-1。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2＞r，故相离。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=0得φ=-3π/4，即φ=2π-3π/4=5π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是（）A．1B．2C．eD．e²解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。7.已知函数f(x)=√(x²+1)，则f(x)在区间[-1，1]上的最小值是（）A．0B．1C．√2D．2解析：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则aₙ等于（）A．6n-3B．6n-5C．3n-2D．3n-3解析：当n=1时，a₁=S₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。故aₙ=6n-5。9.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在区间[-1，3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-2，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(3)=10，故有3个零点。10.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，则过点P(1，1)的直线与圆C₁的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定解析：圆C₁与圆C₂外切，圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2。过点P(1，1)的直线x=y与圆C₁相切，x=1与圆C₁相交，故不确定。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=ln(x+1)+ax在x=1时取得极值，则a的值为______。参考答案：-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)+a，令f'(1)=1/2+a=0得a=-1/2。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则a₃的值是______。参考答案：8解析：a₃=S₃-S₂=(2×3²-3×3)-(2×2²-3×2)=9-6=3，a₃=S₃-S₂=(2×3²-3×3)-(2×2²-3×2)=9-6=3，a₃=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，a₃=4×3-5=7。3.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为______（k∈Z）。参考答案：2kπ+5π/4解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=1得φ=2π-3π/4=5π/4。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系是______。参考答案：相离解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2＞r，故相离。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是______。参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。6.已知函数f(x)=√(x²+1)，则f(x)在区间[-1，1]上的最小值是______。参考答案：1解析：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则aₙ等于______。参考答案：6n-5解析：当n=1时，a₁=S₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在区间[-1，3]上的零点个数为______。参考答案：3解析：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-2，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(3)=10，故有3个零点。9.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，则过点P(1，1)的直线与圆C₁的位置关系是______。参考答案：不确定解析：圆C₁与圆C₂外切，圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2。过点P(1，1)的直线x=y与圆C₁相切，x=1与圆C₁相交，故不确定。10.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是______。参考答案：(-1，0)∪(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是14。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n+5，则数列{aₙ}是等比数列。（）参考答案：错误解析：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-3+5，得a₁=4。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=[2aₙ-3n+5]-[2aₙ₋₁-3(n-1)+5]=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。故{aₙ-5}是等比数列，但{aₙ}不是等比数列。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C相切。（）参考答案：错误解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2＞r，故相离。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ=π/4。（）参考答案：错误解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=0得φ=-3π/4。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e²。（）参考答案：错误解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。6.已知函数f(x)=√(x²+1)，则f(x)在区间[-1，1]上的最小值是0。（）参考答案：错误解析：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则aₙ=4n-5。（）参考答案：正确解析：当n=1时，a₁=S₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(2n²-3n)-[2(n-1)²-3(n-1)]=4n-5。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在区间[-1，3]上的零点个数为4。（）参考答案：错误解析：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-2，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(3)=10，故有3个零点。9.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，则过点P(1，1)的直线与圆C₁的位置关系是相交。（）参考答案：错误解析：圆C₁与圆C₂外切，圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2。过点P(1，1)的直线x=y与圆C₁相切，x=1与圆C₁相交，故不确定。10.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a∈(-∞，-1)∪(0，+∞)。（）参考答案：错误解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，求f(x)的极值点。参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极小值点，x=1+√3/3为极大值点。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，求aₙ的通项公式。参考答案：当n=1时，a₁=S₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。故aₙ=6n-5。3.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的值。参考答案：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=0得φ=-3π/4。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆心到直线l：3x-4y+5=0的距离。参考答案：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。6.已知函数f(x)=√(x²+1)，求f(x)在区间[-1，1]上的最小值。参考答案：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，求a₃的值。参考答案：a₃=S₃-S₂=(2×3²-3×3)-(2×2²-3×2)=9-6=3。8.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，求两圆的切点坐标。参考答案：圆C₁与圆C₂外切，圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2。圆心连线的中点为(3/2，-1)，切点在圆C₁上，设切点为(x，y)，则(x-1)²+(y+2)²=1。解得切点为(1，-1)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-2，f(1-√3/3)≈-0.44，f(1+√3/3)≈0.44，f(3)=10。故最大值为10，最小值为-2。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，求aₙ的通项公式，并求S₅的值。参考答案：当n=1时，a₁=S₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。故aₙ=6n-5。S₅=3×5²-2×5=75-10=65。3.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的值，并求f(π/2)的值。参考答案：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=0得φ=-3π/4。f(π/2)=sin(π-3π/4)=sin(π/4)=√2/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆心到直线l：3x-4y+5=0的距离，并判断直线l与圆C的位置关系。参考答案：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2＞r，故相离。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值，并求f(0)的值。参考答案：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。f(0)=e^0-e×0=1。6.已知函数f(x)=√(x²+1)，求f(x)在区间[-1，1]上的最小值，并求f(1)的值。参考答案：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。f(1)=√2。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，求a₅的值，并求S₅的值。参考答案：a₅=S₅-S₄=(2×5²-3×5)-(2×4²-3×4)=25-1