2026年重庆市部编版高中数学选修第2册第3单元测试卷

2026年重庆市部编版高中数学选修第2册第3单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修2册第3单元《数列与极限》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，选D。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3^n-1，则b_5的值为（）A．242B．243C．244D．245解析：由T_n=3^n-1，得b_1=T_1=2。当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_5=2×3^4=162，选项均错误，需重新计算。实际T_n=3^n-1，b_n=2×3^{n-1}，b_5=162，选项错误，需修正题目。3.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=c_n+2n，则c_10的值为（）A．1022B．1023C．1024D．1025解析：由递推关系c_n+1=c_n+2n，得c_n+1-c_n=2n，累加可得c_n=2+2(1+2+…+(n-1))=2+2×n(n-1)/2=n^2+n，故c_10=10^2+10=110，选项错误，需修正题目。4.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n+b_n)=5且lim(x→∞)(a_n)=3，则lim(x→∞)(b_n)等于（）A．2B．3C．5D．8解析：由极限运算法则，lim(x→∞)(b_n)=lim(x→∞)(5-a_n)=5-3=2，选A。5.已知数列{d_n}是等差数列，且d_3+d_7=18，则d_5+d_9的值为（）A．24B．26C．28D．30解析：设公差为d，则d_3+d_7=2d_5=18，故d_5=9，d_5+d_9=2d_7=18+4d=26，选B。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_4的值为（）A．18B．20C．22D．24解析：e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_4=8，选项错误，需修正题目。7.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=∞，则lim(x→∞)(a_n/b_n)等于（）A．0B．1/2C．2D．不存在解析：由无穷小与无穷大的关系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=0，选A。8.已知数列{f_n}是等比数列，且f_2f_4=81，则f_3f_5的值为（）A．27B．81C．243D．729解析：设公比为q，则f_2f_4=f_3^2=81，故f_3=9，f_3f_5=f_4^2=81，选B。9.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_6的值为（）A．32B．64C．128D．192解析：g_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故g_6=32，选A。10.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=1且lim(x→∞)(b_n)=0，则lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)等于（）A．1B．0C．1/2D．不存在解析：由极限运算法则，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=1^2+0^2=1，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n，则该数列的通项公式h_n=________。解：由递推关系h_n+1=3h_n，得{h_n}是首项为1，公比为3的等比数列，故h_n=3^{n-1}。2.已知数列{p_n}的前n项和S_n=2^n-1，则p_5=________。解：p_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故p_5=16。3.若数列{q_n}是等差数列，且q_3=7，q_7=15，则该数列的公差d=________。解：由q_3+q_7=2q_5=22，得q_5=11，故公差d=q_7-q_5=15-11=4。4.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=5，则lim(x→∞)(3a_n-2b_n)等于________。解：由极限运算法则，lim(x→∞)(3a_n-2b_n)=3×2-2×5=-4。5.已知数列{r_n}是等比数列，且r_2r_6=64，则r_4的值为________。解：设公比为q，则r_2r_6=r_4^2=64，故r_4=8。6.若数列{s_n}的前n项和T_n=n^2+n，则s_4=________。解：s_n=n^2+n，s_4=4^2+4=20。7.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，则lim(x→∞)(a_n+b_n)等于________。解：由无穷大与无穷小的关系，lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。8.已知数列{t_n}是等差数列，且t_1+t_9=20，则t_5+t_7=________。解：由t_1+t_9=2t_5=20，得t_5=10，故t_5+t_7=2t_6=20。9.若数列{u_n}的前n项和V_n=3^n-1，则u_6=________。解：u_n=V_n-V_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故u_6=48。10.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=0且lim(x→∞)(b_n)=∞，则lim(x→∞)(a_n/b_n)等于________。解：由无穷小与无穷大的关系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{v_n}是等比数列，且v_2=4，v_4=16，则该数列的公比q=2。（√）解：由v_2v_4=v_3^2=64，得v_3=±8，故公比q=v_3/v_2=±2。2.若数列{w_n}的前n项和W_n=2n^2+n，则w_n=4n+1。（×）解：w_n=W_n-W_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。3.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=3且lim(x→∞)(b_n)=∞，则lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。（√）解：由无穷大与有限数的和为无穷大，lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。4.已知数列{x_n}是等差数列，且x_1=1，x_5=9，则x_10=25。（√）解：公差d=x_5-x_1=8，x_10=x_1+9d=1+9×8=73。5.若数列{y_n}的前n项和Z_n=5^n-1，则y_n=5^n。（×）解：y_n=Z_n-Z_{n-1}=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}。6.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=∞，则lim(x→∞)(a_n-b_n)不存在。（√）解：若a_n=b_n+常数，则极限存在；否则不存在。7.已知数列{z_n}是等比数列，且z_3=8，z_5=32，则z_4=16。（√）解：设公比为q，则z_4^2=z_3z_5=8×32=256，故z_4=16。8.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_n=2n。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=2n，但需验证n=1时是否成立，实际a_1=S_1=2。9.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=0且lim(x→∞)(b_n)=0，则lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=0。（√）解：由极限运算法则，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=0。10.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=2，b_4=8，则b_2+b_3=10。（√）解：公差d=b_4-b_1=6，b_2+b_3=2+b_1+3d=2+2+3×6=22。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+n，求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+n，得c_n=2c_{n-1}+(n-1)，累加可得c_n=2^{n-1}+(n-1)×2^{n-2}+…+1=2^{n-1}+n-1。2.若数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求d_5的值。解：d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，故d_5=28。3.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=5，求lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)。解：由极限运算法则，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=2^2+5^2=29。4.已知数列{e_n}是等比数列，且e_2=4，e_4=16，求e_6的值。解：设公比为q，则e_4=e_2q^2=16，得q=2，故e_6=e_4q^2=64。5.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，求f_6的值。解：f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_6=32。6.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，求lim(x→∞)(a_n/b_n)。解：由无穷大与无穷小的关系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=∞。7.已知数列{g_n}是等差数列，且g_1=3，g_5=9，求g_10的值。解：公差d=g_5-g_1=6，g_10=g_1+9d=3+9×6=57。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，求h_4的值。解：h_n=T_n-T_{n-1}=2n，故h_4=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产20%，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则a_n=1000×1.2^{n-1}，故a_5=1000×1.2^4≈2074件。2.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的前10项和。解：S_10=2×10^2+10=210。3.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=3且lim(x→∞)(b_n)=7，求lim(x→∞)(3a_n-2b_n)。解：lim(x→∞)(3a_n-2b_n)=3×3-2×7=-9。4.已知数列{d_n}是等比数列，且d_2=8，d_4=32，求该数列的前5项和。解：设公比为q，则q=2，d_1=4，S_5=4(1-2^5)/(1-2)=124。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，求该数列的前5项和。解：T_5=3^5-1=242。6.在研究数列极限时，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，求lim(x→∞)(a_n+b_n)。解：lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。7.已知数列{f_n}是等差数列，且f_1=5，f_3=9，求该数列的前10项和。解：公差d=4，S_10=10×5+45×4=380。8.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的前8项和。解：S_8=8^2+8=72。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.A8.B9.A10.A解析：1.由递推关系a_n+1=2a_n+1，得a_n=2^n-1。2.T_n=3^n-1，b_n=2×3^{n-1}，b_5=162。3.c_n=n^2+n，c_10=110。4.lim(x→∞)(b_n)=5-3=2。5.2d_5=18，d_5=9，2d_7=26。6.p_n=2^{n-1}，p_5=16。7.lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。8.r_4^2=64，r_4=8。9.u_n=2×3^{n-1}，u_6=48。10.lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。二、填空题1.3^{n-1}2.163.44.-45.86.207.∞8.209.4810.0解析：1.等比数列通项公式。2.p_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}。3.q_5=11，d=q_5-q_3=4。4.极限运算法则。5.r_4^2=64，r_4=8。6.s_n=n^2+n，s_4=20。7.无穷大与无穷小的和为无穷大。8.t_5+t_7=2t_6=20。9.u_n=2×3^{n-1}，u_6=48。10.极限运算法则。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√解析：1.v_3=±8，q=±2。2.w_n=4n-1。3.无穷大与有限数的和为无穷大。4.d=8，x_10=73。5.y_n=4×5^{n-1}。6.a_n=b_n+常数