2026年陕西省北师大版高中二年级数学下册第5章课后练习

2026年陕西省北师大版高中二年级数学下册第5章课后练习一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，0)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，故g(x)在(-1，+∞)上只有1个零点，即a=0。因此a的取值范围是(0，1)。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故M=2，m=-4，M+m=-2。3.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为（）A．31B．63C．127D．255解析：由aₙ₊₁=2aₙ+1得aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，即{aₙ+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故aₙ+1=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，aₙ=2ⁿ-1。a₅=2⁵-1=31。4.不等式|2x-1|＜3的解集为（）A．(-1，2)B．(-2，4)C．(-1，4)D．(-2，2)解析：由|2x-1|＜3得-3＜2x-1＜3，即-2＜2x＜4，解得-1＜x＜2。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心C到直线3x-4y+5=0的距离为（）A．1B．2C．3D．4解析：圆心C(1，-2)，直线3x-4y+5=0，故距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2≈3。6.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(π/6)的值为（）A．1/2B．√3/2C．-1/2D．-√3/2解析：f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2。7.已知抛物线y²=2px(p＞0)的焦点到准线的距离为3，则p的值为（）A．3B．6C．9D．12解析：抛物线焦点为(½p，0)，准线为x=-½p，故焦点到准线的距离为½p-(-½p)=p=3。8.已知函数f(x)=eˣ-1，若f(x)在x=x₀处的切线斜率为1，则x₀的值为（）A．0B．1C．ln2D．ln3解析：f'(x)=eˣ，f'(x₀)=eˣ₀=1，故x₀=0。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(2)=3，故最小值为2。10.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则a₅的值为（）A．24B．30C．36D．42解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3n²-2n-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5，a₅=6×5-5=25。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2，2]上的最大值为________。参考答案：8解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值为8。2.不等式x²-5x+6＞0的解集为________。参考答案：(2，3)解析：x²-5x+6=(x-2)(x-3)，故解集为{x|x＜2或x＞3}。3.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=½aₙ+1，则a₃的值为________。参考答案：3解析：a₂=½×2+1=2，a₃=½×2+1=3。4.已知圆C的方程为(x+1)²+(y-2)²=9，则圆C的圆心坐标为________。参考答案：(-1，2)解析：圆心坐标为(-1，2)。5.已知函数f(x)=sin(πx)，则f(1/2)的值为________。参考答案：1解析：f(1/2)=sin(π×1/2)=sin(π/2)=1。6.已知抛物线y²=8x，则抛物线的焦点坐标为________。参考答案：(2，0)解析：焦点坐标为(½p，0)，p=8，故焦点为(4，0)。7.已知函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)的定义域为________。参考答案：(-1，+∞)解析：x+1＞0，故x＞-1。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²+n，则a₅的值为________。参考答案：41解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-1，a₅=4×5-1=19。9.已知函数f(x)=eˣ，若f(x)在x=x₀处的切线斜率为2，则x₀的值为________。参考答案：ln2解析：f'(x)=eˣ，eˣ₀=2，故x₀=ln2。10.已知函数f(x)=x²-4x+4，则f(x)在区间[1，4]上的最小值为________。参考答案：0解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。f(1)=-3，f(2)=0，f(4)=4，故最小值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。参考答案：正确解析：单调递增函数的最大值为右端点值，最小值为左端点值。2.不等式|3x-2|＞5的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞)。参考答案：正确解析：3x-2＞5或3x-2＜-5，解得x＞3或x＜-1。3.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ，则{aₙ}是等比数列。参考答案：正确解析：公比为2，是等比数列。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C的半径为2。参考答案：正确解析：半径为√4=2。5.已知函数f(x)=cos(πx)，则f(1/2)的值为0。参考答案：正确解析：f(1/2)=cos(π×1/2)=cos(π/2)=0。6.已知抛物线y²=4x，则抛物线的焦点坐标为(1，0)。参考答案：正确解析：焦点坐标为(½p，0)，p=4，故焦点为(2，0)。7.已知函数f(x)=ln(x-1)，则f(x)的定义域为(1，+∞)。参考答案：正确解析：x-1＞0，故x＞1。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，则aₙ=2n。参考答案：错误解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n。9.已知函数f(x)=eˣ，若f(x)在x=x₀处的切线斜率为1，则x₀的值为0。参考答案：正确解析：eˣ₀=1，故x₀=0。10.已知函数f(x)=x²-6x+9，则f(x)在区间[1，4]上的最大值为0。参考答案：错误解析：f'(x)=2x-6，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-2，f(3)=0，f(4)=-1，故最大值为-2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。参考答案：减区间(-∞，1)，增区间(1，+∞)解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-∞，0)时，f'(x)＞0；当x∈(0，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，+∞)时，f'(x)＞0。2.求不等式x²-4x+3＜0的解集。参考答案：(1，3)解析：x²-4x+3=(x-1)(x-3)，故解集为{x|1＜x＜3}。3.求数列{aₙ}的通项公式，其中a₁=1，aₙ₊₁=3aₙ+2。参考答案：aₙ=3ⁿ-1解析：aₙ₊₁+1=3(aₙ+1)，{aₙ+1}是首项为2，公比为3的等比数列，aₙ+1=2×3ⁿ⁻¹=3ⁿ⁻¹，aₙ=3ⁿ⁻¹-1。4.求圆C的方程为(x-2)²+(y+1)²=9的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(2，-1)，半径3解析：圆心为(2，-1)，半径为√9=3。5.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。6.求抛物线y²=12x的焦点坐标和准线方程。参考答案：焦点(3，0)，准线x=-3解析：焦点为(½p，0)，p=12，故焦点为(6，0)，准线为x=-6。7.求函数f(x)=ln(x+2)的定义域。参考答案：(-2，+∞)解析：x+2＞0，故x＞-2。8.求数列{aₙ}的前n项和Sₙ，其中aₙ=2n-1。参考答案：Sₙ=n²解析：Sₙ=1+3+5+…+(2n-1)=n²。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值7，最小值2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值为7，最小值为2。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=4n²-3n，求a₅的值。参考答案：37解析：a₅=S₅-S₄=76-39=37。3.已知圆C的方程为(x+1)²+(y-2)²=16，求圆C的圆心到直线3x-4y+5=0的距离。参考答案：3解析：圆心(-1，2)，距离d=|3×(-1)-4×2+5|/√(3²+(-4)²)=|-3-8+5|/5=6/5=3。4.已知函数f(x)=sin(πx)，求f(1/3)的值。参考答案：√3/2解析：f(1/3)=sin(π×1/3)=sin(π/3)=√3/2。5.已知抛物线y²=8x，求抛物线的焦点坐标。参考答案：(2，0)解析：焦点为(½p，0)，p=8，故焦点为(4，0)。6.已知函数f(x)=ln(x+1)，求f(x)的定义域。参考答案：(-1，+∞)解析：x+1＞0，故x＞-1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²+n，求a₅的值。参考答案：19解析：a₅=S₅-S₄=45-32=19。8.已知函数f(x)=x²-4x+4，求f(x)在区间[1，4]上的最小值。参考答案：0解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。f(1)=-3，f(2)=0，f(4)=4，故最小值为0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.A8.A9.B10.B解析：1.由f(a)=0得ln(a+1)=a，令g(x)=ln(x+1)-x，g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，g(0)=0，故a=0。2.由f'(x)=3x²-6x得x=0或x=2，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值8，最小值-1。3.由aₙ₊₁=2aₙ+1得aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，{aₙ+1}是首项为3，公比为2的等比数列，aₙ+1=3×2ⁿ⁻¹，a₅=31。4.|2x-1|＜3得-3＜2x-1＜3，即-2＜2x＜4，解得-1＜x＜2。5.圆心(1，-2)，直线3x-4y+5=0，距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=16/5=3.2≈3。6.f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2。7.抛物线焦点为(½p，0)，p=6，故焦点为(3，0)。8.f'(x)=eˣ，f'(x₀)=eˣ₀=1，故x₀=0。9.f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(2)=3，故最小值为2。10.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-1，a₅=19。二、填空题1.82.(2，3)3.34.(-1，2)5.16.(2，0)7.(-1，+∞)8.199.ln210.0解析：1.由f'(x)=3x²-3得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值为8。2.x²-5x+6=(x-2)(x-3)，故解集为{x|x＜2或x＞3}。3.a₂=½×2+1=2，a₃=½×2+1=3。4.圆心坐标为(-1，2)。5.f(1/2)=sin(π×1/2)=sin(π/2)=1。6.焦点坐标为(½p，0)，p=8，故焦点为(4，0)。7.x+1＞0，故x＞-1。8.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-1，a₅=19。9.f'(x)=eˣ，f'(x₀)=eˣ₀=1，故x₀=0。10.f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-3，f(3)=0，f(4)=-1，故最小值为-3。三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.正确6.正确7.正确8.错误9.正确10.错误解析：1.单调递增函数的最大值为右端点值，最小值为左端点值。2.3x-2＞5或3x-2＜-5，解得x＞3或x＜-1。3.公比为2，是等比数列。4.半径为√4=2。5.f(1/2)=cos(π×1/2)=cos(π/2)=0。6.焦点坐标为(½p，0)，p=4，故焦点为(2，0)。7.x-1＞0，故x＞1。8.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n，a₅=10。9.f'(x)=eˣ，f'(x₀)=eˣ₀=1，故x₀=0。10.f'(x)=2x-6，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-3，f(3)=0，f(4)=-1，故最大值为-3。四、简答题1.减区间(-∞，1)，增区间(1，+∞)解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-∞，0)时，f'(x)＞0；当x∈(0，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，+∞)时，f'(x)＞0。2.{1，3}解析：x²-4x+3=(x-1)