2026年控制工程基础孔祥东课后习题附答案

2026年控制工程基础孔祥东课后习题附答案1.已知某一阶RC电路的闭环传递函数为Φ(s)=1/(0.2s+1)，输入信号为r(t)=3·1(t)（单位阶跃信号幅值3）。（1）写出该系统的单位阶跃响应表达式；（2）计算5%误差带的调整时间ts；（3）若输入改为r(t)=2t（斜坡信号），求稳态误差ess。答案：（1）一阶系统的单位阶跃响应为c(t)=1-e^(-t/T)（T为时间常数），本题中T=0.2s，输入幅值为3，故响应表达式为：c(t)=3(1-e^(-5t))（t≥0）。（2）一阶系统调整时间ts（5%误差带）公式为ts=3T，代入T=0.2s得ts=3×0.2=0.6s。（3）斜坡输入下，一阶系统的稳态误差ess=R·T，其中R为斜坡信号斜率（本题R=2），故ess=2×0.2=0.4。2.单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/[s(s+2)]，其中K>0。（1）求闭环传递函数Φ(s)；（2）当K=8时，判断系统阻尼类型（欠阻尼/临界阻尼/过阻尼），并计算阶跃响应的超调量σ%、峰值时间tp；（3）若要求超调量σ%≤10%，求K的取值范围（ζ取自然对数底e≈2.718）。答案：（1）闭环传递函数Φ(s)=G(s)/[1+G(s)]=K/[s²+2s+K]。（2）闭环特征方程为s²+2s+8=0，标准二阶系统形式为s²+2ζωns+ωn²=0，对比得2ζωn=2，ωn²=8，故ωn=2√2≈2.828rad/s，ζ=2/(2ωn)=1/ωn≈0.353<1，为欠阻尼系统。超调量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ²))×100%，代入ζ≈0.353得：σ%≈e^(-π×0.353/√(1-0.353²))×100%≈e^(-1.23)×100%≈29.2%。峰值时间tp=π/(ωn√(1-ζ²))=π/(2√2×√(1-0.125))=π/(2√2×√(7/8))=π/(2√(7/4))=π/√7≈1.187s。（3）σ%≤10%即e^(-πζ/√(1-ζ²))≤0.1，取自然对数得-πζ/√(1-ζ²)≤ln0.1≈-2.303，即πζ/√(1-ζ²)≥2.303。令x=ζ，则πx/√(1-x²)≥2.303，两边平方得π²x²/(1-x²)≥5.304，整理得x²≥5.304/(π²+5.304)≈5.304/(9.869+5.304)≈0.35，故ζ≥√0.35≈0.592。由二阶系统参数关系，2ζωn=2，ωn²=K，故ζ=1/ωn=1/√K≥0.592，即√K≤1/0.592≈1.69，K≤(1.69)²≈2.856。因此K的取值范围为0<K≤2.856。3.系统特征方程为s⁴+5s³+8s²+(6+a)s+a=0（a>0）。（1）用劳斯判据判断系统稳定时a的取值范围；（2）若a=3，判断系统是否存在正实部根，若存在，求正实部根的个数。答案：（1）构建劳斯表：s⁴行：18as³行：56+a0s²行：[(5×8-1×(6+a))/5][(5×a-1×0)/5]→(34-a)/5as¹行：[((34-a)/5×(6+a)-5×a)/((34-a)/5)]→[(34-a)(6+a)-25a]/(34-a)分子展开：34×6+34a-6a-a²-25a=204+3a-a²=-a²+3a+204s⁰行：a系统稳定需所有劳斯表首列元素>0：①s³行首列5>0（恒成立）；②s²行首列(34-a)/5>0→a<34；③s¹行分子-a²+3a+204>0→a²-3a-204<0，解方程a²-3a-204=0得a=[3±√(9+816)]/2=[3±√825]/2≈[3±28.72]/2，正根≈15.86，故a<15.86；④s⁰行a>0（已知条件）。综上，a的取值范围为0<a<15.86。（2）当a=3时，特征方程为s⁴+5s³+8s²+9s+3=0。构建劳斯表：s⁴行：183s³行：590s²行：(5×8-1×9)/5=31/5=6.2(5×3-1×0)/5=3s¹行：(6.2×9-5×3)/6.2=(55.8-15)/6.2=40.8/6.2≈6.58>0s⁰行：3>0所有首列元素均为正，系统无正实部根，稳定。4.单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=20/[s(0.5s+1)(0.1s+1)]。（1）绘制开环对数幅频特性渐近线（伯德图），标注转折频率；（2）计算截止频率ωc（幅值穿越0dB的频率）；（3）计算相位裕度γ，并判断闭环系统的稳定性。答案：（1）G(s)可分解为比例环节20（20lg20≈26dB）、积分环节1/s（斜率-20dB/dec）、两个一阶惯性环节1/(0.5s+1)（转折频率ω1=1/0.5=2rad/s）和1/(0.1s+1)（转折频率ω2=1/0.1=10rad/s）。伯德图绘制步骤：ω<2rad/s时，仅积分环节起作用，斜率-20dB/dec，初始幅值26dB；2rad/s≤ω<10rad/s时，加入第一个惯性环节，斜率变为-40dB/dec；ω≥10rad/s时，加入第二个惯性环节，斜率变为-60dB/dec。（2）截止频率ωc满足|G(jωc)|=1（即20lg|G(jωc)|=0dB）。近似计算时，在ωc附近忽略惯性环节的衰减（当ωc在2~10rad/s之间时，第一个惯性环节起作用，第二个惯性环节可近似为1），则|G(jωc)|≈20/[ωc×(0.5ωc)]=40/(ωc²)。令40/(ωc²)=1，解得ωc=√40≈6.32rad/s（验证：ωc=6.32在2~10之间，符合假设）。（3）相位裕度γ=180°+φ(ωc)，其中φ(ωc)=-90°-arctan(0.5ωc)-arctan(0.1ωc)。代入ωc≈6.32rad/s：arctan(0.5×6.32)=arctan(3.16)≈72.5°，arctan(0.1×6.32)=arctan(0.632)≈32.3°，故φ(ωc)=-90°-72.5°-32.3°=-194.8°，γ=180°+(-194.8°)=-14.8°<0°，闭环系统不稳定。5.某位置随动系统的原开环传递函数为G0(s)=10/[s(0.2s+1)]，要求设计串联滞后校正装置Gc(s)=Kc(τs+1)/(βτs+1)（β>1），使校正后系统满足：（1）静态速度误差系数Kv≥20s⁻¹；（2）相位裕度γ≥40°。答案：（1）原系统Kv=lim(s→0)sG0(s)=10s⁻¹，不满足Kv≥20的要求，需增大开环增益。设校正装置的Kc=2（因Kv=Kc×原Kv=2×10=20），则校正后开环传递函数为Gc(s)G0(s)=20(τs+1)/[s(0.2s+1)(βτs+1)]。（2）原系统（K=20时）的开环传递函数为G'(s)=20/[s(0.2s+1)]，其伯德图中，转折频率ω1=1/0.2=5rad/s。计算原系统相位裕度：截止频率ωc'满足|G'(jωc')|=1，即20/[ωc'×√(1+(0.2ωc')²)]≈20/(ωc'×0.2ωc')=100/ωc'²=1（当ωc'>5rad/s时，0.2ωc'>1，√(1+(0.2ωc')²)≈0.2ωc'），解得ωc'=10rad/s。原相位φ(ωc')=-90°-arctan(0.2×10)=-90°-arctan(2)≈-90°-63.4°=-153.4°，相位裕度γ'=180°-153.4°=26.6°<40°，需滞后校正。（3）滞后校正设计：选择校正后截止频率ωc''<原系统中相位衰减较慢的频率点（通常选在原系统相位裕度γ'+5°~10°对应的频率）。假设在ωc''=2rad/s处，原系统相位φ(ωc'')=-90°-arctan(0.2×2)=-90°-arctan(0.4)≈-90°-21.8°=-111.8°，此时若加入滞后校正装置的相位滞后约-5°（βτs+1的相位为-arctan(βτωc'')，τs+1的相位为arctan(τωc'')，总相位滞后≈-arctan(βτωc'')+arctan(τωc'')≈-arctan((β-1)τωc''/(1+βτ²ωc''²))≈-(β-1)τωc''（当τωc''<<1时）），则总相位裕度γ''=180°+(-111.8°)-5°=63.2°>40°，满足要求。（4）确定β和τ：滞后校正装置在ωc''处的幅值衰减需补偿原系统在ωc''处的幅值，使|Gc(jωc'')G0(jωc'')|=1。原系统在ωc''=2rad/s处的幅值为20lg|G0(j2)|=20lg[20/(2×√(1+(0.2×2)²))]≈20lg[20/(2×1.077)]≈20lg(9.28)≈19.3dB。校正装置需提供-19.3dB的衰减，即20lg(1/β)=-19.3dB→β≈10（20lg10=20dB≈19.3dB）。取β=10，选择τωc''=0.1（保证滞后相位较小），则τ=0.1/ωc''=0.1/2=0.05s，βτ=0.5s。（5）校正装置为Gc(s)=2×(0.05s+1)/(0.5s+1)=2(0.05s+1)/(0.5s+1)。验证校正后Kv=2×10=20s⁻¹，相位裕度γ=180°+φ(ωc'')+φc(ωc'')，其中φc(ωc'')=arctan