人教版高中数学必修2考点训练：复数的概念（原卷版）

7.1复数的概念

【考点梳理】

>考点一：复数的概念

>考点二：复数实部和虚部

>考点三：根据相等条件求参数

>考点四：复数的分类问题

>考点五：已知复数的类型求参数

>考点六：复数的坐标问题

>考点七：复数的模的问题

>考点八：复数的综合问题

【知识梳理】

知识点一复数的有关概念

1.复数

(1)定义：我们把形如。十万(。，b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足产=二1.

(2)表示方法：夏数通常用字母z表示，即+〃£R),其中。叫做爱数z的实部，人叫做复数的虚部.

2.复数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.

知识点二复数的分类

［实数S=。，

力纯虚数。=0,

1.复数2=a+〃i(4,£R)虚数SWO)

.非纯虚数心0.

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

知识点三复数相等的充要条件

设a,b,c,d都是实数，则a+bi=c+dio〃=c且b=d,a+bi=0^a=b=0.

知识点四复数的几何意义

1.复数？=。+砥〃，力复平面内的点Z(a,h).

2.复数？=a+似a,。£R).二二对应•平面向量52

知识点五复数的模

1

1.定义：向量宓的模叫做复数z=q+bi（a,6WR）的模或绝对值.

2.记法：芨数z=aIbi的模记为团或£I历I.

3.公式:\z\=\a+bi\=a2~\~b2.

知识点六共聊复数

1.定义：当两个复数的实部相等,虚部义为相反数时,这两个复数叫做互为共扼复数.虚部不等于0的两个共物复数

也叫共施虚数.

2.表示：z的共桅复数用z表示，即若z=a+6i（a,/，£R）,则z=a-b\.

【题型归纳】

题型一：复数的概念

I.（2024高一•全国）给出下列命题：

①若QWR,则（a+l）i是纯虚数：

②若a,b1R且a>6，则a+i>/>+i；

③若dblc,则复数a+/>i的实部为心虚部为岳

@i的平方等于T.

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②

C.③D.®

2.（22-23高一下•全国）下列四种说法正确的是（）

A.如果实数〃=方，那么。-6+（a+b）i是纯虚数.

B.实数是复数.

C.如果。=0,那么N=4+6i是纯虚数.

D.任何数的偶数次辕都不小于零.

3.（22・23高一下♦湖南长沙）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若/+]=（）,则x=iB.实部为零的复数是纯虚数

C.z=（/+l）i可能是实数D.复数z=2+i的虚部是i

题型二：复数实部和虚部

4.（2324高一下•江苏苏州•期中）若复数z满足z=l-"（i是虚数单位），则z的虚部是（）

A.6B.一gC.底D.-V3i

5.（23-24而一下•广东湛江•期末）以2i-石的虚部为实部，以后i-2i?的实部为虚部的新复数是（）

2

A.-x/5+iB.2+iC.2-2iD.y/s+yfsi

6.（23-24高一卜.・江苏镇江•期中）已知好数z=cosa+icos2a（0<。<次）的实部与虚部互为相反数，则a的取值不

可能为（）

兀5兀-47t

A.-B.—C.加D.—

333

题型三：根据相等条件求参数

7.（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知i为虚数单位，凡丁为实数，若（x+yi）+2=（3-4i）+2j，i,则x+y=（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2023•全国•模拟预测）已知其中x,y是实数，i是虚数单位，则犬-蚱（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2122高一•全国•课后作业）若MeR,i是虚数单位，a+2021i=2-6i,则二+》等于（）

A.2021+2iB.2021+4iC.2+2021iD.4-2021i

题型四；复数的分类问题

10.（2。24高一下•江苏•专题练习）下列命题：

①若aeR,则（a+l）i是纯虚数；

②若a,btR,且“>〃，则a+i>6+i；

③若（9―4）+（/+3x+2）i是纯虚数，则实数工=±2：

④实数集是系数集的真子集.

其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.©

11.（22・23高二上•浙江温州•期中）若a,bwR,则“复数z=a+bi为纯虚数（i是虚数单位）"是“工0”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

12.（2D24高一下江苏专题练习）对于复数a"i（a,6uR）,下列说法正确的足（）

A.若a=0,则a+6i为纯虚数

B.若a+9-l）i=3-2i,则a=3,b=-2

C.若6=0,则a+6i为实数

D.i的平方等于1

题型五：已知复数的类型求参数

3

13.（24-25高一下•全国•随堂练习）若复数z=/—i+（小2_〃-2＞为纯虚数，则实数加的值为（）

A.-IB.±1C.1D.-2

14.（24-25高一下,全国）设QCR,则“。=1”是“复数（"l）S+2）+i为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（23-24高三上•山东德州）如果复数z=〃/+2w-3-是姮虚数，，”eR,i是虚数单位，则（）

A.〃7Hl且“7工—3R.m=—3

C.ni=\D.=1或加=-3

题型六：复数的坐标问题

16.（23-24高一下•内蒙古巴彦淖尔期末）在及平面内对应的点位于（）

22

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

17.（2024高一下•江苏•专题练习）在复平面内，平行四边形X8CZ）的3个顶点48,。对应的复数分别是l+2i,-2+i,

0,则点。对应的复数是（）

A.3-iB.—l+3iC.3+iD.—3—i

18.（23-24高三上•江苏常州•期末）在复平面内，复数z=-'+且i对应的向量为况，复数z+1对应的向量为砺,

22

那么向量相对应的复数是（）

A.1B.-1C.底D.一6i

题型七：复数的模的问题

19.（23-24高二下•云南•期末）已知i为虚数单位，发数z=3-4i,则|z|=（）

A.IB.3C.5D.7

20.（23-24高一下•四川遂宁•阶段练习）复数z=2+3i,下列说法不正确的是（）

A.z的实部为2B.z的虚部为3i

C.z=2-3iD.|z|=V13

21.（23-24高一下•浙江宁波•期末）已知复数z=a-i的实部与虚部相等，则|z-i|=（）

A.V2B.V5C.2五D.VlO

题型八：复数的综合问题

4

22.（24-25高一下•全国）设O为坐标原点，已知向量西，西分别对应复数4，z,,且马=U1+（/,

2

z=-一+（2。-5），（其中aeR）,若4+马可以与任意实数比较大小.

2\-a

（1）求向量在对应的复数；

（2）设中点为Z,求|oz|.

23.（24-25高一下•全国）已知复数2=（加2+〃-6）+（〃/一机—2）i（/〃€R）.

（1）若z是实数，求实数，〃的值；

（2）若z是虚数，求实数〃，的取值范围；

（3）若z是纯虚数，求实数机的值.

24.（23-24高一下•陕西商洛•期木）已知meR,复数z=2）+何+训+2）i.

（1）若z为纯虚数，求;Ni+3-2i；

（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数机的值.

【高分达标】

一、单选题

25.（24-25高一下•全国）复数i+i?在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

26.（24-25高一下•全国）在复平面内，。为原点，向量而对应的复数为-l+2i.若点/关于虚轴的对称点为点8,

则向量砺对应的复数为（）

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.-l+2i

27.（23-24高一下甘肃庆阳期中）已知虚数z是美于x的方程x2-2,ha=0（〃uR）的一个根，且忖=Q,则a=（）

A.3B.2C.4D.7

28.（23-24高一下•福建福州•期末）若，-4）+（1+3x+2）i是纯虚数，则实数"（）

A.±2B.-2C.2D.-1

29.（23-24高一下•广东清远•期中）已知复数z=3-4i,则（）

A.z的虚部为-4iB.|z|=3+4i

5

C.z=3+4iD.z在复平面内对应的点在第三象限

30.（23-24高一下•湖南邵阳•期末）已知〃cN,/={-!,1},贝广〃为偶数”是“i"e/"（i是虚数单位）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

31.（23-24高一下•安徽芜湖・期末）在生平面内，兔数3+4i,-2+i对应的向量分别是两，而：其中。是原点,

则向量而对应的复数为（）

A.—5—3iB・—1—3iC.5+3iD.5—3i

32.（23-24高一下,湖北•期末）当]＜小＜1时，复数机（4+i）-（3+i）在复平面内对应的点位于（）

4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

33.（23-24高一下•四川达州•期中）下列四种说法不正确的是（）

A.如果实数a=b,那么。-力+（〃+》是纯虚数.

B.实数是复数.

C.如果4=0,那么Z=4+用是纯虚数.

D.任何数的偶数次幕都不小于零.

34.（24-25高一下•全国•单元测试）在复平面内，若z=〃/（l+i）-〃44+i）-6i所对应的点位于第二象限，则实数〃?

的值可以是（）

1011

A.—B.—C.3D.4

33

35.（23-24高一下•河南商丘•期中）已知复数z=〃J-l+（〃?+l）i（,〃wR）,则下列命题正确的是（）

A.若z为纯虚数，则m=1

B.若z为实数，贝i」z=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则〃?=]

D.z在复平面内对应的点可能在第三象限

36.（23-24高一卜・内蒙古兴安盟•期末）已知复数z=l-2i,则（）

A.z的共挽复数为l+2iB.z是纯虚数

C.z的模是5D.z在复平面内对应的点位于第四象限

37.（23・24高一下•安徽铜陵•期末）已知复数z=（〃-l）+（/+2a—3）i,其中。为实数，i为虚数单位，则下列说法

正确的是（）

A.若z为虚数，则或。工-3

6

B.若复平面内表示复数z的点位于第二象限，则〃<-3

C.若z>-2,则。=1

D.若a工1且aw-3,则z?=|n「

38.（23-24高一下•重庆・期末）已知复数4=2+下22=3-4,4/2在复平面内对应的点分别为4,4，则（）

A.归+向|=|马|+七|

B.|Z,Z2|=55/2

C.满足|z|="|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是57t

D.满足|4|<曰<忆|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是127r

三、填空题

39.（24-25高一下•全国•随堂练习）在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为4B,若C为线段的中点,

则点C对应的复数是.

40.（23-24高一下•安徽马鞍山•期木）已知1是虚数单位，复数z和（z+2）’-Xi均为纯虚数，则