全国初中数学八年级竞赛模拟卷（三）含答案

全国初中数学八年级竞赛模拟卷(三)

一、单选题(共6小题，满分30分，每小题5分)

1.设实数cVaV0Vb,则-c)2—13a+2c|+J(c—5尸一|Q-b|的化简结果是()

A.5aB.3a+2bC.2b-2cD.a+2c

2.X是％1，工2,…，与00的平均数，a是％1，》2,…，％30的平均数，b是％31，工32,…，％100平均数，则下列各式一定正确

的是()

3.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.乙车出发lh后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达B

地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车

之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，则()

■W(km)

80......-f4

60/\

bedx/(h)

A.甲车速度是120km/hB.力、B两地的距离是360km

C.乙车出发4.5h时甲车到达B地D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇

4.已知。=高4+29,b='%+27,c=击％+25,则代数式a2+从+c?-ab-be-ca的值是()

A.12B.10D.20

5.设abc=1,

cib+a+lbc+b+=ca+c+1

1/6

6.如图，C为线段4B上一动点（不与点4、B重合），在同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE,AE

与2。交于点F,4E与。。交于点G,BD与CE交于点H,连接GH.以下五个结论：®AE=BD；®GH\\ABi

（3）AD=DH,®GE=HB；⑤乙=60°,一定成立的是（)

A.①②③④B.①②④⑤C.⑤D.①③④⑤

二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

7.如果关于％的一次函数y=mx+（2m-4）的图象经过第一、三、四象限，那么7几的取值范围是

8.分解因式Q+y)(x+y-2xy)+(xy+l)(xy-1)=

9.如图，点。在点4、C两点之间运动（不与点4、。重合），^BAC=Z-AFB=90°,AE=AB=AC.若

AB=8,CH=4,则EH=.

2/6

10.如图，平行四边形48co中，BF_LG9交CO于点F,BE1AD交AD于点E,Z.EBF=60°,EF=y/39,DF=2,

则BC=.

11.如图，在等边△ABC中，。、£分别是边8C、4c上的点，且BD=CE,4）与8E相交于点P,连接CP,

若CPJ.40,则啜=.

12.如图，在中,。㈤产分别为8c,4O,CE的中点，且5足孔=4刖2,则阴影部分的面积为cm2.

三、解答题（共6小题，满分60分）

3/6

13.(本题8分)(1)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如,

“求代数式&E+J(12-x)2+9的最小值”:小邺同学发现7^1彳可看作两直角边分别为％和2的直

角三角形斜边长，J(12-％)2+9可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出下

图，

将问题转化为求线段的长，进而求得后百+，(12—%)2+9的最小值是_

(2)类比迁移：已知a,b均为正数，且a—b=4.求VS中-后与T的最大值.

14.(本题10分)我们常将一些公式变形，以简化运算过程.如：可以把公式”(。+外2=层+2时+乒

变形成层+炉=(Q+b)2-2ab或2ab=(a+b')2—(a2+X)等形式，

问题：若欠满足(20-%)(%-30)=10,求(20-30)2的值.

我们可以作如下解答；设。=20-%匕=%-30,则(20-%)(％-30)=。8=10,

又：a+b=(20—x)4-(x-30)=20—30=—10.

所以(20-x)2+(%-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2x10=80.

请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：

(D若x满足(80-x)(x-70)=-10,求(80-%)2+(%-70产的值.

⑵若x满足(2023-x)2+(2020-%)2=4057,求(2023-“)(2020-%)的值.

15.(本题1()分)如图(1),48=4cm,ACLAB,BD14C=BD=3cm.点P在线段上以lcm/s

的速度由点川句点B运动，同时，点Q在线段8。上由点B向点。运动.它们运动的时间为£（s）.

（1）若点。的运动速度与点〃的运动速度相等，当£=1时，△ACP与ABPQ是否仝等，并判断此时线段PC

和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2）,将图（1）中的“AC_L力氏BDLABf,改为=408力=60。”，其他第件不变.设

点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得与aBPQ全等？若存在，求出相应的X、/的值；若

不存在，请说明理由.

16.（本题10分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线y=丘+8与直线y=%+2交于点4（2,7n）,直

线y=kx+8,直线y=x+2与y轴分别交于点B,C.

（I）求R,加的值：

⑵如图2,已知点尸（上几）,过点尸作PE1y轴，交直线y=x+2于点£,过点P作PD1x轴，交直线y=kx+8

于点。（点尸与点。不重合）.

①连接尸8,PC,求P8+PC的最小值；

②连接E。，当APDE是等腰直角三角形时，求〃的值.

17.（本题10分）如图，在中，AB=AC=^,NB4C=90°,AD1.BC,E在4c边上运动（不与

点N重合），AE<CE,将△COE沿DE折叠至△FOE,EF分别与AD,4B交于G,〃两点.

（1）求证：乙BDF=2乙ADE；

⑵如图1,若OG=34G,求△AGE的周长;

（3）如图2,设0尸与力B交于点M,在整个运动过程中，记与△AEG的周长之和为y,则］，的值是否变

化，若变化求出范围：若不变，求出外

18.（本题12分）（1）【判断】如图1,在。中，48二40。，ZC=70°,作乙84c的平分线40交

于点。，在40上任取点凡作FE_LBC,垂足为点E,则NOFE=_______；

（2）【迁移】如图2,将（1）中“在4。上任取点尸”改为“在DA的延长线上任取点F"，其他条件不变,

则K。FE=；

（3）【拓展】如图3,在△48C中，LB=a,zC=/?（/?>tz）,4D是。的平分线，在直线力。上任取点尸,

过点?作与直线BC交于点E,请直接写出NOEF与。，〃之间的数量关系.

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全国初中数学八年级竞赛模拟卷(三)

一、单选题(共6小题，满分30分，每小题5分)

1.设实数cVaV0Vb,则-c)2—13a+2c|+J(c—5尸一|Q-b|的化简结果是()

A.5aB.3a+2bC.2b-2cD.a+2c

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，整式的加减等知识，先根据C<Q<0Vb判断出Q-

c>0,3Q+2C<0,c-b<0,a-b<Q,然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，最后合并同类

项即可.

【详解】解：・・・cVQ<0Vb,

a-c>0,3a<0,2c<0,c-b<0,a-b<0,

.*.3a+2c<0,

・“(a-c)2-|3a+2c\+V(c-b)2-\a-b\

—|a—c|-13a+2c\+\c-b\—\a-b\

=G-c-l-(3a4-2c)]4-[-(c-b)]-[-(a-b')]

=G—c+3a+2c-c+b+a—b

=5Q,

故选：A.

2.工是…，打00的平均数，a是%1，X2,…，％30的平均数，b是%31，%32,…，％100平均数，则下列各式一定正确

的是()

▲70a+30b八30a+70b八a十。n.

A-x=-^-B-x=~^-C-X=VD.x=a+bz

【答案】B

【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键；

根据算术平均数的定义解答即可.

【详解】解：〈工是孙孙…,％100的平均数，。是%1，*2,…，％30的平均数，b是%31，X32,…，％】00的平均数，

x

.•.刀1+x2+…+30=30a,x31+x32+…,+%ioo=70ZJ,

•_%i+42+…+孙00_3Qu+70b

••X——•

100100

故选：B.

3.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往8地.乙车出发lh后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达B

地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车

之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，则()

I721

y/(km)

A.甲车速度是120km/hR.4、F两地的距离是360km

C.乙车出发4.5h时甲车到达8地D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇

【答案】C

【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题.

分析两车之间的距离y(km)与甲车行驶的时间》(h)的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解.

【详解】解：点(0,60)中可知，乙1小时行驶了60km,

，乙的速度60km/h,

点(1.5,0)中可知，L5h后，甲追J_乙，

・••甲的速度为=100(km/h),

由点(瓦80)可知,甲到8地，且甲乙相差80km,则:

b=，+1.5=3.5,

100-60

点(C,Q)可知，休息30分钟，

'.c=3.5+0.5=4,a=80—60x0.5=50；

点(d,0)可知，甲乙再次相遇，＜/=4+-^-=4+AA.

lUU+oUio=4In

A.甲车的速度是lOOkm/h,故A错误，不符合题意：

B.由以上分析已知甲出发3.5h后到达B地，且甲速度为100km/h,所以4B两地为100x3.5=350(km),

故B错误，不符合题意；

C.甲车3.5h到达8地，乙车比甲车早出发lh,所以乙车出发4.5h时甲车到达B地，故C正确，符合题意;

D.从图中(1.5,0)和(d,0)可知，甲出发L5h和4为与乙车相遇，故D错误，不符合题意.

16

故选：C.

4.已知。=看％+29,6=^x4-27,c=^x+25,则代数式/+〃+c?-Q匕-儿-ca的值是()

A.12B.10C.24D.20

【答案】A

【分析】本题考查代数式的化简求值.本题可先根据已知条件求出Q-6、b-c、C-Q的值，再将代数式/+

/+02-ab-be-ca进行变形，最后代入求值.

【详解】解：・・七=如+29,5=如+27,

2.21

・・・。-=(拉+29)一(系+27)=如+29一P-27=2,

Vb=±x+27,c=*+25,

一=(如+27)-(如+25)=如+27一如-25=2,

Vc=4-25»a=-^-x4-29»

2929

・・・・。=(系+25)—(系+29)=*+25——-29=-4,

a1¥b2+c2—ab—be—ca

=-x(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

=gx[(a2—2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)]

=x[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]

・•・原式=1[22+2?+(—4)2]=12；

故选:A.

5.设abc=1,则“4---；--1-----=()

ah+a+lhc+b+.ca+c+1

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出c=S，代入肃7+菰公+；^而■化简即可解答.

【详解】解：・・七儿=1,

・1

・"二工’

：•原式=hl4i~~----H―F^i

岫+a+l6+b+l止益二/1

=a4-').

ab+a+11,1.1,

a+bA+1/访+11

aab1

=---------+----------+----------

ab+a+1ab+a+1ab+a+1

_ab+a+1

ab+a+1

=1.

故选：A.

6.如图，C为线段48上一动点(不与点4、8重合)，在48同侧分别作正三角形AC。和正三角形BCE,AE

与BD交于点、F,46与CO交于点G,BD与CE交于点、H,连接GH.以下五个结论：®AE=BD；®GH\\AB；

@AD=DH；④GE=HB；©Z.AFD=60°,一定成立的是()

3/21

E

A.①②③④B.①②④⑤C.⑤D.①③④⑤

【答案】B

【分析】由等边三角形的性质可得4c=DC,CE=CB,^ACD=乙BCE=60°,利用等式的性质可得乙ACE=

乙DCB,于是可证得△4CEg40C8(SAS),进而可得4E=D8,故结论①正确，Z-CAE=Z.CDB,Z.AEC=

乙DBC,然后利用ASA可证得△GCEgZkHCB,于是可得GC=HC,GE=HB,故结论④正确，进而可证

得△GCH是等边三角形，于是可得乙CGH=60。，因而可得=41CD,于是可得GH||?1从故结论②正

确，利用三角形外角的性质可得乙4尸。=60。，故结论⑤正确，然后可推出乙OCH中4OHC,因而DCWDH,

EPZDDH,故结论③不正确.综上所述，正确的结论有①②④⑤，共4个，据此即可得出答案.

【详解】解：•••△AC。和△BCE都是等边三角形，

AC=DC,CE=CB,Z.ACD=LBCE=60°,

•••Z.ACD+Z.DCE=乙BCE+zJ)CE,

即：乙ACE=LDCB,

•••△4CE@△DCB(SAS),

AE=DB,故结论①正确，

Z.CAE=Z.CDB,

^.AEC=4DBC,

即：乙GEC=LHBC,

•••△力。。和4BCE都是等边三角形，

CE=CB,Z.ACD=乙BCE=60°,

Z.HCB=Z.BCE=60°,

Z.GCE=1800-Z,ACD-乙BCE=180°-60°-60°=60°,

Z.GCE=乙HCB,

••.△GCfg△HCB(ASA),

:.GC=HC,

GE=HB,故结论④正确，

XvZ.GCH=Z.GCE=60°,

.•.△GC”是等边三角形，

•••/CGH=60°,

Z.CGH=Z.ACD,

4/21

GH//AB,故结论②正确，

vZ.CAE=乙CDB,

:.Z.AFD=Z.CAE+Z,CBD=乙CDB+乙CBD=Z.ACD=60°,故结论⑤正确，

vZ.DCH=Z-GCH=60°,

Z-DHC=乙HCB+Z-HBC>乙HCB=60°,

:.乙DCHH乙DHC,

二DC手DH,

•••△4CD是等边三角形，

:.AD=DC,

•••ADHDH,故结论③不正确，

综二，正确的结论有①②④⑤，

故选：B.

二、填空题(共6小题，满分30分，每小题5分)

7.如果关于”的一次函数y=mx+(2m-4)的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是________.

【答案】0VmV2

【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及解不等式组等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的

关键.

先由一次函数图象所过象限得到m>0,且2m-4V0,解不等式组即可得到答案.

【详解】解：••・关于》的一次函数)=m》+(2巾一4)的图象经过第一、三、四象限，

m>0,且2m-4V0,

解得0VmV2,

故答案为：0<mV2.

8.分解因式(％+y)(x+y-2xy)+(xy+l)(xy-1)=.

【答案】(x+y+l)(x+y-xy-1)

［分析】本题主要考查了因式分解.先根据整式的乘法运算,把原式变形为(％+y)2-2xy(x+yi+x2y2-1,

再由完全平方公式和平方差公式，即可求解.

［详解］解：(%+y)(x+y-2xy)+(xy+l)(xy-1)

=(x+y)2-2xy(x+y)+x2y2-1

=(x4-y-xy)2-1

=(x4-y-xy+1)(%+y—xy—1),

故答案为：(无+y-xy+l)(%+y-xy—1).

9.如图，点。在点小C两点之间运动(不与点力、。重合)，Z.BAC=Z-AFB=90°,AE=AB=AC.若

力B=8,CH=4,则E”=.

521

E

B

【答案】4V7

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，过点C作CG1AH

于G,先求出E"=V2EF,CH=V2CG,再证明△AFBCGA(AAS)得出4F=CG,进而可得CH=V2AF,

再由勾股定理计算即可得解.，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

【详解】解：过点C作CG_L4H于G,如图：

,：AE=AB=AC,

/.Z.AED=乙ABE,Z.ACE=Z.AEC,

设匕AEO=/.ABE=a,贝ijNBAE=180°-2a,

Z.CAE=Z-BAE-Z-BAC=90°-2a,

vZ.CAE+乙ACE+Z.AEC=180°,LACE=乙AEC,

:.Z.AEC=45°+a,

Z.BEC=Z-AEC-Z-AED=45°,

•••乙FEH=45°,

vAH1BE,

:.乙FHE=Z.FEH=45°,

•••EF=FH,

又•；LEFH=90°,

EH=y/2EF,

vZ.FHE=45°,CG1FH,

Z.GCH=LFHE=45。，

•••GC=GH,

6/21

CH=&CG,

vZ.BAC=Z.CGA=90°,

/B力/+NC4G=90°,Z.CAG-^Z.ACG=90°,

•••Z.BAF=Z.ACG,

XZB=AC,LAFB=LAGC,

.-.△/IFF三aCG力(AAS),

:.AF=CG,

ACH=V2AF,

在Rt△力中，AE2=AF2+EFZ,

二(&F)2+(V2EF)2=2AE2,

:.EH2+CH2=2AB2,

vAB=8,CH=4,

•••EH=46

故答案为：4斤.

10.如图，平行四边形力8CD中，BF1G)交CD于点F,BE1交X。于点E,乙EBF=60°,FF=V39,DF=2,

【答案】8

【分析】本题考杳了平行四边形的性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题

的关键.

过点F作产HJ_BE于点，，先求出乙4BE=30。，Z.CBF=30°,设CF=%,分别对Rt△4E8,Rt△C8F运用30。

角直角三角形的性质和勾股定理表示出边长，再对Rt^BH尸运用30。角直角三角形的性质和勾股定理表示

出边长，最后再对口△£1“「运用勾股定理建。•.方程求解即可.

【详解】解：过点尸作FH1BE于点”，

ADIIBC,AD=BC,AB=CD

7/21

：.z.A+^ABC=180°

设乙4=z,C=a,

yBFLCD,BELAD.

：./.ABE=Z.CBF=90°-a,

：.a+90°-a+60°+90°-a=180°,

解得：a=60°,

：.^ABE=30°,Z.CBF=30°,

设CF=x,则8。=力。=2，AB=CD=x+2,

BF=y/BC2-CF2=V3x,

•・ZBE=30。，

.,・/E=/B=N+I,

：.BE=\/AB2-AE2=—x+V3,

2

在中，匕EBF=60。,

・"BFH=30%

:,BH=^BF=^x,

:.FH=y/BF2-BH2=-x,HE=BE-BH=-x+y/3-—x=V3,

222

在RlZ\EH尸中，由勾股定理得HE2+HF2=产后2,

222

A(V3)+(|X)=(V39),

解得x=4(舍负)，

：.BC=2x=8,

故答案为：8.

11.如图，在等边△ABC中，D、£分别是边BC、ACI二的点，且8D=CE,AD与8E相交于点P,连接CP,

若CP14D,则啜=.

【答案】;

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质.

作4Q1BE于点、Q,贝IJ4IQB=Z.CPA=90°,由等边三角形的性质得48=CA=BC,Z.BAE=LACD=60°,

而5O=CE,则月E=CC,可证明△6AE三△/4CD,^ZLABE=^CAD,可推导出乙APE==60、则

8/21

乙PAQ=30°,所以为P=2PQ,再证明△BAQACP,则BQ=AP=2PQ,所以8P=PQ=则筹=

/r\rZ

于是得到问题的答案.

【详解】解：作421BE于点。，

VCP1AD,

：,^AQB=Z.CPA=90°,

•••△/8C是等边三角形，BD=CE,

：.AB=CA=BC,Z,BAE=Z71CD=60°,

：.CA-CE=BC-BD,

.*.AE=CD,

在△BAE和△力CD中，

AB=CA

Z.BAE=Z.ACD»

AE=CD

：.^BAE^ACD(SAS),

：.z.ABE=Z.CAD,

：.LAPE=乙BAD+^ABE=乙BAD4-Z.CAD=Z.BAC=60°,

:-PAQ=90°-Z-APE=30°,

：,AP=2PQ,

在△84Q和△力CP中，

乙ABQ=乙CAP

LAQB=Z.CPA,

AB=CA

：.ABAQ三△ACP(AAS),

：.BQ=AP=2PQ,

：.BP=2PQ-PQ=PQ=1TIP,

.BP1

••茄―T

故答案为：

12.如图，在△ABC中,。出尸分别为4C,/1Q,CE的中点，且S.Bc=4cm2,则阴影部分的面积为cm2.

9/21

A

【答案】1

【分析】本题考查了中点相关的面积问题,熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键：

根据中点得到面积关系即可求得见8.・

【详解】解：丁。为8c中点，

•FABO-^AACD~(S/ABC=1X4=2(cm2)

2

同理可得：S6RDE=SACDE=\sAACD=1x2=l(cm)

•FBCE=2cm2

•・•尸是EC的中点,

11,八

•••$丽=;SABCE=5x2=l(cmz)

乙乙

故答案为：1.

三、解答题(共6小题，满分60分)

13.(本题8分)(1)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如,

“求代数式后”+«12-“)2+9的最小值”:小郸同学发现荷*可看作两直角边分别为4和2的直

角三角形斜边长，J(12-x)2+9可看作两直角边分别是12-i和3的直角三角形的斜边长.于是构造出下

图，

将问题转化为求线段AB的长，进而求得中+，(12-%)2+9的最小值是

(2)类比迁移：已知a,b均为正数，且a-b=4.求亚丁彳-VF■不I的最大值.

【答案】3)13；(2)E

【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段

最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键.

(1)利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出==V(12-%)2+9,根据两点之间线

段最短，可得7^不彳+«12-％)2+9的最小值为4B的长,再利用勾股定理求出48的长即可；

(2)构造矩形4ESH取6E的中点C,作CD工8E丁点C,AF一2F—a,BC一1,CO—b,可推山32十4一A

遍F的值最大，需48—BD的值最大，即当4,D,8三点共线时，48—BD的值最大，最大值为力。，由

点C是BE的中点，CD//AE,可得出。是的中点，即再运用勾股定理求解即可.

【详解】解：(1)如图,

由勾股定理，可得P4=y]AC2+PC2=y/x2+22=

在山△BPD中,

由勾股定理，可得PB=7PD?+BD2=J(12—x)2+32=J(12-x)2+9,

'：PA^PB>AB,

：.<x2+4+—x)2+9的地小值为SB的长,

在RSA8E中,

由勾股定理，可得48=，4伺+BE2=J(2+3)2+122=13,

・••正2+4+J(12—3)2+9的最小值是13；

故答案为：13；

(2)构造图形如下，矩形4EB心点。是BE的中点，CD工BE于点、C,AF=2,BF=a,BC=l,CD=b,

由勾股定理，可得48=7BF?+花=必钝

在&△雨/)中，

由勾股定理，可得BD=毗屏+8c2=

•••、-7?-VPV1=AB-BD,

要使VQ2+4-W?2+1的值最大,需8。的值最大，

・•・当aD,8三点共线时，4B-8。的值最大，最大值为力D,

•・•点。是8E的中点，CD//AE,

•••。是48的中点，

：・CD=；BF,AD=^AB,

22

11/21

即力=

*/a—b=4,

a=8,/?=4,

：.AB=>JBF2+AF2=V82+4=2y[17,

：.BD=y/CD2+BC2=V42+1=V17,

：.AD=2\[17-y/17=V17,

.•・、@T4-后二n■的最大值g.

14.(本题10分)我们常将一些公式变形，以简化运算过程.如：可以把公式"(a+b)2=a?+2ab+b2"

变形成a?+b2=(a+b)2-2ab或2ab=(a+b)2-(a2+b?)等形式，

问题：若%满足(20-盼0：-30)=10,求(20-30)2的值.

我们可以作如下解答;设Q=20-%匕=%-3设M(20-x)(x-30)=ab=10,

又：a+b=(20—x)4-(x-30)=20-30=—10.

所以(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2x10=80.

请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：

(1)若%满足(80-x)(x-70)=-10,求(80-%)2+(%—70)2的值.

(2)若％满足(2023-x)2+(2020-%)2=4057,求(2023-x)(2020-%)的值.

【答案】⑴120

(2)2024

【分析】本题考查了完全平方公式，掌握题目所给的变形方式并正确应用是关键.

(1)设Q=80-X,b=x-70,再求Q+b的值，然后借助完全平方公式求值；

(2)设a=2023-%,b=2020-x,再求出a-b的值，然后借助完全平方公式求值.

【详解】(1)解：设Q=80—b=x—70,

贝必匕二-10,a+b=80-x+x-70=10,

所以,(80-x)2+(x-70)2

=(a+b)2—2ab

=102-2X(-10)

=120：

(2)解：设a=2023-％,b=2020-x,

则a-b=(2023-%)-(2020-r)=3,

,:(2023-x)2+(2020-x)2=4057,

Aa2+b2=4057,

由(a-b)2=a2+b2-2ab得：

2ab=a2+b2—(a—b)2,

所以，(2023-x)(2020-x)

12/21

=ab

=^[a2+b2-(a-b)2]

=1(4057-32)

=1(4057-9)

1

=-x4048

=2024.

15.(本题10分)如图(1),AB=4cmfACLAB,BDLAB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以lcm/s

的速度由点4向点B运动，同时，点Q在线段80上由点8向点。运动.它们运动的时间为t(s).

⑴若点。的运动速度与点夕的运动速度相等，当t=l时，与是否全等，并判断此时线段PC

和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2）,将图（1）中的''4C14B,改为“N&48=2DB力=60。”，其他芸件不变.设

点Q的运动速度为%cm/s,是否存在实数”,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的腔/的值；若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴AACP与ABPQ全等,线段PCJLPQ,理由见解析

⑵｛『或｛"2

tx=15=1.5

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键.

（1）由速度和时间求得力P、BQ,进而可得8P,再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可

证明，由全等的性质求得4=进而可得N/PC+48PQ=90。，即PCJ.PQ；

（2）分两种情况讨论：①△ACP三ZiBPQ时，AC=BP,AP=BQ^@△ACPBQPmAC=BQ,AP=

BP,利用对应边相等的关系建立方程组求解即可；

【详解】（1）解：△4CP与△BPQ全等，线段PCJ.PQ,理由：

当£=1时，AP=BQ=1,BP=AC=3,

由题意得乙1=ZF=90°,

在△ACP和中，

（AP=BQ

卜4=匕8,

L4c=BP

13/21

，△A"=△BPQ(SAS),

,"CP=乙BPQ,

:“APC+Z.BPQ=Z.APC+Z-ACP=90°,

J.Z.CPQ=90°,

•••PC1PQ；

(2)解：①若△ACP=△BPQ,

：,AC=BP,AP=BQ,

(3=4-t

tt=xt'

解得｛:二卜

②若△ACP三△8QP,

：.AC=BQ,AP=BP,

(3=xt

it=4-t*

解制；二25.

综二所述，存在｛:二；或［二；5使得△71cp与aBPQ全等.

16.(本题10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线y=kX+8与直线y=%+2交于点力(2,6)，直

线y=Zx+8,直线y=x+2与y轴分别交于点8,C.

（1）求左，机的值：

（2）如图2,已知点P（n,九），过点尸作PEJLy轴，交直线y=无+2于点E,过点P作P。J.%轴，交直线y=—+8

于点。（点P与点。不重合）.

①连接PB,PC,求PB+PC的最小值；

②连接ED,当是等腰直角三角形时，求〃的值.

【答案】（l）m=4,k=-2

14/21

(2)①2g：②九=2或n=¥

J

【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的

判定与性质，等腰直角三角形的存在性问题等知识点.

(1)由待定系数法求解即可；

(2)①先确定点P在直线y=x匕在工轴正半轴.上截取。G=0C=2,连接BG,PG,证明△POC三4POG(SAS),

则PC=PG,那么PB+PC=PB+PG之BG,当点3,P,G三点共线时，PB+PC取得最小值即为BG=

70G2+OB?=7A+82=2717；

②可得&=九一2,则PE=ri—(九-2)=2,而y0=—2九+8,则/5。=|一2九+8—川=|8—3川，而4EPD=

90。，那么当aPOE是等腰直角三角形时，只能是PE=PD,得到|8-3九|=2,解绝对值方程即可.

【详解】(1)解：由题意得，将(2,m)代入y=x+2得：m=2+2=4,

.M(2,4),

将4(2,4)代入y=々X+8,贝ij2k+8=4,

解得攵=-2；

(2)解：①对于y=x+2,当％=0,y=2

••・C(0,2),

由(1)可得直线、=kx+8的解析式为y=-2%+8,

当x=0,y=8,

；・6(0,8),

VP(n,n),

・••点P在直线y=x上，

•••PEly轴，记垂足为点K,

：.PK=OK=|n|,

•••△POK为等腰直角三角形，

・"POK=45。,

・iPOx=450="OK,

在x轴正半轴上截取。G=OC=2,连接BG,PG,

15/21

•••△POCXPOG(SAS),

:,PC=PG,

：.PB+PC=PB-^PG>BG,当点B,P,G三点共线时，PB+PC取得最小值即为HG=70G?+=

V22+82=2V17：

②如图：

由遗意得VE—yp—n»X[)—xp—TI,

•・•£*在直线y=x+2上，

xE+2=n,

••xE=n-2,

/.PE=n—(n-2)=2

丁点。在直线y=-2%+8上，

=-2—+8,

:・PD=\—2n+8—n|=|8-3n|»

•・・PEly轴，PDlx轴，

AzFPD=90°

16/21

・•・当△PDE是等腰直角三角形时，只能是PE=PD,

/.|8-3n|=2,

解得：n=2或n=y

・•・当△POE是等腰直角三角形时，几=2或九=；.

17.(本题10分)如图，在△A8C中，AB=AC=4V2,/-BAG=90°,AD1BC,E在AC边上运动(不与

点,4重合)，AE<CE,将折叠至△?/)£",EF分别与A。，力8交于G,〃两点.

图1图2

(1)求证：Z-BDF=2Z/IDE；

(2)如图L若>G=3AG,求△力GE的周长；

(3)如图2,设。尸与力B交于点在整个运动过程中，记△FMH与△力EG的周长之和为外则了的值是否变

化，若变化求出范围；若不变，求出y.

【答案】(1)见解析

(2)2+2a或2V2.

(3%的值是变化的，变化范围为4&<yW8

【分析】(1)由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论；

(2)根据勾股定理与直角三角形的性质，求得AG=1,DG=3,在EC上截取EN=EG,连接D/V,过点N

作NP1CD于P,证明△DEGDEN(SAS),得DN=DG=3,再NP=PC,设NP=PC=x,由OP=4-x,

CN=yf2x,然后在RtZXDPN中，由勾股定理，求得x值，由CN=&%=2a-1或2或+1,代入即可

求/E+EG=AE+EN=AN=AC-CN的值，即可由△AGE的周长=AG+AE+EG求解.

(3)作乙BDF的平分线DN交48于N,证明△8DN三△ADE(ASA),得AE=BN,DN=DE,乙BND=iAED,

再证明△DMN三△DGE(ASA),得DM=DG,MN=GE,证明△FMH三2\4GH(AAS),得FH=AH,从而

求得y=8+4或一2DM,所以y随着DM的增大而减小，最后根据2企工DM<4,即可求解.

【详解】(1)解：・・・4)18C,

：.LBDF+Z.ADF="DB=90°,

・••乙4DF=90。一4BDF,

•・•将△CDE沿DE折叠至△FDE,

：.LCDE=Z.EDF=Z.ADE+乙ADF,

•；£CDE+匕EDF+4BDF=180%

：.2{LADE+ZZ1DF)+LBDF=180°,

17/21

2(AADE+90°-乙BDF)+乙BDF=180°,

，乙BDF=2乙ADE.

(2)解：AB=AC=4y[2,/.BAC=90°,

：.BC=y/2AB=8t

*：AD1BC,

：.BD=CD=AD=4f

•：DG=3AG,DGA-AG=AD

=1,DG=3,

在EC上截取EN=EG,连接DN,过点N作NP_LCD于P,如图1,

•••将4CDE沿DE折叠至△FDE,

工乙DEG=乙DEN,

•:EN=EG,DE=DE,

:ADEG£△DEN(SAS),

：.DN=OG=3,

'：AB=AC,Z-BAC=90°,

・LC=45。，

♦：NP1CD

：.Z-CNP=ZC=45°

:.NP=PC

设NP=PC=x,由DP=4—x,CN=V2x,

在RtZiDPN中，由勾股定理，得/+(4-%>=32

解得：%=2±^,

JCN=岳=2&±1,

：,AE+EG=AE+EN=AN=AC-CN=4>/2-(272±1)=272±1,

，当AE+EG=2或+1时，

△AGE的周长=AG+AE+EG=1+2>/2+1=2+272.

当HE+EG=2V2-1时，

△4GE的周长=AG+AE+EG=l+2尤-1=2>/2.

18/21

综二，△AGE的周长为2+2五或2vL

(3)解：作r的平分线ON交48于M如图2,

・・•/)/7平分48。尸

:•乙BDN=乙MDN,

由(1)知：乙BDF