高考数学 集合及其运算 （学生版）

集合与常用逻辑用语、不等式

集合及其运算

激活思维

1.(教材经典题改编)若集合A="|幺-1=()),则下列结论错误的是()

A.B.{~1}QA

C.014D.{-

2.(多选)己知集合A={xLr-3x+2^0),8=国2V2，W8},则下列判断正

确的是()

A.AUB=B

B.(鼠3)口4={川邸忘2或上>3}

C.AAB=31<rW2}

D.(CRB)U([RA)=R

3.(教材经典题改编)已知集合4={1,3,a2},8={1,。+2},若AUB=A,

则实数。=.

4.(教材经典题改编)已知集合A=30VxV。},B={x|0<x<2},若6但A,

则实数。的取值范围为.

聚焦知识

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：—、—、一.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号£或6表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见集合的符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号NN*或N+ZQRC

2.集合间的基本关系

关系定义记法

相等复合4与8的所有元素都相同A=B

子集A中任意一个元素均为B中的元素

或834

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有

真子集AMB

一个元素不是A中的元素

注意：若集合A中含有〃（〃21）个元素，则集合A有个子集，个真

子集.

3.集合的基本运算

集合的并集AU8集合的交集AA8集合的补集

图形

表示10

意义{x\x^A或工£8}{4r£4且x£B}｛小且南｝

4.常见结论与等价关系

⑴AAB-AUB；AUB=A<^BQA.

(2)([uA)UA=：[u([u4)=.

⑶摩根定律：[忒AGB)=([uA)U([uB),(54UB)=([UA)C([M).

题型突破思维拓展

举题说法

目帧H集合中元素的性质

例1（1）（多选）下列关于集合相等的说法正确的有（）

⑵:+4>0,

A.3『+1=0｝=4",

lx+3<0

B.｛力=23+1｝=｛出=2?+1｝

1一（一।）"*[

C.\xx=-〃£N*,=｛文|-1VkV2,x£N｝

乙

D.｛（x,）加=正口+亚=｝=｛（）,1）

(2)若a,%1组成的集合与/,〃+40组成的集合为同一个含有三个元素

的集合，则(活的值为—.

(3)已知集合Anlxlo?+Zx+lnO,a£R}.若A中只有一个元素，则。=

一;若A中至少有一个元素，则。的取值范围为一.

・总结提燎A

(1)集合中的元素最重要的性质是互异性.

(2)注意以下集合的差异：{yly=y/^-l}:{x\y=yf^—^\)：{(x,y)|y=^/?-T};

{)7丘一]}•

变式1已知集合4={1,tn,〃},B={nr,m,mn}.若A=B,则机2。26.序

027=()

A.-1B.0

C.1D.2

目标一日集合间的关系

例2(1)(2025•南阳期末)已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=

{yb=f—x—6,x£M},则集合N的真子集个数为()

A.7B.8

C.15D.16

(2)(2025•赣州一续)已知集合A={x*—2t—3V0},B={X|3X—6Z<()},若

AGB,则实数。的取值范围是()

A.(9,+8)B.[9,+8)

C.(—8,—3)D.(—8,—3]

11

(3)已知集合M=x=m+不weZr,iV=1xx=2~yn^ZpP=

xx=2+6,z;eZ、则知，N,。的关系为()

A.M=N之PB.M£N=P

C.M=PJND.NJPJM

・总结提炼a

判断集合间关系的三种方法

(1)列举法;

(2)数轴法;

(3)结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异.

变式2已知集合A={HTV—1或x23},8={/kr+lW0},若则

实数。的取值范围是()

a-[-?0b-[-?i

C.(-8,-1)U[O,+8)D.O)u(o,l)

目帧©集合间的运算

视角1集合的基本运算

例3-1(1)(多选)已知全集。={一2,一1,0,1,234},集合A={x£Z|f-

x<6},8={-2,0,1,3},则下列方式中可表示图中阴影部分的是()

(15IJ3-KD)

A.(-1,2)B.[(AUB)B

C.AA([u6)D.([uA)G([uS)

(2)(2026•南昌期初)已知全集U={.#V1O,x£N*},集合A,8是U的子

集，若An5={2},&A)CB={5,7,9},([⑼0([通)={6,8},则集合A=

()

A.{2,3,4}B.{1,2,4}

C.{1，2,3}D.{1,2,3,4}

♦总结提燎A

(1)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简

单明了，易于解决.

(2)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn

图.

变式3-1（2026•邯郸期初）已知集合加={1|2]＜1},/V={A-|logx2＞0},

若全集u=R,则Mn（[uM=（）

A.（—8,1）B.[1,+0°]

C.（-1,1）D.（0,1]

视角2利用集合运算求参数

例3-2（1）已知集合4={疝）＜工＜1},非空集合3={工也VxVl一。}，

若AAB=8,则b的取值范围是____.

（2）已知集合4="*一51+6=0},3={.巾2—5工+。=0},且则实

数Q的取值范围为一.

变式3-2（2025•佛山一模）已知集合A={X|1VXVQ}，B=

{一2,0,1,2},若APB=。，则实数。的取值范围是（）

A.（-8,1）B.（一8,2）

C.（一8,1]D.（-oo,2J

目帧口集合新定义问题

例4（多选）设集合X是实数集R的子集，如果点xo£R满足：对任意

0,都存在x£X,使得（）V|x-xo|V〃，那么称xo为集合X的聚点，用Z表示整数

集，则下列集合中以（）为聚点的是（）

A.〃+]|〃£Z,〃2（）B.{x|x£R,xWO}

C.D.整数集Z

＜总结提炼A

此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的

方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断.

变式4（多选）设产是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意4,bGP,

都有。+匕，a—byabGP,且若〃W0,狂P,则称P是一个数域.例如，有理数

集Q是数域.下列说法正确的是（）

A.数域必含有0』两个数

B.整数集是数域

C.若有理数集QGM,则数集M一定是数域

D.数域中有无限多个元素

随堂内化

1.（2025•广州一模）已知集合A={x|0WxW。},8={M?-2x<0},若

A,则实数。的取值范围是（）

A.（0,2）B.（0,2］

C.（2,+8）D.［2,+8）

2.（2025•苏北七市二调）设集合U=R,M={xk>1},N={3-1<x<2},

则{x|xW-1}等于（）

A.［u（MATV）B.

C.D.NU（［uM）

3.（2025•漳州三模）己知集合A={M2x-l<0},B={x|ev<2},则（）

A.AUB=xx<^B.4nB={4rVln2}

C.AU（［RB）=RD.BU（［RA）=R

4.某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参

加两个小组.已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加

化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5

人,则同时参加数学和化学小组的有一人.

配套精练

一、单项选择题

1.（2025•全国I卷）设全集。={小是小于9的正整数}，集合4={1,3,5},

则［以中元素个数为（）

A.0B.3

C.5D.8

2.（2025•全国II卷）已知集合4={-4,0,1,2,8},B={x*=x},则

)

A.{0,1,2)B.{1,2,8)

C.{2,8}D.{0,1)

3.(2025•福州三模)已知全集为R,A={h2,3},8={Mlog?x£Z},则

图中阴影部分表示的集合是（）

A.{1}

B.{2)

C.{h2}

D,{0,I,2,4j

4.(2025•南京、盐城一模)设集合4={/*-4＜0},B={川＜+。＜0}.若A

则实数。的取值范围是（）

A.(—8,2)B.(—8,2]

C.(—8,—2)D.(―00,-2]

5.(2026•南通期初)已知集合4={1，4,a2},B={4,2a},若ACB=B,

则实数。的取值集合为()

1]1]

A.仿，B.1(),2(

2-

6.(2025•福州二模)已知全集U=4UB={1,2,3,4},AG([u5)={2,4},

Bn([(/A)={l},则Ari8=()

A.{1，2,3,4}B.{1，3}

C.{2,3,4}D.{3}

7.己知全集U={x£N*|-2VxV9},A/={3,4,5),P={1,3,6},则(CuM)n(1

〃)是()

A.{2,7,8}B.{2,3,45,7,8}

C.{1,2,4,5,678}D.{123,6,7,8}

8.（2025•保定二模）若集合八一Hx,），）|），=（x-l）a-5）｝,8=｛（x,），）|），2=4x）,

则An8的真子集的个数为()

A.3B.4C.7D.15

9.若数集4={m，。2，…,如}(々0V及＜…V",屋22)具有性质P：对

任意的i,，(1WiV)Wm，S可与詈中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”，

则()

A.{1,3,4}为“权集”

B.{1,2,3,6}为“权集”

C.“权集”中元素可以有0

D.“权集”中一定有1

10.某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个

项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1500

米比赛，10()米和400米都参加的有4人，100米和1500米都参加的有3人，

400米和1500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是()

A.三项比赛都参加的有2人

B.只参加10()米比赛的有3人

C.只参加400米比赛的有3人

D.只参加1500米比赛的有1人

二、多项选择题

II.(2025•萍乡二模)己知全集。={1，2,3,4,5,6},集合4包。

U,且满足AAB={3,5},([uA)n((uB)={2,4},则下列说法正确的有()

A.4£A

B.6£(AUB)

C.集合A可能是{1，3,5,6}

D.([uA)U([uB)={l，2,4,6}

12.若非空集合M,N,尸满足MAN=N,MUP=P,则()

A.PQMB.MOP=M

C.NUP=PD.M「(C/W)=0

13.我们知道,若集合ACS,那么A的补集为CsA={x|x£S且居A}.类似

地，对于集合人，B,我们把集合卜卜仁人且遥8}叫做集合4和区的差集，记作

A-B.例如：A={1,234,5},3={4,5,678},则有4-5={1,2,3},B-A=

{6,7,8）.下列说法正确的有（）

A.若4={4,5,679},5={356,8,9},则3—A={3,7,8}

B,如果4-8=。，那么

C.