一次式（讲义沪教版）（原卷版）

第08讲一次式

启新温故

预习目标知识回顾

1.上一讲我们学习了代数式与代数式的值，知道

i.理解一次式的概念，能判断一个代数式是否为一

了用字母表示数的式子叫代数式。

次式；掌握含字母的式子的书写规范，能正确书写

2.我们还学习了含字母式子的书写规范，如3%、

代数式；2ab、1等。

2.理解同类项的概念，能准确判断同类项；3.本章前两讲，我们分别学习了“用字母表示

3.掌握一次式加减的法则一一合并同类项；数”和“代数式与代数式的值”。

4.在实际问题中，我们常常会遇到需要“整理”

4.掌握去括号与添括号的法则；

代数式的情况一一把同一类的项合并起来，把括

5.理解整体思维，能把代数式看作一个整体进行合

号去掉或添上,让式子变得更简洁.这就是本讲

并代入。要解决的核心问题：一次式及其加减运算。

新课一点通

新知导图

小一次式是数学中的"代数表达式

知识点01一次式的概念包含,且未知湎w次豉为一

式为卬b.M中丽展初.

*{济机.防一次式的JMX

同如fl喻是含有相同变JPO的同次1辆I

知识点02同类项J

(旦{可以■按遂行皿蛎■即型01一次式的概念

冏类酬系数可以相加或相X

题型同类项的判断

再一次式中国陵地的累数相加02

保持安・依次0不文

知识点03一次式的加减•合并同类项

一一次式中同美国的。欧3即型03一次式的加减•合并同类项

{/持变■和次数不变

应用分配修去除表达式中的括号题型04去括号与添括号

去结号{正负号与括号内各野眼

知识点04去括号与添括号

1MBlt要将盘达式中的用电合在T即型05整体思维的应用

--------(通案是为了一一同奥融或重化表达式

在处理一次式间及时.幅个霆达式校为

「工《硒”皿鼻嬴一

在进行加血时,先合并同类ifl

在加号时.注意括号内外的正负号

预习精讲

（2）想一想

一家水果店进了三种水果：苹果、

香蕉和橙子。店主用字母表示每种

水果的单价（元/千克）：

•苹果：口元/千克

•香蕉：口元/千克

•橙子：口元/千克

同学们，请看卜面这个水果店进货清单的问题:

一家水果店进了三种水果：苹果、杳蕉和橙子。店主用字母表示每种水果的单价（元/千克）：

苹果：。元/千克

香蕉：b元/千克

橙子：c元/千克

采购员小张采购了：3千克苹果、2千克香蕉、5千克苹果、4千克橙子、1千克香蕉。

【思考1】小张采购苹果的总费用是多少？采购香蕉的总费用是多少？采购橙子的总费用是多少？你能把这

三项合起来写出总费用的代数式吗？观察这个代数式：8a+3b+4c,每一项中字母的指数都是几？这种类

型的代数式叫做什么？

【思考2】小张的采购单可以写成：3a+2b+5a+4c+A你能通过调整各项的顺序，把这个式子变得更

简洁吗？哪些项可以合并？哪些项不能合并？不能合并的项有什么共同特征？能合并的项乂有什么共同特

征？

【思考3】水果店做促销活动，规定：如果一次购买苹果和香蕉的总价超过50元，总价再打9折。小明

买了x千克苹果和y千克香蕉，总价超过50元。应付金额为0.9（ax+by）o你能把这个式子中的括号

去掉吗？去括号前后，式子的值变了吗？去括号的依据是什么？

【思考4］已知a+b=5,求3（a+b）-2的值。这里我们没有求出Q和b各自是多少，而是把什么

看成了一个整体？为什么要这样做？这种思想方法叫什么？

知识点一次式的概念

一次式的定义：

由数字与字母的乘积组成的代数式，且字母的指数都是1,这样的式子叫做一次式。

如：3%、—2a、-b.5x—3y+2都是一次式。

一次项与常数项：

。一次项：字母的指数为1的项。如3x、-2y都叫一次项。

o常数项：不含字母的项。如5、-3都叫常数项。

一次式的标准形式：

把一次式按某个字母的降累（或升基）排列，同类项合并后写成最简形式。

如：3x+2y-5x+3y的标准形式为一2x+5y。

注意：

ox2不是一次式（因为x的指数是2）。

o2xy不是一次式（因为x和y的指数和是2）。

o单独一个字母（如％）或一个数（如5）也是一次式。

【即学即练1】

I

1.124-25六年级上•上海松江・期末）一次式--中，一次项的系数为.

4

2.124-25六年级上•上海•阶段检测）一次式的系数是__________.

知识点02同类项

同类项的定义：

所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。

如：3%与-5%是同类项（都含％,且x的指数都是1）；

在六年级阶段，我们主要研究一次式中的同类项，即字母部分完全相同的项。

判断方法（两步法）：

①看所含字母是否相同；

②看相同字母的指数是否分别相同。

③两步都满足才是同类项。

④注意：

（1）同类项与系数的大小无关。3%与-5%是同类项，0.5%与100%也是同类项。

（2）同类项与字母的排列顺序无关。2ab与3ba是同类项。

（3）常数项都是同类项。3、一5、0都是同类项。

【即学即练2】

1.125-26六年级上•上海宝山♦阶段检测）一次式胃2的一次项系数与常数项的和是

2.124-25六年级上•上海•阶段检测）合并同类一次项：2a-3。+〃=.

知识点03一次式的加减一合并同类项

合并同类项的定义：

把多项式中的同类项合并成•项，叫做合并同类项。

合并法则：

将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

如：3x+5%=（3+5）x=8x；—2a+7a=（-2+7）a=5a。

合并步骤：

①找同类项——找出式子中的同类项（可做记号）；

②移动项——利用加法交换律将同类项移到一起（连同符号一起移动）；

③合并一将同类项的系数相加，字母部分不变；

④整理结果——按某一字母的降累（或升嘉）排列。

一次式加减的实质：

一次式的加减运算，本质上就是合并同类项。

要点：

。合并同类项的结果中，不再含有同类项。

。系数相加时，注意符号（特别是负数）。

。若同类项的系数互为相反数，则合并后该项为0。

【示例】

合并同类项：5x-3y+2x+4y

解：原式=（5x+2x）+（-3y+4-y）=7x+y

【即学即练3】

1.124-25六年级上•上海•阶段检测）小马虎在计算一次式-3x+l与另一个一次式的差时，把差当成了和，

求出的答案是2工-3,则正确的答案是.

2.（25-26六年级上•上海普陀•期末）己知一个一次式与-加-的+1的和是3。-2,那么这个一次式是

知识点04去括号与添括号

去括号法则：

（1）括号前是“+”号：括号内的各项都不变号“

+（a+b-c）=a+b-c

（2）括号前是号：括号内的各项都变号。

—(a+b—c)=-a—b+c

记忆口诀：“正不变，负全变:

添括号法则：

(1)括号前添“+”号：括到括号内的各项都不变号。

a+b-c=+(a+b—c)

(2)括号前添“-”号：括到括号内的各项都变号。

a+b-c=-(-a-b+c)

记忆口诀：“正不变，负全变“(与去括号相同)。

注意：

去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。括号前有系数时，先用乘法分配律将系数乘入括号内的每一

项，再去括号。

示例：

(1)+(3x—2y+1)=3%—2y+1(不变号)

(2)-(3x-2y+1)=-3x+2y-1(全变号)

(3)2(3%-y)-3(x+2y)=6x—2y—3x—6y=3x-8y

(3)添括号：a-b+c=a—(b-c)

【即学即练4】

1.124-25六年级上•上海•阶段检测)计算：-3(-x+4)，)=

2.125-26六年级上•上海普陀•阶段检测)下列去括号正确的是()

A.m-2(p-g)=m-2p+c/B.m+(n-p-=m+n-p+2q

C.〃L2(〃+q)=/〃-2〃+gD.〃，一[一(一〃[+〃)]=〃

知识点05整体思维

整体思维的定义：

在解决数学问题时，把某一部分看成一个整体来处理，而不是分别处理其中的各个部分。

在代数式中的应用：

(1)整体合并：把(a+力)看成一个整体进行合并。

如：3(a+b)+5(a+b)=(3+5)(a+b)=8(a+b)

(2)整体代入：当题目给出的是某个式子的值，将整个式子看作一个“整体”代入。

如：已知a+b=5,求3(a+b)-2。

解：3(a+/j)-2=3x5-2=13o

整体思维的优势：

。简化运算，避免复杂的计算过程。

。在题目信息不足时(只知道部分条件)，仍然能求出结果。

。是初中数学最重要的数学思想方法之一，员穿整个代数学习。

【即学即练5】

1.（25-26六年级上•上海虹口・期末）已知一次式A、8、C满足A-28=3C,其中A=-2（x+2）+l,C=4x-3,

用含x的式子表示4=.

题型速练►►►

题型01一次式的概念

【例I】（25-26六年级上•上海普陀・期末）在一次式产中，各一次项的系数分别是（）

A.—3和2B.—3和-2C.—3和!D.—3和—1

2222

【例2】（25-26六年级上•上海•课后作业）一次式2-gx中，一次项是,常数项是

A常见错误/必记结论

-一次式的判断标准：每一项中字母的指数都必须是1。

-x2不是一次项（指数是2）；2xy不是一次项（指数和是2）,

-单独一个字母（如x）或一个数（如5）也是一次式。

-一次式可以含有多项：如3x<y+5是一次式。

-判断一次式时，要检查每一项中字母的指数是否都为I。

--42y是一次式：4-2xy不是一次式（因为2xy不是一次项）及

【小试牛刀】

1.125-26六年级上•上海宝山•阶段检测）一次式聋虫的一次项系数与常数项的和是_______.

2.（24-25六年级上.上海金山・期末）一次式2-gx中，一次项系数是_________.

题型02同类项的判断

【例1】（24-25六年级上•上海•阶段检测）合并同类一次项：加-初+4〃=.

【例2】（24-25六年级上•上海•阶段检测）下列说法中正确的是（）

A.在一次式中，常数项没有同类项B.在一次式中，2X与2»，是同类项

C.一次式与一次式的和一定是一次式D.在一次式中，-3），与一1是同类项

A常见错误/必记结论

-同类项必须同时满足两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同。缺一不可。

-同类项与系数大小无关，3%与-lOOx是同类项。

-同类项与字母的排列顺序无关，ab与ba是同类项。

-常数项（如3、—5、0）都是同类项。

-a2b与。非不是同类项，这是最容易判断错误的地方。

-无与产不是同类项（指数不同）。

-常数项与含字母的项一定不是同类项。

-x2y与xy2不是同类项，不要被它们含有相同的字母迷惑。

【小试牛刀】

1.（25・26六年级上•上海普陀•期末）已知一个一次式与-加-幼+1的和是3〃-2,那么这个一次式是_____.

题型03:一次式的加减一合并同类项

【例1X25-26六年级上•上海嘉定・期末）如果一个一次式与5x+3的和是8x+7,那么这个一次式是

【例2】（24-25六年级上•上海嘉定•阶段检测）已知是关于x的一次式，求〃的值.

A常见错误/必记结论

-合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变。

-移动项时要连同前面的符号一起移动。

-系数相加时注意符号：3a+2a=5a,-2b-3b=-5bo

-合并后要检查是否还有同类项，确保结果中不再含有同类项。

-若同类项的系数互为相反数，合并后该项为0。

-分别合并x项和y项：4x+2x=6x,-3y+Sy=2yo

-x项与y项不能合并（不是同类项）。

-结果为6x+2y,不是6x-2y,注意一3y+5y的正负号。

【小试牛刀】

1.124-25六年级上•上海杨浦•期末）如果一个一次式与6犬-3的和是4x+3,那么这个一次式是.

2.（24-25六年级上•上海闵行•期末）如果一个一次式与力+2的和是54-3,那么这个一次式是.

题型04:去括号与添括号

【例1】（25-26六年级上•上海•阶段检测）T2x-），）=.

【例2】（25-26六年级匕上海♦阶段检测）下列去括号正确的是（）

A.-(b-c)=-b-cB.-2(x-4y)=-lx+4y

C.3x+(5x-l)=3x-5x-lD.(x-l)-(x2-2)=x-l-x2+2

A常见错误/必记结论

-去括号口诀：“正不变，负全变”。

-括号前是号时，括号内的每一项都要变号，不要漏项。

-括号前有系数时，系数要乘以括号内的每一项，不要只乘第一项。

-去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。

-添括号口诀：“正不变，负全变”(与去括号相同)。

-括号前添号时，括入括号内的各项都要变号。

-验证方法：把括号去掉，看是否变回原式。

【小试牛刀】

1.(24-25六年级上•上海徐汇•期末)计算：5(〃L3)=.

2.(24-25六年级上•上海•期末)去括号：

(1)-(-a+b)+(―c+</)=；

(2)x-3(y-l)=；

(3)-2(-y+8x)=.

血05:整体思维的应用

【例1】(25-26六年级上•上海杨浦・期末)有三个关于x的一次式：4x+2、依-3(2为一次项的系数)、

"比+〃(机为一次项的系数、〃为常数项).

⑴小海在研究一次式4x+2时发现，当x的取值每增加1时，一次式4x+2的值就增加4.所以他得到这样

一个结论：”当x的取值每增加I时，一次式4x+2增加的值只与一次项系数4有关，和常数项2无关”.你

同意小海的观点吗？请说明理由；

(2)对于一次式内-3,当x的取值每增加1时，一次式质-3的值就减少2,那么攵的值是(直接写出

答案)；

(3)己知当x的取值每增加1时,一次式"次+〃增加的值是一次式4x+2增加的值的3倍;且当x的值为0时，

一次式〃式+〃的值与依-3的值相等.那么m+〃的值是(直接写出答案).

【例2】(24-25六年级上.上海杨浦.期末)数学活动课上，小海利用列表法研究一次式31-6、—3x-6的值

随着X的取值的变化情况.

X•••-4-3-2-1012•••

3A-6・・・-13-15-12-9m-30・・・

-3x-6•・・630-3-6-9-12•••

根掂表格，完成下列问题:

（1）表格中的团=;

（2）从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式3工-6的值（填“增大"、"不变''或“减小”），一次

式-3x-6的值（填“增大”、“不变”或“减小”）；

（3）小海在研究时，得到这样一个结论：”当x的值每增加1时，一次式3x-6减去一次式-3x-6的差就增加

6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由.

A常见错误/必记结论

-整体合并：把相同的代数式看作一个整体，合并其系数。

-整体代入：不需求出每个字母的值，直接把已知条件的整体代入。

-整体思维的关键是找到相同的部分作为整体。

-整体思维是初中数学最重要的思想方法之一。

-观察4x-2y与2x-y的关系：4x-2y=2（2x-y）o

-整体代入2x-y=4,不需要分别求4和y的值。

-这种方法在题目信息不足时（只知道部分条件）仍然能求出结果。

【小试牛刀】

（25-26六年级上•上海・期末）求一次式x-2），+（减去一次式-彳3+），-：的差，并求当x=2,时

该差的值.

v4-12T+3

2.（24-25六年级上•上海•阶段检测）已知一次式苫^3-三产工2的一次项的系数为〃，常数项为人则。

与6的差的立方的计算结果为.

基础固本提升

基础过关

42

1.（25-26六年级上•上海普陀・期末）一次式-；的一次项是_____.

35

2.（25-26六年级上•上海・期末）一次式1+；大中的一次项系数是.

3.（25・26六年级上•上海普陀•阶段检测）多项式-3x+2的一次项系数是一.

4.（25-26六年级上•上海•阶段检测）代数式3-［中一次项的系数是_____.

8

4

5.（25-26七年级上.全国.课后作业）指出一次式，〃-亍中的一次项，常数项及一次项的系数

6.（24-25六年级上.上海宝III.期末）关于代数式一字，下列说法中正确的是（）

4

A.它的一次项系数是

B.它的常数项是T

C.它是一个一次式

D.它曷一个一次项

7.（24-25六年级上•上海•阶段检测）计算：-3（-x+4y）=

8.（25-26六年级上.上海普陀•阶段检测）下列去括号正确的是（）

A.m-2（p-c/）=m-2p+qB.tn+（/?-/?-=ni+n—p+2q

C.m-2（/7+67）=ni-2p+qD.，〃一［一（一〃？+〃）］=〃

9.（24-25六年级上•上海•期末）化简：一（T十y）=.

10.（25-26六年级上•上海•单元复习）下列去括号正确的是（