北师大版高中数学必修第二册-弧度制

§3弧度制

最新课标了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.

3.1弧度概念

3.2弧度与角度的换算

"""州川"E3E3EHE1,川川川川川川川川小

［教材要点］

要点一度量角的两种制度

定义用—作为单位来度量角的单位制

角度制

1度的角周角的—为1度的角，记作1°

定义以—为单位来度量角的单位制

弧度制长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1

1弧度的角

弧度的角.1弧度记作1________

正确理解弧度与角度的概念

(1)定义不同；

区别

(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位

(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆

联系的半径大小无关的值；

(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化

要点二弧度数的计算

1.正角：正角的弧度数是一个.

2.负角：负角的弧度数是一个.

3.零角：零角的弧度数是—.

4.如果半径为厂的圆的圆心角。所对弧的长为/,那么，角a的弧度数的绝对值是同

要点三角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=________2花rad=________

180°=________nrad=________

1°=________=0.01745rad1rad=________弋57.3()。

度数X^=弧度数弧度数义(与)。=度数

180

角度制与弧度制换算公式的理解

(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算.

（2）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同（都是0）；用角度制和弧度制

度量任一非零角，单位不同，量度也不同.

要点四扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,兀）为其圆心角，则

1.弧长公式：/=.

2.扇形面积公式：S==.

［教材答疑］

如图：

-74-6-5-4-3-2-10

对于任意一个负数它对应X轴负半轴上的点力，把线段O力按顺时针方向缠绕到圆

M上，点力对应单位圆上点4,这样就得到一个以点M为顶点，以为始边，经过顺时

针旋转以为终边的圆心角从该角的弧度数为负数日

［基础自测］

1.判断正误（正确的画“J”，错误的画“X”）

（1）1rad的角和1。的角大小相等.（）

（2）用弧度来表示的角都是正角.（）

（3）1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关.（）

（4）扇形的半径为1cm,圆心角为30。，则扇形的弧长/=|a|u=30cm.（）

2.下列各种说法中，错误的是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1。的角是周角的心，1rad的角是周角的;

C.根据弧度的定义，180。的角一定等于兀rad的角

D.利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关

3.将864。化为弧度为（）

A.等B.詈

仁智。•挣

4.扇形圆心角为216。，弧长为30兀，则扇形半径为.

川川川川川川川川川川川I川川川川川川川ai川川川川川川川h国国团困・I喇堂I解I透I伽耐耐伽2—

题型一角度与弧度的换算——自主完成

1.把一1125。化为2hr+a（AeZ,0Wa<2兀）的形式是（）

A.-6兀一卫B.-6TT+-

44

C.-8K--D.-87T+-

44

2.把弋化成角度是()

A.18°B.-18°

C.36°D.一36。

3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过

的角的弧度数是()

A.-B.-

56

C.--D.--

36

方法-J2附

进行角度制与弧度制的互化的原则和方法

⑴原则：牢记18O0=7rrad,充分利用1。=嗫rad和1rad=(—)。进行换算.

(2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数为〃，则arad=(a•岑)。；〃。=〃•味.

提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写.

(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少兀的形式，如无特别要求，不

必把兀写成小数.

(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

题型二用弧度制表示角的集合——师生共研

例1己知角。=20。5。.

(1)将a改写成00/?<2几)的形式，井指出a是第儿象限的角；

(2)在［-5m0)内找出与a终边相同的角.

(1)用弧度数表示与角a终边相同的角连同角a在内的集合为{6IB=2k7r+a,

k£Z}.

(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的

集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并.

跟踪训练1(1)终边在直线j，=一x上的所有角的集合是()

A.{a|a=2kn+手，kGZ}B.{a|a=2kii—,kGZ)

C.{a|a=kn+Y»k€Z}D.{a|a=kn-,kGZ}

(2)用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

图⑵

题型三弧长公式和扇形面积公式的应用——师生共研

例2(1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.

(2)已知一扇形的周长为40cm,求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最

大？最大面积是多少？

在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相应的公式；②扇形的周

长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问

题.

变式探究将本例(2)中的条件改为“扇形的面积为4cm2,当扇形周长最小时”，求扇

形圆心角的弧度数.

方法帕附

弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，孤度制

的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度

制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0,2五)；②利用a,/,R,S四个量“知二

求二”代入公式.

跟踪训练2(1)一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角是()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知扇形的圆心角为120。，半径为V5cm,则此扇形的面积为cm2.

易错辨析忽略角度度量单位的一致性致误

例3［多选题］下列与手的终边相同的角的表达式中正确的是()

A.2E+45。伏£Z)B.太360。+飞〃£2)

4

C.女360°—315°(%£Z)D.2A7t+^GZ)

解析：与空的终边相同的角可以写成2E+N或45。+左360。，肚WZ,则C、D正确.

44

答案：CD

易错警示

易错原因纠错心得

选项A、B中角度的表示同时用到了在一个题中，角度制和弧度制只能选

角度制和弧度制，这不符合要求.一种，不能两种同时使用，这一点一

错选ABCD.定要注意规范.

§3弧度制

3.1弧度概念3.2弧度与角度的换算

新知初探,课前预习

要点一

度£弧度半径长rad

要点二

正数负数01

r

要点三

271：rad360°nrad180°rad

要点四

屋>紧网

［基础自测］

1.(1)X(2)X(3”(4)X

2.解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.

答案：D

3.解析：864°=864X—=—,故选C.

1805

答案：C

4.解析：V216°=216X^=y,/=ar=yr=30n,

Ar=25.

答案：25

题型探究•课堂解透

题型一

1.解析：-1125°=—3X2n--=—4X2TI+—=—8TT+—.

444

答案：D

2.解析：)。=一36。.

答案：D

3.解析：由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转？弧度.

6

答案：B

题型二

例1解析：(1)・；2析5。=2005><捻3(1=嘿3(1=(5><2n+答)四又兀(答弯，

・••角a与罢终边相同，是第三象限的角.

(2)与a终边相同的角为2E+答(k£Z),

36

由一5兀・2而+詈：0,kez知k=-\,-2,-3.

・••在[-5冗，0)内与。终边相同的角是一婴，一甯，一整.

363636

跟踪训练1解析：(1)直线y=-x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，

故在0〜2兀范围内终边在直线y=-x上的角有两个：？，因此终边在直线卜=一刀上的

44

角的集合

s={a|a=曰+2kmkeZ}U{a|a=^+2kir,keZ}={a|a=曰+kir,keZJ=

{a|a=kn-,kGZ).

(2)对于题图(1),225。角的终边可以看作是一135。角的终边，化为弧度，即一空，60。角

的终边即斗勺终边，.••所求集合为fa|2kn—?<av2kn+9k6Z].

343

对于题图Q),同理可得，所求集合为{a|2E+9aW2E+T££Z}U{a|2E+7c+*aW2E

626

+n+1,Ar^Z}={a|kn<a<kn+^,kGZ).

答案：(1)D(2)见解析

题型三

例2解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为次0〈农2网，弧长为/cm,半径为/・cm,

B(l+2r=10.①

依题意有1,，

|沙=4,②

将①代入②得r2—5「+4=0,解得/=1或/=4.

当，=1时，/=8,此时6=8rad>2兀rad,舍去：

当/。=4时，1=2,此时e=2==(rad).rad.

422

(2)设扇形的圆心角为0,半径为rem,弧长为/cm,面积为Sen?,

则/+2r=40,A/=40-2r,

/.S—\r~X(4()-2r)r—(20—r)r——(r—10)2+100.

・•・当/•=1()时，扇形的面积最大.

这个最大值为100cm