人教版高中数学必修2考点训练：事件的相互独立性（原卷版）

10.2事件的相互独立性

【考点梳理】

>考点一：事件独立性的判断

>考点二：独立事件和互斥事件

>考点三：相互独立事件概率的计算

>考点四：相互独立事件的实际应用

>考点五：相互独立事件概率的综合应用

【知识梳理】

知识一相互独立事件的概念

对任意两个事件4与8,如果P（AB=P（A）P（⑨成立,则称事件4与事件8相互独立，简称独立.

知识二相互独立事件的性质

如果事件力与8相互独立，那么彳与万，7与a7与万也都相互独立.

【题型归纳】

题型一：事件独立性的判断

1.（24-25高一下•江西景德镇•期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件N表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下

列事件中与事件N相互独立的是（）

A.第二次朝上的数字是奇数B.第二次朝上的数字为2

C.两次朝上的数字之和为9D.两次朝上的数字之和为10

2.（23-24高一下•河南安阳）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中随机取出两个球，设事

件4="取出的球的数字之积为奇数“，事件3=”取出的球的数字之积为偶数”，事件C=”取出的球的数字之和为偶数”,

事件正”取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（）

A.事件A与4是互斥事件B.事件A与6是对立事件

C.事件。与。相互独立D.事件C与。不是互斥事件

3.（2022•全国•模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面“记为事件B,

“两枚结果相同”记为事件。，那么事件A与8,A与。间的关系是（）

A.A与8,A与。均相互独立B.4与8相互独立，A与。互斥

C.人与8,A与C均互斥D.人与8互斥，A与C相互独立

题型二：独立事件和互斥事件

4.（23-24高一下•云南.期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为134,乙盒中有3个大小和质地相

同的小球，标号为3,4,6,现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A="摸到的两个小球标号相同“，事件

8=”摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（）

A.事件A和8相等B.事件4和8互相对立

C.事件A和8相互独立D.事件A和8互斥

5.（21-22高二下•陕西咸阳•阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法第俅的是（）

A.若A4是对立事件，则A6是互斥事件

B.若事件A8相互独立，则A与万也相互独立

C.若事件AB相互独立，则A与8不互斥

D.若事件A〃互斥，则A与相互独立

6.（22-23高一下•江苏宿迁•期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中

正确的是（）

A.互斥事件一定是对立事件B.对立事件一定是互斥事件

C.互斥事件一定是独立事件D.独立事件一定是互斥事件

题型三：相互独立事件概率的计算

7.（24-25高一下•江西抚州）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件A正常工作，且&CD

三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作.已知元件4正常工作的概率为g,元件正常工作的概

率均为且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（）

B

D

8.（24-25高一下•江西•阶段练习）甲、乙、因3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命

1I3

中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为E，乙命中丙未命中的概率为丁，甲命中丙也命中的概率为9,则甲

668

命中乙也命中的概率为（）

A.—B.—C.-D.一

241263

9.（2024.云南贵州•二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的

概率为：3、第二局获胜的概率为2彳，第三局获胜的概率为2彳，则甲恰好连胜两局的概率为（）

433

A.-B.—C.—D.-

936369

题型四：相互独立事件的实际应用

10.（23-24高二下.山西太原.阶段练习）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相

当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获

得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了I局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费

马和帕斯卜都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（〉

A.甲150枚，乙150枚B.甲225枚，乙75枚

C.甲200枚，乙100枚D.甲240枚，乙60枚

11.（23-24高二上•广东清远•期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的

意见》［简称“强基计划”），明确从202（）年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.某高校笔试环节要求考生参

加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节.考生中通过三个科目的笔试考核的概率分别为

173

且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（）

A.iB.1c.上D.?

4242424

12.（23-24高二上•湖南.阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几

4

何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语、已知甲每轮猜对的概率为《，乙每轮猜对的概

3

率为了.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则''几何队”在一是比赛中至少猜对一个成语的概率为（）

4

A-B.2C.LD.±

5202020

题型五：相互独立事件概率的综合应用

13.（24-25高一下•山东东营）甲、乙两位队员进行某种球类对抗寒，每局依次轮流发球，连续嬴2个球者获胜，通

过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为短，乙发球甲赢的概率为:，不同球的结果互不影响，

34

已知某局甲先发球.

（1）求该局打4个球甲赢的概率；

（2）求该局打.5个球结束的概率.

14.（24-25百一上•江西抚州•期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学

面试，入学面试时共有3道题目，答刈2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.己

知小明答对每道题目的概率均为,，小华答对每道题目的概率依次为：、p且小明、小华两人对每道题能否

答对相互独立.记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A,记“小牛3道题都回答且通过面试”为事件乩

（1）求事件A发生的概率P（4）；

（2）求事件A和事件B同时发生的概率?（AB）；

（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率.

15.（24-25高一上•湖南邵阳・期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛竞赛共

3?

分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；，在第二

43

轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p,q.假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）若9=。，求乙恰好有一轮胜出的概率；

6

（2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为总9，甲，乙两轮都胜出的概率为弓6.

①求p,的值；

②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率.

【双基达标】

一、单选题

1.（24-25高三下•上海•阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件A:点数大于2;事件8:点数小于4;事件C:点数

为偶数.则下列关于事件描述正确的是（）

A.A与B是互斥事件B.A与8是对立事件

C.A与C是独立事件D.。与C是独立事件

2.（24-25高一上•江西赣州•期末）已知事件A,B相互独立，且叩）=g,0$）=；，则呻6=（）

A.-B.—C.-D.-

61233

3.（24-25高一下•安徽阜阳•阶段练习）甲、乙两人独立破译一个密玛，甲独立破译密码的概率为0.4,乙独立破译

密码的概率为06,则恰有一人破译密码的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.52D.0.76

4.（24-25高一上•陕西汉中•期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件3：所选盒中有记事本，事件C：所选盒

中有笔袋，则O

A.事件A与事件〃互斥B.P（/W）=P（4）P（8）

C.事件A与事件67C互斥D.P（B1C）=0.5

5.（2425高一下•全国•随堂练习）坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用A表示第1次摸到

白球，人表示第2次摸到白球，则A与4（）

A.是互斥事件B.是相互独立事件

C.是对立事件D.不是相互独立事件

6.（24-25高一上•内蒙古呼和浩特•期末）已知一个古典概型的样本空间。和事件4,B,满足，?（C）=10,〃（A）=4,

〃(0=3,〃(AIJ8)=6,则下列说法正确的是()

A.事件人与事件B互斥B.事件A与事件B独立

_3I

C.崛)=右D.P(AB)=历

12

7.(23-24高一下•江苏无锡•阶段练习)端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是;,

JJ

假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为()

22311

A.-B.—C.-D.—

515515

8.(23-24高一下•江苏无锡•期末)已知事件4,B满足尸(A)=0.5,P(B)=0.2,则()

A.若BUA,则尸(A3)=0.5B.若A与B互斥，贝！P(4+与=0.7

C.若A与B相互独立，则网人0=0.1D.若P(B)+P(C)=1,则C与4相互对立

9.(23-24高一下•江苏苏州•期末)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收

费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计

算).有甲、乙两人分别来该租车点和车骑游(各租一年一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为:，J；

42

两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为:，两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人

24

所付的租车费用相同的概率为()

A.-B.——C.!D.—

816416

10.(23-24高一下.广东广州.期末)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,

设月=“甲中靶5="乙中靶"，贝I()

A.4与B,A与8，4与8,彳与月都相互独立

B.AB与BA是对立事件

C.。(回耳)=0.98

D.P(ABAB\AB)=0.02

二、多选题

II.（24-25高一上.河南南阳.期末）已知事件人，"发生的概率分别为P（4）=0.3,P（B）=0.2,则下列说法正确的

是（）

A.若B发生时A一定发生，则尸（八3）=。3

B.若A与8互斥，则A和8都不发生的概率为0.5

C.若。（痛）=024,则A与B相互独立

D.若A与5相互独立，则P（A+3）=0.44

12.（24-25高一下•江西景德镇•期中）己知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A和？，若P（A）=1,P（B）=!，

43

则（）

-3

A.P（A）=-

4

B.0<P（^）<-

6

17

C.—KP（A+B）K—

312

D.若A、B相互独立，则A和8至少有一个发生的概率为g

13.（24-25高一上•山东威海・期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，（3）,④，⑤的5个

黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同.现从中取出1个小球，记事件人为“取出的小球的编号为③“，事件

8为“取出的小球是黑球”，则（）

A.A与B互斥B.P（AB）=-

8

3

C.A与8独立D.P（A+B）=-

4

14.（24-25高一下•贵州遵义阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件人表示“第一个骰子正面朝上的点数为

偶数”，事件8表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件。表示“两个股子正面朝上的点数之和大于8”，事

件。表示''两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（）

A.A与CB.A与。C.B与CD.8与。

15.（24-25高一上•云南大理・期末）已知事件A,〃发生的概率分别为P（A）=J,F（B）=g,则下列说法正确的是

A.若A与6互斥，则P（A+3）=P（A）+P（8）=*

6

2

B.若A与3相互独立，则P（A+8）=§

C.若A与B相互独立，则P（A闻=g

D.若8发生时A一定发生，则尸（A8）=!

16.（24-25高一下•全国•期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有I〜9这9个数字（I张卡片上标1

个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A,“从中任抽取I张卡片，结果卡片号

小于7”记为事件8,“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是（）

A.事件A与事件。互斥

B.事件8与事件C对立

C.事件A与事件8相互独立

D.P（AuB）=P（4）+P（8）

17.（24-25高二上•山东青岛•期中）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字“表示第一次抛掷骰子的点数，数

字），表示第二次抛掷骰子的点数，用（KF）表示一次试验的结果.记事件A="x+y=7"，事件8=。《3”，事件

C="町mo<15三1”，［注：余数运算々mod。三c出/0）表示整数。除以整数人所得余数为c.则（）

A.0（。）=1B.A与。为对立事件C.A与8相互独立D.8与。相互独立

36

18.（24-25高二上•安徽蚌埠•阶段练习）抛掷一枚假子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件A,“第二次向上的点

数是奇数”为事件8,“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C,则下列说法正确的是（）

A.事件A与事件8互为对立事件B.P（BC）=1

O

“府国D.事件8与事件。相互不独立

三、填空题

19.（24-25高一下•河南•期中）已知M,N是相互独立事件，且P（M）=0.18,P（N）=0.3,则P（MUN）=.

20.（24-25高一下•江西景德镇•期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三司谁就赢得80元

奖金，其中二人水平相同（每局仔何一人输赢概率均为0.5）,现在比蹇讲行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，

但因故需停止比赛.若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元.

21.（24-25高一下•江西赣州•期中）某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2,0.1,且故障事件

相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.

22.（24-25高一下•河南驻马店•阶段练习）甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜,

并可以获得200元奖金.已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因

某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得

元.

23.（24-25高二下•河北沧州•阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行

比赛，为轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中

1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲

获胜的概率为!■,乙、丙比赛，乙获胜的概率为:，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为_______.

3一

24.（24-25高一上•河南驻马店•期末）如图，电流通过元件4（1=1,234）的概率均为0.8,且各元件能否正常工作相

互独立，则电流能在E,/之间通过的概率是—.

---141I~1-2I---

------02------

25.（2425高三上•湖北武汉•阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有

雨伞可取，他将拿一把去办公室，如臭一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果

1?

天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为不下雨的概率均为且与过去情况相互独

立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为.

四、解答题

26.（24-25高一下•山东东营）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获

胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为:，乙每次投篮投中的概率为且各次投篮互

不影响.

（1）求乙获胜的概率；

（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

27.（24-25高一下•贵州遵义•阶段练习）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，

奖品价值分别为10元、20元、30元、40元.已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为HU，

6336

且每次抽奖结果相互独立.

(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；

(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率.

2

28.(24-25高一上•北京房山•期末)甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是乙解出这道

4

题FI的概率是

(I)求甲、乙两人都解出这道题目的概率：

(2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；

(3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率.

29.(24-25高一上・贵州•期末)某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部

答对，直接进入