用二元一次方程组解决问题 同步练习-2025-2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版七年级下册10.5用二元一次方程组解决问题

一.选择题(共6小题)

1.某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个

车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，)，个工人生产车轮，下列方程组正

确的是()

A(x+y=300区(x+y=300

A。(40x=20y(20x=40y

「(x+y=300口(x+y=300

(4x20x=40y(20x=4x40y

2.一•艘轮船出航时逆流而上，航速为4()千米/小时，返航时顺流而下，航速为60千米/小时，

这艘轮船往返的平均速度为()千米/小时.

A.42B.45C.48D.50

3.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只

燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”

解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为()

A(5%+6y=16B(5%+6y=16

,(5%+y=6y+%'(4x+y=5y+%

C(6x4-5y=16D16%+5y=16

,(6x4-y=5y4-x'(5x+y=4y+x

4.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱

三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1U,价值50

钱；行酒(劣质泗)1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得

多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是()

x+y=30fx+y=2

B

A・,L+JL_2-+30

(50十10—(50十10一口

r(x+y=30(x+y=2

J(50x+lOy=2(50x+lOy=30

5.《算法统宗》是我国明代数学家程大位(1533-1606)所著，文中记录了“二果问价”问

题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八.苦果七个匹文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几

何？设苦果有x个，甜果有)，个，则可列二元一次方程组为()

A(x+y=480

A，(7x+9y=450

rx+y=480

B.1411.

(产+个=450

x+y=480

江+书=45°

D(x+y=480

U'(4x+lly=450

6.九世纪阿拉伯数学家花拉子米首次系统提出“还原与对消”的代数方法，他在《代数学》

中记录了一个题目：两人同行，甲对乙说：“若你给我2第纳尔，我的钱数是你余下钱数

的两倍乙说：“若你给我3第纳尔，我的钱数将比你余下钱数多1第纳尔求两人原

有金额.可设甲原来有x第纳尔，乙原来有)，第纳尔，建立方程组为()

俨—2=2(y+2)

l(x-3)4-1=y+3

俨+2=2(y—2)

l(x-3)+1=y+3

(2(x-2)=y+2

lx+3=(y-3)+1

(2(x+2)=y-2

(x-3=(y+3)+1

二.填空题(共6小题)

7.在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹

则图2所表示的方程组的解为

IIIII-1111iiI-i

Imi=inmiin=n

8.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小

器各容几何?”译文:今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；

大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容

器的容量为x斛，小容器的容量为)，斛，则可列二元一次方程组

为.

9.某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵.如果原队阵中增加

16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则

原长方形彩旗队阵中有同学人.

10.《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，

上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各儿何？”学了方程(组)后，我们可以非常快捷

地解决这个问题，如果设鸡有x只，兔有.v只，那么可列方程组

为.

11.某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已

知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需（）.25个劳动力，为使所有的土地都种上

蔬菜（或棉花），且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花亩，蔬菜

亩.

12.甲、乙两人在一起练习跑步，如果甲让乙先跑3秒，那么甲跑4秒就追上乙；如果甲让

乙先跑10米，甲跑7秒就追上乙.若设甲、乙两人每秒分别跑x、,，米，列出的方程组

为.

三.解答题（共4小题）

13.某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000

个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使

生产的螺栓和螺帽刚好配套？

14.一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上

的数的g如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数

小99.求这个三位数.

15.某租车公司分两批采购人、8两种型号的新能源汽车，第一批购进I辆A型汽车、4辆8

型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆8型汽车，共花费76万元（同

类型汽车进价不变）.

（1）求4、5型汽车每辆的进价分别是多少万元？

（2）为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进4、B两种型号的新能源汽车（两

种车型都买），若恰好用完200万元，该租车公司共有几种购买方案？

16.根据以下素材，探索解决任务.

确定10元纸币、I元硬币和5角硬币的质量

素材1小明与小聪为了测量10

元纸币、1元硬币和5角

硬币的质量，准备了足够

多的10元纸币、1元硬币

和5角硬币（设同种类每

张纸币的质量相同，同种

类每枚硬币的质量也相

同)，实验器材有：一架

天平和一个10克的祛码.

素材2小明：天平左边放5枚1

元硬币和1个10克的祛

码，天平右边放10枚5

角硬币，天平正好平

衡,小聪：天平左边放15

枚1元硬币，天平右边放

20枚5角硬币和1个10

克的祛码，天平正好平

衡.

素材3小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元

纸币和1个1()克的祛码，天平右边放7枚1元硬

币和1()枚5角硬币，天平正好平衡.提出问题：

天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若

干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡.

问题解决

任务1确定硬币的质量每枚1元硬币和每枚5角

硬币的质量是多少克？

任务2确定纸币的质量每张10元纸币的质量是

多少克？

任务3问题解决的策略天平左边放入60张10元

纸币，天右边只放入若干

枚1元和5角的两种硬

币，请求出能使天平正好

平衡的天平右边放法的

所有方案.

参考答案与试题解析

一.选择题(共6小题)

1.某玩具厂共有3()()名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架2()个或车轮4()个，且1个

车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正

确的是()

俨+y=300pt+y=300

A*(40x=20yK*{20x=40y

(x+y=300(x+y=300

,(4x20x=40y*(20x=4x40y

【分析】根据“该玩具厂共有300名生产工人，且生产车轮的总数量是车架总数量的4倍”，

即可得出关于％y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：・・•该玩具厂共有300名生产工人，

/.x+y=300；

・・,生产车轮的总数量是车架总数量的4倍,

・・.4X20x=40y.

根据题意可列方程组灯短，兀.

故选：C.

2.一艘轮船出航时逆流而上，航速为40T・米/小时，返航时顺流而下，航速为60千米/小时,

这艘轮船往返的平均速度为()千米/小时.

A.42B.45C.48D.50

【分析】先设轮船单程的航行距离为S千米，然后根据速度=路程♦时间，即可得到这艘

轮船往返的平均速度.

【解答】解：设轮船单程的航行距离为S千米，

这艘轮船往返的平均速度为：昌=48(千米/时)，

4060

故选：C.

3.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只

燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”

解：设雀每只x两，燕每只)，两，则可列出方程组为()

A(5x+6y=16R(5X4-6y=16

•(5x+y=6y+x"{4x+y=5y+x

「(6x+5y=16D(6x+5y=16

,(6x+y=5y+x*(5x+y=4y+x

【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分

别得出等式求出答案.

【解答】解：设雀每只1两，燕每只)，两，则可列出方程组为：

(5x+6y=16

(4x4-y=5y+%"

故选：B.

4.《九章算术》中有这样•个题：“今有醉酒•斗，直钱五十；行酒•斗，直钱•十.今将钱

三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50

钱；行酒(劣质酒)1斗、价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得

多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是()

x+y=30fx+y=2

A-1xoy

l50+10=2l50+10=30

(x+y=30俨+y=2

(50x+lOy=2(5O.r+lOy=30

【分析】根据题意，需建立两个方程：一是总酒量为2斗，二是总花费为30钱.醇酒和行

酒的单价分别为50钱/斗和10钱/斗，由此可列出方程组.

【解答】解：根据题意可列方程组为｛募二擀=30,对应选项n

故答案为：D.

5.《算法统宗》是我国明代数学家程大位(1533-1606)所著，文中记录了“二果问价”问

题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八.苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几

何？设苦果有x个，甜果有)，个，则可列二元一次方程组为()

A(x+y=480

A・(7%+9y=450

rx+y=480

B.11.

(产+寸=450

x+y=480

°+=450

D(x+y=480

U，(4x+lly=450

【分析】利用总价=单价X数量，结合“四百五十文钱，甜果苦果买四百八”，即可列出关

于X,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：・・,甜果和苦果共买了48()个，

・••工+y=48()；

・・,共花费450文钱，苦果七个四文钱，甜果九个十一文，

9y=450.

(X+y=480

・•・根据题意可列出方程组4^11,.

｛产+gy=45c0n

故选：B.

6.九世纪阿拉伯数学家花拉了米首次系统提出”还原与对消”的代数方法，他在《代数学》

中记录了一个题目：两人同行，甲对乙说：“若你给我2第纳尔，我的钱数是你余下钱数

的两倍乙说：“若你给我3第纳尔，我的钱数将出你余下钱数多1第纳尔.”求两人原

有金额.可设甲原来有x第纳尔，乙原来有)，第纳尔，建立方程组为()

fx-2=2(y+2)

l(x-3)+1=y+3

(x+2=2(y-2)

((.r-3)+1=y+3

(2(x-2)=y+2

U+3=(y-3)+1

(2(x+2)=y-2

U-3=(y+3)+1

【分析】设甲原来有工第纳尔，乙原来有y第纳尔，根据乙给甲2第纳尔后，甲的钱变为

x+2,乙的钱变为)，-2,此时甲的钱是乙剩余钱的两倍，得到第一个方程/2=2()，-2)；

甲给乙3第纳尔后，甲的钱变为3,乙的钱变为尹3,根据题意，此时乙的钱比甲剩余

钱多1第纳尔，即：y+3=(x-3)+1化简得：(x・3)+1=)，+3,得到第二个方程，解答

即可.

【解答】解：根据题意得以焦；；汽

故选：B.

二.填空题(共6小题)

7.在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹

图表示的方程组为二;1则图2所表示的方程组的解为二：—.

inII-nnii।-i

।mi=mmiin=n

图1图2

【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示

的方程组的解.

【解答】解：依题意得：图2所表示的方程组为gUjU，

解得：(；：!•

故答案为：

8.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小

器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；

大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容

器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列二元一次方程组为二;_.

【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总

容量为2斛”，即可列出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：・・•大容器5个，小容器1个，总容量为3斛，

5x+y=3；

・・•大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，

•\x+5y=2.

・・・根据题意可列方程组住君：

故答案为：出要

9.某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵.如果原队阵中增加

16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则

原长方形彩旗队阵中有同学65人.

【分析】设原长方形彩旗队阵有同学〃人，设〃+16=/,〃・16=/，根据题意列出方程组

俨+?[6,即可求出或b的值,从而求出〃的值.

【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学〃人，

由已知得〃+16和〃-16均为完全平方数，

2

设〃+16=序，n-16=/?,

则/-〃=32,即(a+b)Qa-b)=32,

由。+8与的奇偶性相同，且小〃都为自然数，可得

(a+b=16

la-b=2'

解得㈡

所以〃=层-16=65（人）,

故答案为：65.

10.《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，

上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常快捷

地解决这个问题，如果设鸡有x只，兔有），只，那么可列方程组为_卷?）艺9一.

【分析】根据“上有三十五头，下有九十四足”，即可得出关于加y的二元一次方程组，

此题得解.

【解答】解：,・,上有三十五头，

/•x+y—35；

・・•下有九十四足，

・・・2t+4），=94.

・・・根据题意可列方程组以:J，94-

故答案为：gX=94-

11.某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已

知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需（）.25个劳动力，为使所有的土地都种上

蔬菜（或棉花），且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花，Q亩，蔬菜30亩.

【分析】设应安排种植棉花工亩，蔬菜y亩.则依据“耕作50亩地”和“安排20个劳动

力、植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力”列出方程组，并解答.

【解答】解：设应安排种植棉花x亩，蔬菜〉亩.则依题意得

pc+y=50

（0.25x+0.5y=20>

解得况舜

即应安排种植棉花20亩，蔬菜30亩.

故答案为：20；30.

12.甲、乙两人在一起练习跑步，如果甲让乙先跑3秒，那么甲跑4秒就追上乙；如果甲让

乙先跑10米，甲跑7秒就追上乙.若设甲、乙两人每秒分别跑小），米，列出的方程组为

（7x—7y=10

（4（X-y）=3y-'

【分析】设甲、乙两人每秒分别跑八），米，根据甲让乙先跑10米，甲跑7秒就追上乙；

甲让乙先跑3秒，甲跑4秒就追上乙，列方程即可.

【解答】解：由题意知:

(7x-7y=10

(4(x-y)=3y.

故答案为：(4^-7)=3/

三.解答题(共4小题)

13.某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000

个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使

生产的螺栓和螺帽刚好配套？

【分析】设应安排x名工人生产螺栓，则安排(22-支)名工人生产螺帽，根据1个螺栓要

配2个螺帽，列出方程进行求解即可.

【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排(22-x)名工人生产螺帽，由题意，得：

2X1200x=2000(22・x),

解得x=10,

•••227=12；

答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽.

14.一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上

的数的点如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数

小99.求这个三位数.

【分析】先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x,y,z,再根据等量关系列出方

程组，求出解即可.

【解答】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为X,y,Z,

X+y+z=14

2z—y=,

{(100%+lOy+z)-(lOOz+lOy+%)=99

(x=3

解得=7,

\z=4

答：原来的三位数为473.

15.某租车公司分两批采购4、8两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆8

型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆4型汽车、3辆8型汽车，共花费76万元(同

类型汽车进价不变).

(1)求A、5型汽车每辆的进价分别是多少万元？

（2）为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进A、B两种型号的新能源汽车（两

种车型都买），若恰好用完200万元，该租车公司共有几种购买方案？

【分析】（1）通过两批采购的费用列出方程组，求出两种车型的进价；

（2）再根据总预算列出不定方程，结合“两种车型都买”的条件求正整数解.易错点是忽

略“正整数解”的限制，或在解不定方程时漏解.

【解答】解：（1）设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元.

根据题意列二元一次方程组得，

（x+4y=68

（2x+3y=76，

解得忧得

答案：A型汽车进价20万元，8型汽车进价12万元.

（2）设购买。辆A型汽车，〃辆8型汽车，总花费200万元，

根据题意列二元一次方程得：2067+12/?=200,

解得匕=把m，

为使b为正整数，a必须满足50-5〃=3X15-5（4-1）能够被3整除，且iWaVIO,

即满足1能够被3整除且KV10.

可能的。值为1、4、7,对应b值分别为15、10、5.

ab

方案一115

方案二410

方案三75

答：共有3种购买方案.

16.根据以下素材，探索解决任务.

确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量

素材1小明与小聪为了测量10

元纸币、1元硬币和5角

硬币的质量，准备了足够

多的10元纸币、1元硬币

和5角硬币（设同种类每

张纸币的质量相同，同种

类每枚硬币的质量也相

同)，实验器材有：一架

天平和一个10克的硅码.

素材2小明：天平左边放5枚1

元硬币和1个10克的祛

码，天平右边放10枚5

角硬币，天平正好平

衡.小聪：天平左边放15

枚1元硬币，天平右边放

20枚5角硬币和1个10

克的祛码，天平正好平

衡.

素材3小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元

纸币和1个1()克的破码，天平右边放7