第七章 综合测试卷A卷（原卷版）

第七章复数综合测试卷A卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1.若（a+3i）i=匕-2i,其中a,i是虚数单位，则2=（）

A-2B-C-D--

•2233

2.若复数z满足iz=l-i（i为虚数单位），N为z的共粗复数，贝力制=（）

A.—B.1C.V2D.2

2

3.若复数z满足（3-4i）z=|3+4i],则复平面内表示z的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9

4.已知复数2=广二，则下列结论正确的是（）

1-1

A.z的虚部为iB.|z|=2

C.z的共聊复数]=D.z?为纯虚数

5.据记载，欧拉公式e"=cosx+isiar（xeR）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被

誉为“数学中的天桥”•特别是当工=兀时，得到一个令人着迷的优美恒等式朋+1=0,将

数学中五个重要的数（自然对数的底e,圆周率兀，虚数单位i,自然数的单位1和零元0）

联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式〃.根据欧拉公式，复数z=金的

虚部（）

A.巴B.色C,也iD.显

4422

6.在复平面内，满足（z—2）i=l+i的复数z对应的点为Z,则|应|=（)

A.V2B.75C.2x/2D.VlO

7.已知zwC,且|z-i|=l,i为虚数单位，则|z-3-5i|的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

8.设复数4=2sin0+icosO—<<?<—在复平面上对应向量0%,将向帚绕原点O

I4

按顺时针方向旋转亍后得到向量。Z；,OZ；对应复数Z2=r（cose+isin0）,则lanQ=

（）

2tan9+l2tan6>-l11

A.------------B.------------C.------------D.-------------

2tan<9-12tan^+l2tan0+12tanZ?-l

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求：全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。

9.已知复数z=3-4i（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（

A.|z|=5B.z的虚部是4

C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

10.若复数z满足z(l-i)=|l+Gi|,则(）

A.z=l+iB.忖=2

C.z-z=2D.z2=1-2i

11.已知复数Z1=*+(/—2],Z2=l—ai(awR),若马+公为实数，则()

A.a=\B.44=石

C.Z2”为纯虚数D.3对应的点位于第二象限

z?

12.已知复数4，Z2，Z3，彳是4的共枕复数，则下列结论正确的是（）

A.若Z|+Z2=（）,则上|=同|B.若Z2=z，则㈤=肉|

C.若Z3=z,,则闾=匕忆|D.若卜+1|=区+1],则匕|=忤|

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在复平面内，复数学对应的点为Z,则点Z的坐标为______.

2-1

14.复数马=cosx-isinx,Z2=sinx-icosx,则21•z2]=.

15.i为虚数单位，复数曰=_____.

3-4i

16.(1)设复数z=^(其中i为虚数单位)，则z的虚部是.(2)已知复数

Z满足IZ|=I,则Iz-3i|的取值范围为.(其中i为虚数单位)

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.已知z为复数，z+2i和白均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数目；

⑵若复数马=z+一=对应的点在第四象限，求，〃的取值范围.

m-\m+2

18.已知复数z=(＞一6〃?+8)+("「一3m+2)i,其中i是虚数单位，加为实数.

⑴当复数Z为纯虚数时，求用的值；

⑵当复数z・i在复平面内对应的点位于第三象限时，求，〃的取值范围.

19.已知复数Z1=i(l-i)3.

⑴求arg4及㈤；

(2)当复数z满足|z|=l,求|z-zj的最大值.

20.已知复数4=〃+（7-a）i,z2=5+（3t/+l）i（"R,i是虚数单位）.

(1)若z2的实部与4的模相等，求实数。的值;

（2）若复数4+Z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数4的取值范围.

21.若zeC,4z+2』=3百+i,0=sine-/cose（。为实数），i为虚数单位.

（1）求复数z；

（2）求|z-d的取值范围.

22.已知8（也2）,。（-2,3）,。（一1,〃）是复平面上的四个点，其中小，〃wR,

且向量的，而对应的复数分别为4，z2.

（1）若z「Z2=l-i,求4，z2；

（2）若上+马|=夜团=2,z?对应的点在复平面内的第二象限，求

z「l

第七章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.［云南保山期末］在复平面内，复数zi-3=-2i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第兀象限

2」河北承德双滦期中］已如复数2二三加历的虚部为（）

O।I

A.gB.liC.|D.|i

3.［浙江杭州上城月考］若复数z满足z+至R,则|z+i|的最小值为（）

A.—B.—C.V2-ID.l

32

4.复数i+i2+i3+...+i202J()

A.i-1B.i

C.-lDO

5.已知(l・i)2z=3+2i,则z=()

33

c[+iD弓i

6.设复数z满足匠2i|=3,z在复平面内对应的点为（%），）,则（）

A，CV-2）2+/=9

B.（X+2）2+/=9

C.f+G-2y=9

D.f+（y+2）2=9

7.已知z是复数，且p:z=T+与i；4：z+}£R，则P是q的（

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）

A.3+4iB.4+3i

C.-+3iD.3+竺i

33

二、选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.己知复数z=（l+2i）（2-i）N为z的共掘复数，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为3i

B.|z|=5

C.z-4为纯虚数

D.5在复平面上对应的点在第四象限

10.下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（）

A.V2-cos（」）-isin（」）-

44

B.V2Qos-+isin-^

44

C.V2Giny+icos^

44

c方（9TT..9TT）

D.V2vcos—4-isin—7

44

11.已知复数Z尸三。为虚数单位），下列说法正确的是（）

-1+1

A.z,在复平面上对应的点在第三象限

Bz的虚部为-1

C.zf=4

D.满足|z|=①|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

12.设/（e）=cos夕+isin/i为虚数单位），则/（8）=cos20+isin2^/（^）=cos36+isin38,…，若

/°（。）为实数，则0的值可能等于（）

A：B,^

1020

C-D-

三、填空题

13.［上海虹口校级期末］已知复数z产-百+i,若复数z满足2iz=zi,则复数z的辐角主值

为.

14.已知2i-3是关于x的方程2_/+px+26=0的一个根,则实数p=.

15.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(21),则/=.

16.已知复数z满足|z+24|=2,则岳1|的取值范围是.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.当实数m为何值或何取值范围时，复数z=Q±+(谓.2〃z)i为

m

⑴实数？

(2)虚数？

(3)纯虚数?

18.［陕西咸阳武功月考］设复数z产2+亩(其中a£R),Z2=4-3i,i为虚数单位.

(1)若Z1+Z2是实数，求a的值,并计算ZI-Z2的值;

(2)若久是纯虚数，求。的值.

Z2

19.设i为虚数单位,a£R,复数Zi=2+(/-l)i,Z2=l-2i,且.请从下面三个条件中任

选一个，补充在题目的横线上，并作答.

①QZ2ER;②2心=6⑵;③在复平面内复数4对应的点的横坐标等于纵坐标.

(1)求实数。的值；

⑵若"+仇b£R)是纯虚数,求实数b的值.

Z2

20.设△ABC的两个内角A,8所对的边分别为。为，复数zi=a+〃i,Z2=cosA+icos氏若复数

z.为纯虚数,试判断△ABC的形状，并说明理由.

21.已知复数z产〃?+〃i,Z2=2-2i和z=x+yi,设z=，ii-Z2,九若复数z\所对应的点

在曲线产扣+2)2+|上运动，求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程.

22.已知复数zi满足(1+i”i=-l+5i,Z2=a-3+i,〃£R.

⑴求Z1的共枕复数通;

(2)若出向＜阂，求。的取值范围.

参考答案

第七章综合训练

1.C由题意,2=氾=9*4=-2-3i,根据复数的几何意义，故复数对应的点(2-3)在第三

1l(T)

象限.

(3-i)(3-i)_8-6i_

2.Cz=—=g-刍，故5=：+/故5的虚部为，.

3+i(3+i)(3-i)一行一

..2(a-b\)(,2a),(

2

3.C设z=a+bi(a,b为实数且不同时为0),z+2=〃+bi+=a+bi+——2='6/+^—27+'

Za+bia2+b£a2+b

b-^-Ji,由题意可知〃一得b-0或当b-o时,z的轨迹是X轴(除原点外),

此时|z+i|的几何意义是复数z对应的点和点(0,-1)的距离，此时|z+i|>l.当a2+b2=2

H^,|z+i|=|a+(/?+l)i|=Ja2+(b+l)z=73+2b,因为d+//=2,所以4=2-也即2-/次,所

以月&.则13-2企W|z+i|&/3+2企，解得&JW|z+i区&+1.综上,|z+i|的最小值是

V2-L

4.B・・里=1产2J(i4)505.i=i,・・.i+i2+i3++j2O2=奥与.故选B.

1-11-1

5.B由题意得2=当=写=-1+'i.

(1-if-2i2

6.D因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以，三”i,故5-2i=x+(-y-2)i.因为历-2i|=3,所以

Jx2+(y+29=3,化简可得^+()叶2)2=9.故选D.

7.A显然，当z=；+尊时,z+工=；+=|+孚+卒=1£R,但当z+与R时，若

22z221,V3.221z

2+r

令z=a+Z?i(a,/?WR),则。+历Q+2：J+2：]'所以有b=0或/+加=],不一定

有z=1+故p是q的充分不必要条件，选A.

8.B设z=x+yi(x^R),则有+/+2计2)寸=13+61于是废：：-+2x=13,

，

产-X-4-0

或

解

43,-3，因为13-2仑0,故若,

(y-y

3,

所以工二三不符合要求，故z=4+3i.

9.BCD因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,故A错误;由团=团=4+32=5,故B

正确;z-4=3i为纯虚数，故C正确;5=4-3i在复平面上对应的点(4,-3)在第四象限，故D正确.

故选BCD.

10.BD对于A,aLcosl"-isin1?」=l+i,但是不满足复数的三角形式.故A不正确；

44

对于B,a(cos】+isin；)=1+i,故B正确;对于C,企(sin；+icos?)=1+i,不满足复数的三角

4444

形式，故C不正确;对于D,a(cosAisin与)=l+i,故D正确.

11.AB复数zi二七二-就夫二-普号=-1-i.z,在复平面上对应的点(-1川)在第三象限，故

A正确;Z|的虚部为-1,故B正确;(zi)4=GLi)4=(2i)2=4她C不正确;®|=V5,满足团=同的

复数z在熨平面上对应的点在以原点为圆心，半径为迎的圆上，故D不正确.故选AB.

12.AC尸)(〃)=cos109+isin10/要使f°电为实数，则sin10。二()10夕乂兀伏£2),故夕二景仁

Z),当k=\时，。端，当1=2时,哇.

13KVzi=-V3+i,2iz=zi,

,-V3+i(->/3+i)(-i)1,V3.ir,..n

・"二=),•、=T+—i=cos-+isin-,

2\2i(-i)2233

故复数z的辐角主值为半

14.12V2i-3是关于x的方程2f+px+26=()的一个根,・・.-2i-3是关于x的方程

2?+px+26=0的另一个根，则⑵・3)+(・2i・3)=刍得片12.

15.-1-21因为复数z对应的点的坐标是(・2,1),

所以z=-2+i,所以i-z=(-2+i)-i=-l-2i.

16.[3,7]设z=a,y)(x,y£R),

:复数z满足|z+2・4i|=2,

・・・J(x+2)2+(y-4)2=2,?IJ(x+2)2+(y-4)2=4.

・・・z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.

|z-l|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.

圆心与点(1,0)之间的距离d=J(-2-l)2+42=5,

则|z-11的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7].

17.解(1)若z为实数，可得产=°，解得〃『2.

(mH0,

・♦•当〃『2时,z为实数.

(2)z为虚数，则虚部J〉2*。,且〃靖0,解得〃印2,且〃?#).・•・当m的取值范围为(-8,0)U(0,2)

U(2,+oo)Ht,z为虚数.

m2+m-6_门

(3)z为纯虚数，则m—'解得机=-3.

m2-2m丰0,

・•・当m=-3时,z为纯虚数.

18.解⑴・・•zi=2+ai(其中a£R),z2=4-3i,

.*.zi+z2=6+(a-3)i.

由Z1+Z2是实数，所以a-3=0,解得。=3.

.*.Z!=2+3i,Z2=4-3i,

则zrZ2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.

⑵因为石=■=屈而而=^T+—1是纯虚数，所以9+4Q工0,解得片『故由于

19.解(1)若选①:由Zi+z2=3+(4-3)i£R,得/-3=0,解得<v=±V3.

若选②:由z)Z2=2-4i+(«2-1)i+2(a2-1)=2«2+(«2-5)i=6-