人教A版高一数学暑假预习：集合的运算（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

1.3集合的运算

【题型解读】

【知识储备】

1.并集和交集的定义

定义并集交集

一般地，由所有属于集合A或集合8一般地，由属于集合4且属于集合8

自然

的元素组成的集合，称为集合A与8的所有元素组成的集合，称为集合A

语言

的并集，记作4U/3与4的交集，记作ACI3

符号

AnB={.小且x£8}

语言

图形

语言

A\JB

［知识点拨］（1）简单地说，集合4和集合8的全部（公共）元素组成的集合就是集合A与8的并（交）集；（2）

当集合A,3无公共元素时，不能说A与8没有交集，只能说它招的交集是空集；（3）在两个集合的并集中,

属于集合A且属于集合4的元素只显示一次；（4）交集与并集的省同点是：由两个集合确定一个新的集合,

不同点是：生成新集合的法则不同.

2.并集和交集的性质

并集交集

简单AUA=A；AC\A=A；

性质AU0=A4n0=0

AUH=BUA；AnB=BClA；

常用AG(AUB)；(ACIBH4；

结论BQ(AUB)；(AClBKB；

AUB=B<=>AQBAC\B=B<=>BQA

3.全集

文字一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这

语言个集合为全集

4.补集

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A

文字语言

相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作G/4

符号语言04={.中£(/,且.怅川

图形语言

［知识点拨］(1)简单地说，CuA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合.

(2性质:AU(CM)=U,An(CyA)=0,C(XCt4)=A,QjU=。,Q0=U,C(XAAB)=(C(4)U(C(/B),CtXAUB)

=(CM)n(Q右).

(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.

(O)”

【题型精讲】

【题型一并集的运算】

必备技巧并集的运算技巧

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.

(2)若集合中元素个数无限，可借功数轴，利用数轴分析法求解-，但要注意是否去掉端点值.

例I(2022•江苏泰州高一月考)已知集合4={1,2},8={2,4,8},则=.

例2(2022.甘肃城关兰大附中高一月考)若集合4=3一2<xW2},B=e-1Wxv3},则AU3=

()

A.[—2,3)B.(—1,2]C.(—2,2]D.(—2,3)

【题型精练】

1.(2022・贵州南明贵阳一中高一期中)已知集合4={削-2<工<2},若AD3=A,则B可能是()

A.{1,-1}B.{2,3}C.[-1,3)D.[―2,—1]

2.(2022•哈尔滨市第一中学校)已知集合人=卜产04},8={巾<1},则集合AUB等于()

A.1x|l<x<21B.C.{小42}I).-2j

【题型二交集的运算】

必备技巧交集运算的注意点

(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法.

(2)若A,3是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实

点表示，不含有端点的值用空心点表示.

例3(2022•广西南宁市高一期中)已知集合A={x|-2vxWl},B=则4「B=()

A.{-2,—1,0,1}B.{-1,0,1}

C.{-1,0}D.{-2,-1,0}

例4(2022.浙江省兰溪市第三中学高一期中)已知集合A={X\X2-5X+6<0],B={xeZ\\<x<5},

则Af"=()

A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}

例5(2022•河北高一月考)已知集合”={(%y)|x-y=0},N={(%y)|y=/},则MnN中元素的个

数为()

A.0B.1C.2D.3

【题型精练】

1.(2022.上海高一月考)设集合A={3,5,6,8},集合8={45,7,8},则等于()

A.{5,8}B.{3,,6}C.{4,7}D.{3,5,6,8}

2.(2022.江西高一期末)已知集合人=卜,2—16<()},八卜,2_4工+3<()},则Af0=()

A.1x|3<x<4}B.{x|T<xv4}C.1X|1<X<31D.|x|-4<x<1J

3.(2022,北京人大附中月考)已知集合A={(x,y)|y=f},5={(%,y)|y=x},则4rB=()

A.{0,1}B.{(0,0)}C.{(U)}I).{(0,0),(U)}

【题型三补集的运算】

方法技巧求补集的方法

(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合4的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.

(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合.

例6(2022•河南焦作市高一期中)已知集合U={135,7,9},4={1,5,7},B={1,3},则UB)=()

A.{3,5,7,9}B.13,5,7}C.{1,9}D.{9}

例7(2021.浙江高一月考)已知集合人={刈。-3)(%+1)>0},3=3工一1|>1},则(94)03=()

A.[-l,0)J(2,3]B.(2,3]

C.(FO)U(2,+8)D.(-l,0)J(2,3)

例8(2022・山东滨州市高一期中)设全集(/={-3,-2,0,2,3},71={-3,3},8=卜|(%-3)(1-2)=0卜

则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2}

C.{3}D.{-2,0}

【题型精练】

1.(2022建国高一课时练习)设全集。="£2|国<2},A={A|X+1<0},B={-2,0,2},贝!支/)u8二

()

A.{1}B,{0,2}C.{-2,0,1,2)D.(-l,2]u{-2)

2.(2022・全国高一•课时练习)已知全集。=1<,A={x\\x\>x),/?=•x()<^<,则集合Q(4U8)

等于<)

A.{x|x>0}B.{x|x<l)C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<1}

3.（2022•浙江温州市高一期中）设全集〃为实数集分集合4=卜£/?卜＞V5},集合8={0,1,2,3）,则

图中阴影部分表示的集合为（）

A.{0}B.{0,1)C.{3,4}D.{1,2,3,4)

【题型四集合中的综合运算】

必备技巧解决集合交、井、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在

解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集

的运算.解答过程中要注意边界问题.

例9(2022•四川宜宾市高一期末)已知集合。={-2,—1,0,1,2,3},4={-2,7,0,1},B={0,l,2},

则An(QB)=()

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,3}D.{-2,-1,3}

例10(2022•沈阳市高一月考)已知非空集合A、B、C满足：AnBCC,ACICG8.则().

A.B=CB.AG(BUC)

C.(finC)c/1D.AC\B=Ar\C

例11(多选)(2021•山东济宁.高一月考)已知集合八={-2,-1,0,1},8={幻(*-1)(冗+2)<0},则

()

A.AnB={-2,-1,0,1}B.AuB={-2,-1,0,1)

C.AQ3={-1,0,1}D.A<JB={X\-2<X<\}

【题型精练】

1.(2021.浙江高一月考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合人={0,1,3,5},8={2,3,6},则4u(Q8)=

()

A.{3}B.{0,1,14}C.{(),1,3,4,5}D.{0,l,2,3,5,6}

2.(2022・六盘水市第二中学高一期中)设U=R,集合A=言)0»,B={xeR\0<x<2},

则S)C8=()

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]

3.（2022-山东济南市高一期中）（多选）图中阴影部分川集合符号可以表示为（）

B.AJ(BIC)

C.AnCu(BnC)D.Qin8)uG4nC)

【题型五集合运算中的求参问题】

例12（2022•黑龙江大庆实验中学高一月考）已知集合4=何3冗2-2工一14（）},B={x\2a<x<a+3}t

若At3=0,则实数。的取值范围是（）

A.1-,-用电收B.1-岁生小

I3」［2

1

C.□,一：U(2，+8)D.—co,——kJ[2收)

6

例13（2022•福建高一期中）已知集合4={工|.丫<。},B={x|l<x<2},且Au（G?B）=R,则实数。

的取值范围是（）

A.«<1B.a<1C.a>2D.a>2

例14（2022•安徽省桐城中学高一月考）已知集合4=口|0工工42},B={x\a<x<3-2a}.

（1）若（Q/1）UB=R,求〃的取值范围;

（2）若ACB手B,求a的取值范围.

【题型精练】

1.（2022•全国高一课时练习）已知集合4={0,l,a2},B={l,0,2a+3},若4nB=Au8,则实数&等于

（）

A.-1或3B.0或一1C.3D.-1

2.（2022•山西太原高一月考）已知集合4={•小8={.#+1加},若AU3=R,则实数。的取值

范围是（）

A.[2,+00）B.（-oo,2]C.[1,+8）D.（-8,1]

3.（2022•浙江高一课时练习）设集合人={1卜2-3工+2=0},B=1x|x2+2（6Z+l）x+«2-5=oj.

（1）若AcB={2},求实数。的值；

（2）若AD3=A,求实数。的取值范围；

（3）若全集U=R,An（Cu8）=A,求实数。的取值范围.

1.3集合的运算

【题型解读】

【知识储备】

I.并集和交集的定义

定义并集交集

一般地，由所有属于集合A或集合8一般地，由属于集合A且属于集合8

自然

的元素组成的集合，称为集合A与B的所有元素组成的集合，称为集合4

语言

的并集，记作AU/3与4的交集，记作ACW

符号

AU8=3r£A,或x£8}AC\B={x\x^A,且x£8}

语言

图形

语言(30

AUB

［知识点拨1（1）简单地说，集合A和集合4的全部（公共）元素组成的集合就是集合A与8的

并（交）集；（2）当集合A,B无公共元素时一，不能说A与8没有交集，只能说它们的交集是空

集；（3）在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合8的元素只显示一次；（4）交集与并集

的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同.

2.并集和交集的性质

并集交集

简单AUA=A；APIA=4

性质AU0=/AAC\0=0

AU4=4UA；4nB=40A；

常用4G(AUB)；(4CIB)GA：

结论BQ(AUB)；(ACIB)GB；

AUB=B^>AQB

3.全集

文字一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这

语言个集合为全集

4.补集

对于一个集合4,由全集U中不属于集合人的所有元素组成的集合称为集合A

文字语言

相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作Q/A

符号语言Q/A={4V£U,且x例}

图形语言

［知识点拨1(1)简单地说，QM是从全集U中取出集合4的全部元素之后，所有剩余的元素

组成的集合.

(2)性质：A\J(QuA)=U,An(CM)=0,C(XCM)=A,CuU=0,EO=U,CcXAnB)=(C^)U

(CM),MAUB)=(CuA)n(C出).

(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.

(Z®

C*U5)

u_

An(C，,.B)

【题型精讲】

【题型一并集的运算】

必备技巧并集的运算技巧

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.

(2)若集合中元素个数无限，可借助敷轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值

例1(2022•江苏泰州高一月考)已知集合4={1,2},B={2,4,8},则AUB=

【答案】{1,2,4,8}

【解析】・・・4={1,2},3={2,4,8},=41|3={1,2,4,8}.故答案为：{1,2,4,8}.

例2(2022•甘肃城关兰大附中高一月考)若集合A={x-2<x<2},B={x|-l<x<3),

则A|JB=()

A.[-2,3)B.(-1,2]C.(-2,2]D.(-2,3)

【答案】D

【解析】因为A={X|-2<XK2},B={X\-}<X<3},所以人^|3=(-2,3).故选：D.

【题型精练】

1.(2022•贵州南明贵阳一中高一期中)已知集合A={\-2<工<2},若=则8

可能是()

A.{1,-1}B.{2,3}C.[-1,3)D.[-2,-1]

【答案】A

【解析】因为A=8=所以四个选项中只有{1,一1}是集合4的子集.

故选：A

2.(2022•哈尔滨市第一中学校)已知集合A=[,"},3={x|xvl},则集合AJ8

等于()

A.{x|l<x<2}B.{x|x>1}C.{x|x<2}D.{x|x>-2}

【答案】C

【解析】由不等式可得一2WxW2,即集合A={x|-2WxW2},

又由集合8={x|xvl},可得AuB={x|x«2}.故选：C.

【题型二交集的运算】

必备技巧交集运算的注意点

(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法.

(2)若4,8是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含

有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.

例3(2022•广西南宁市高一期中)已知集合人=何—2vx<l},B={-2,-l,0},则

ACB=()

A.{-2-1,03}B.{-1,0,1}

C.{-1,0}1).{-2,-1,0}

【答案】C

【解析】因为一2eA，-IEA，OGA,所以AcB={-1,0}.故选：C.

例4(2022•浙江省兰溪市第三中学高一•期中)已知集合A={X|X2-5X+6<0),

B={x^Z\\<x<5},fliJACB=()

A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】./_5x+6WO=(x-2)(x-3)MO=2WxW3.A={x\2<x<3},

又3={xwZ|lvxv5}={2,3,4},所以Ac4={2,3},故本题选C.

例5(2022•河北高一月考)已知集合M={(x,y)|x-y=O],N={(x,y)|y=x3},则MAN

中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】因为集合M={(x,y)|x-y=0},N={(%,y)|y=%3),

所以MnN={(x,y)H：1}={(O,O),(l,l),(-L-l)},所以AC8中元素的个数为3,故

选：D

【题型精练】

1.(2022・上海高一月考)设集合A={3,5,6,8},集合8=[4,5,7,8},则8等于()

A.{5,8}B.{3,,6}C.{4,7}D.{3,5,6,8}

【答案】A

【解析】集合A={3,5,68},集合3={4,5,7,8},又集合A与集合8中的公共元素为5,8,

.,.AcB={5,8},故选A.

2.(2022.江西高一期末)已知集合4=卜,2-16<。[,8=卜,2_4无+3<0},则

AB=()

A.{x|3<x<4}B.{x|7vxv4}C.{X|1VX<3}D.|x|-4<x<1}

【答案】C

【解析】•・,集合4=卜产T6<0}={x|-4<x<4},

B=[x-4.r+3<01=|x|l<x<3|,A=<x<3}.故选：C.

3.(2022•北京人大附中月考)已知集合A={(x,y)|y=x2},4={(x,y)|y=x},则

A(\B=()

A.{0,1}B.{(0,0)}C.{(1,1)}D.{(0,0),(1,1)}

【答案】D

r

【解析】由"二"，得二:，或所以”8={(0,0),。/)},故选：【)

【题型三补集的运算】

方法技巧求补集的方法

(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.

(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合.

例6(2022•河南焦作市高一期中)已知集合U={1,357,9},A={1,5,7},B={1,3),则

Q(4UF)=()

A.[3,5,7,9}B.{3,5,7)C.{1,9}I).{9}

【答案】I)

【解析】题意，AJ8={L5,7}U{1,3}={1,3,5,7},又,..€/={135,7,9},(4uB)={9}.

选：I).

例7(2021•浙江高一月考)已知集合A={刈。一3)(x+l)>。},B={xllx-l|>l),则

©A)c8=()

A.L—1,O)U(2,3]B.(2,3]

C.(y,0)U(2,〃)D.(-l,0)U(2,3)

【答案】A

【解析】因为集合4={x|Q-3)(x+l)>0}，B={xllx-I|>l),

所以A={x|x>3或x<-l},B={x\x>2^x<0],

所以Cjl={x|-1«工43},所以(CRA)C8={X|2<X<3或一lWx<0},故选A.

例8(2022•山东滨州市高一期中)设全集。={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},

B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为()

A.{-3,2,3}B.{-3,—2,0,2}

C.{3}I).{-2,0(

【答案】D

【解析】vB={x|(x-3)(x-2)=0}={2,3},A={-3,3},/.AJB={-3,2,3},

乂全集U={—3,-2,0,2,3},所以，图中阴影部分所表示的集合为Cu(AJ8)={—2,0},

故选：D.

【题型精练】

1.(2022嚏国高一课时练习)设全集U={xGZ||X|<2},A={X|X+1<0},B={-2,0,2},

则(CM)uB=()

A.{1}B.{0,2}C.{-2,O,l,2}D.(-1,2]LJ{-2}

【答案】C

【解析】•・・U={X£Z|NW2}={-2,—1,0,1,2},A={X|X+1<O)={X|X<-1},

.•・C(M={0,l,2}，・••(QA)U8={-2,0,l,2}.故选：C.

2.(2022•全国高一课时练习)已知全集。=1<,A={x\\x\>x}tB=

则集合QG4U8)等于()

A.{x|x>0)B.[A,|x<1}C.{x|0<x<1)D.{A-|0<X<1)

【答案】D

【解析】化简集合4&得4={刈X<0},B={x|xNl},.•.AD8={X|XV。或X21}.

在数轴上表示如图.

:.^.（AuB）={x\0<x<\}.1EZ7故选：D

01M

3.（2022♦浙江温州市高一期中）设全集〃为实数集R,集合A={xGR\x>V3）,集合3=

{0,1,2,3},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{0}B.{0,1}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【解析】图中的阴影部分表示集合4中不满足集合A的元素，所以阴影部分所表示的集合为

{0,1}.

故选：B.

【题型四集合中的综合运算】

必备技巧解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补

集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较

直观、形象且解答时不易出错.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进

行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

例9(2022•四川宜宾市高一期末)己知集合〃={-2,-1,0,1,2,3},A={-2,-1,0,1},

3={0,1,2},则An(CuB)=()

A.{-2,—1}B.{0,1}C.{0,3}D.{-2,—1,3}

【答案】A

【解析】・・,集合U={-2,-L0,L2,3},A={-2,-1,0.1},8={0,1,2},

={-2,-1,3},4n(Q8)={-2,-1}.故选：A.

例10(2022•沈阳市高一月考)已知非空集合力、B、C满足：AQBQC,AnCGH.则

().

A.B=CB.力G(BUC)

C.(FAC)c/11).AdB=AOC

【答案】C

【解析】因为非空集合4、8、C满足：AHBQC,AQCQB,

作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，

所以=

故选：D.

例11(多选)(2021•山东济宁.高一月考)已知集合

A={-2,-1,0,=l)(x+2)K。},则()

A.4cB={-2,-1,0,1}B.408={-2,-1,0,1}

C.AQB={T,0,l}D.A<JB={X\-2<X<\}

【答案】AD

【解析】由(x-l)(x+2)W0解得一2WxKl，故AcB={-2,—1,0,1},

AD8={X|-2KX<1}.故选AD.

【题型精练】

1.(2021•浙江高一月考)已知全集。={0,1,2,34,5,6},集合A={0,1,3,5},B={2,3,6},

则AU(Q8)=()

A.{3}B.{0,1,3,4}c.{0,1,3,4,5}D.{0,1,2,3,5,6)

【答案】C

【解析】•,•全集U={0,2,3,4,5,6},集合B={2,3,6},则QB={0,1,4,5},

又・••集合4={0,1,3,5},因此，4U(Q8)={0,1,3,4,5}.故选：C.

2.(2022・六盘水市第二中学高一期中)设(7=/?，集合A=

1-2/

8={x&R\0<x<2}t则(Q4)n8=()

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]

【答案】B

【解析】VU=R,

x—1

集合A={xWR|----->0]={x£R|xVl或x>2}=(-oo,1)U(2,+co),

x-2

ACuA=[l,2]；集合B={x£R|0VxV2}=(0,2),:.(CuA)QB=[h2).故选：B.

3.(2022•山东济南市高一期中)(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为()

A.An(BuC)B.AU(BriC)

C.AACu(BnC)D.G4CB)U(4nC)

【答案】AD

【解析】由图可知，阴影部分是集合/，与集合c的并集，再由集合力求交集，或是集4与/，

的交集并上集合力与。的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为AC(BDC)或

(AnB)o(AnC),故选：AD

【题型五集合运算中的求参问题】

例12(2022•黑龙江大庆实验中学高一月考)已知集合人=卜|3/-2x—1<。},

B={x\2a<x<a+3},若=则实数。的取值范围是()

10101

A.-00,--U--—,+0CB.—00,--0--—,+00

3(232

C.-co,----U(2,+oo)D.-00,—U[2,+8)

6)6

【答案】B

【解析】A=[X\3X2-2X-\<0]-<x—<x<1>,

3

当5=0时，Q+3K2Q,解得〃23,符合题意:

2a>i。+3工—110

当8工0时，或・3,解得一Wa<3或——

2a<a+323

2a<a+3

101

综上所述，实数〃的取值范围是+8.故选：B

T2)

例13(2022•福建高一期中)已知集合A={x|x<a},8={x11<x<2},且Au(CRB)=

R,则实数〃的取值范围是()

A.a<\B.a<\C.a>2D.a>2

【答案】C

【解析】CKB={x\x<l,^x>2\.

|x<l,^!cv>2}—A之2.故选C

例14(2022•安徽省桐城中学高一月考)已知集合人={工|04工42),

8={x\a<x<3-2a}.

(1)若(C/)UB=R,求a的取值范围;

(2)若AnBHB,求a的取值范围.

11

【答案】(1)-oo,-(2)ae-,+oc.

[2;2)

【解析】(1)•・•A={x|00x<2},・・・(：(7"={X|%<0或不〉2},

若(QM)U8=R,

a023-2a

3-2a>ai/i-

则a<0,即〃《彳••・实数a