2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷01【测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部】（全解全析）

高二数学下学期第三次月考卷01（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.二项式（3代一2）6的展开式中常数项为（）

A.-540B.540C.15D.-15

1.【答案】B

【解析】二项式（3板-盘）6的展开式的通项为7V+1=以（3g—・（-最丫=靠g弓•x号；

所以二项式(3石一§6的展开式中常数项为空xC看=540.

故选：B.

2.已知函数/(工)=1+居则/(乃在％=0处的切线方程为()

A.y=1B.y=x+1C.y=—x+1D.y=2x+1

2.【答案】D

【解析】••"'(")=e，+l,/-(0)=e°+0=l,，(0)=e°+l=2,

fOO在工=。处的切线方程为y=2(x-0)+1=2%+1.

故选：D.

3.设X〜N(12Q2),且P(XN15)—P(9<XV12)=O.1,则P(XW9)=()

1/13

A.0.3B.0.35C.0.4D.0.45

3.【答案】A

【解析】由对称性质知P(X<9)=P(X>15),且P(X<9)+P(9<X<12)=0.5,

又P(XN15)-P(9<X<12)=P(X<9)-P(9<X<12)=0.1,

所以P(XW9)=03

故选：A.

4.相关变量的样本数据如下表:

Xi234

y23a5

经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为歹=1.5x+1,下列说法正确的是

()

A.当为每增加1时，y一定增加1.5B.当y每增加13时，%一定增加8

C.y与%呈负相关D.。=9

4.【答案】D

【解析】对于A,因为回归直线方程为g=1.5%+1,故当％每增加1时，y增加约为1.5,

故A错误；

对于B,因为回归直线方程为9=1.5%+1,故当y每增加13时，%增加约为8,

故B错误：

对于C,因为1.5>0,故y与x呈正相关，故C错误；

对于D,又=2.5,故歹=1.5x2.5+1=4.75,故^^=4.75,故a=9,

故D正确；

故选：D.

5.已知a=InVLb=:,c=lnV3,则a、b、c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

5.【答案】D

【解析】根据式子结构，构造函数/(乃二竽，则,。)=等，

令ra)>o,fflo<x<e,令r&)vo,得―〉e,

2/13

因此f(x)=等在(0,e)单调递胤在[e,+8)单调递减，

而。=lnV2=等=竽=/(4)，b=~=~=/(e)，c=lnV3=殍=f(3),

因为4>3>e,所以/(e)>"3)>/(4),即b>c>Q.

故选：D.

6.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山(今四川省眉山市)人,北宋文学家、书法家、画家，历史治水名

人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有()种分配方案

A.90B.120C.360D.540

6.【答案】D

【解析】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：

情况一：按1,1,4分组：则有誓=15种：

八2

情况二:按1,2,3分组：则有微髭=60种;

情况三：按2,2,2分组：则有喈=15种;

所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有(15+60+15)属=90x6=540种分配方案，

故选：D.

7.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和

女生各50名作为样本，设事件力二”了解deepseek"，B="学生为女生“，据统计尸(川B)=[,P(B\A)=

将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数

为X,则当P(X=k)取得最大值时的k(kwN・)值为()

A.16B.17C.18D.19

7.【答案】C

【解析】已知P(川8)=g,P(B|4)=*抽取男生和女生各50名，所以P(8)=舄=)

根据条件概率公式P(4|B)=黯，可得P(4B)=P(4⑻P(8)=|x1=4

再根据条件概率公式产声⑷=需，可得尸⑷=需=¥=总

所以随机变量X〜8(40,4)，

:陶解二:器:福二解得丘喑,

令

3/13

因为kWN*,所以当k=18时，P(X=k)取得最大值.

故选：C.

8.若对任意的工£(—1,+8),不等式(廿一。)[皿。+1)—0之0恒成立，则0一力的最小值是()

A.-1B.0C.1D.2

8.【答案】C

【解析】由于函数丫=e*—a,y=】n(x+1)—b在(一1,+8)卜均单调递增,故均至多有一个零点，

而不等式(e*-a)[ln(x+1)-b]>0恒成立，

若QWO,则需ln(x+1)—b工0恒成立，由于y=ln(x+1)的值域为R,故ln(x+1)-b20不恒成立；

故Q>0,则丫=e'-a,y=ln(x+1)-b有公共零点，设为%0，%()>-1,

则Ln(；二号二/=0，即｛b=：n羡+1)，

故Q—b=e"。一)n(x0+l)，0o>-1),

令/■(%)=ex-ln(x+1),(%>-1),则r(x)=ex-击，

f'(0)=1,由于y=ex,y=-左在(-1,+8)上均单调递增：

故尸Q)=1一於1在(-1，+8)上单调递增，

则一1V%<0时，f(x)<0；x>0时，r(x)>0；

故/'(乃在(一1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故f(x)min=f(0)=1，即a—匕的最小值为1，

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若(2一％)8=a。+%%+a2%2+…+。8源，则()

A.do=256B.a2Vo

C.+Q1+…+。8=1D.即+。3+=1—38

9.【答案】AC

【解析】乂？一%)8=劭+02%2+…+。8/，.•.令X=0得劭=28=256,故选项A正确；

rr

由(2—％)8展开式的通项公式77+1=既x28Tx(-xy=(-l)-28f♦CQx,

令r=2得73=(-l)2•28-2.c1x2=1792x2,所以=1792>0,故选项B不正确；

令x—1得。0十十口2+…十。8—(2—I)8—1»故选项C正确；

4/13

令X=一1得。0—+。2—。3+…+。8=(2+I)8=38,两式相减得2(即++。5+。7)=1-3%

故出+的+。5+。7=土^，故选项D不正确.

故选：AC.

10.甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再

从乙罐中随机取出两球，记A表示事件“甲罐取出的球是红球”，记8表示事件“乙罐取出的球恰有一个红

球“，则()

34

A.P(B\A)=-B.P(AB)=—

CP(8)=葛D.。(川8)=9

10.【答案】BCD

【解析】A选项，由条件概率知：«8|力)=警=。，「.A选项错误；

B选项，由条件概率知：P{AB)=P(A)-P{B\A)=|X.,・B选项正确;

C选项，。(8|%)=是小=卷

由全概率公式知:P(B)=P(ALP(Bb4)+Pa)・P(B3)=0+"x]=W选项正确;

4

后8

D选项，由条件概率知：P(川8)=£得=-

_。

30

又P(N|8)=1-P(A\B)=1--=—,.••口选项正确.

故选：BCD.

11.对于函数/'(%)=?,下列说法正确的是()

A./(乃在x=e处取得极大值gB.fO)有两个不同的零点

C.20242025>20252024D.若/'(%)<%—上在(0,+8)上恒成立，则k<1

11.【答案】ACD

【解析】对于A,由题知，尸(无)=等，x>0,

则当工E(0,e)时，f(%)>0,单调递增，

当％G(e,+8)时，f<x)<0,/(x)单调递减，

所以/•(%)在％=0处取得极大值，且为/'(6)=(=:故A正确；

5/13

对于B,因为/⑴二早=。，於)=犀=一€<0,且当"+8时，等->0,

且%>1时，/(x)>0,

所以可得/(%)草图如下，

f(x)有1个零点，则B错误;

对于C,假设20242°25>20252024,l)liJ)n2O242025>ln2O252024,

所以20251n2024>20241n2025,则喘博祟，

202420Z5

又％W(e,+8)时,f(x)<0,f(%)单调递减,e<2024<2025,

所以20242025>20252024成立，故C正确；

对于D,若/'(%)Vx—k在(0,+8)上恒成立，

则y竽令。(Q=、_竽则或乃=1一胃二号2,

令G(x)=d+]nx—1,则G，Q)=2%+§>0,

故G(%)在(0,+8)上单调递增,又G⑴=0,

所以当工£(0,1)时，g'M<0,g(x)单调递减,

当工€(1,+8)时，g\x)>0,g(x)单调递增，

故9(X)min=9(1)=1，故上<1，故D正确.

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表:

父亲身高x/cm166168172178186

儿子身高y/cm169175175181m

若V关于％的经验回归方程为y=0.5x+89,则m=

12.【答案】180

6/13

166+168+172+178+186.-169+175+17S+181+m700+m

【解析•】由题设歹=-----------------=174,y=5=-5-

所以卫绊=0.5x174+89,可得m=180.

故答案为：180.

13.曲线y=e*+x在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+a)的切线，则实数。=

13.【答案】空

【解析】对于y=e*+%,当x=0时y=l,又/二屋+1,所以y'|x=o=2,

切线斜率为k=2,切点为(0,1)；

则曲线y=ex+x在％=0处的切线为y=2x+1,

令g(x)=ln(x+a),则g'O)=看设切点(々),ln(%o+a)),

-1-In2

I/j「解得XQ=—7—

由2+hi2

a

ln(x04-tz)=2x04-l.~

故答案为：竿

14.一个不透明的袋子中装有3个黑球，几个白球(nEN*),这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任

意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为券设X为取出白球的个数，则E(X)=.

4U

14.【答案】|

r2rla1Q

【解析】由题可知，数=4,即丽丽丽旷翔解得九二3,

则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=L，2(*=1)=警=煮

P(X=2)=警=",P(X=3)W=4,

所以Z?(X)=°x4+lx4+2x^+3x4=1.5.

故答案为：!

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有

72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示.

7/13

是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计

周平均服务时长超过2小时5472

周平均服务时长不超过2小时

总计72120

(1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率..

(2)请完成2x2列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是，志愿模范队，成员”与“周平均

服务时长超过2小时“有关系？

附录•Z2=----Mad-bcp----其中九=Q+b+c+d

X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‘丹十"u-ru-rctu.

PJ2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

15.(13分)

【解析】(1)设事件4表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件B表示志愿者周平均服务时长超过2

小时的事件.

由题可知九(。)=120,"4)=72,71(4n8)=54,因为每人志愿者被抽到的可能性相等，

根据古典概型的概率公式得，「(力)=磊=急=春PG4c5)=喘=卷=粉

由条件概率公式可得，则P(BM)=用器=争=*

故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为*

(2)由题可得如下2x2列联表：

是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计

周平均服务时长超过2小时541872

周平均服务时长不超过2小时183048

总计7248120

提出零假设Ho：是否'志愿模范队'成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平

a=0.001.

可得*2=座需般浮=零=16875,由于12>io828,拒绝零假设，

8/13

故有99.9%的把握认为“是，志愿模范队，成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关.

16.(15分)

2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感

受这座“每天不•样”的城市的蓬勃心跳.本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目,

社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求

(1)若将这5人分配到二个比赛项目,每个比赛项目至少安排1人,有多少种不同的分配方案？

(2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的

分配方案？

16.(15分)

【解析】(I)将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，

若为1,1,3,则有熊=10种分组方式，

再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有10A3=60种：

若为1,2,2,则有争=15种分组方式，

再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有15Ag=90种，

所以由分类加法计数原理可知，共有60+90=150种不同的分配方案.

(2)先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有熊=10种方法，

然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有房=2种，

则共有10X2=20种分配方案，

若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可,

有质=6种分配方案，

最后共有20-6=14种分配方案.

17.(15分)

已如函数f(x)=Inx-ax-\-^.

(1)当Q=-1时，求曲线y=f(x)在点&/(3)处的切线方程：

(2)求的单调性和极值.

17.(15分)

［解析】(1)当Q=—1时，则f(%)=Inx+x+1,

求导得r(幻=：+1，则尸(》=©+1，而/'(6=《

9/13

所以曲线y=/(%)在点&/(》)处的切线方程为y=(e+1)(%-；)+；,即(e+l)x-y-l=0.

(2)函数/'(%)=lnx-ax+点的定义域为(0,+8),求导得「(%)=：一0显然a工0,

当a<0时,f'(x)>0,函数/")在(0,+8)上单调递增,无极值;

当Q>0时，由r(乃>0,得0<x<3由;(幻<0,得%>5，

因此函数fQ)在(0,》上单调递增，在《十8)上单调递减，

在％=5处/Q)取得极大值胆)=2一Ina-1,无极小值，

所以当aV0时，函数人外在(0,+8)上单调递增，无极值；

当a>0时，函数f(%)在觞)上单调递增，在6+8)上单调递减，极大值为专一Ina-1,无极小值.

18.(17分)

有50杯无色透明的液体，其中有48杯消水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设

计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，洛同组内的所有液体取样混合，第一轮对每

组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测.

(1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率；

(2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为X,求X的分布列和数

学期望E(X)；

(3)在(2)的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测

的总次数为匕试判断以了)与E(X)的大小.

18.(17分)

【解析】(1)依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都枪测到，意味着前9次检测出1份含盐水样

本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本，

从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为

从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为砥，

前9次检测的排列数为A*总的10次检测的排列数为A&

根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：。=受萨=噌=

工

5,

(2)依题意，X的可能取值为15,20,

10/13

c3q4

P(X=15)=-=1=-,

P(X=20)=l-布4=4*5，

得X的分布列为:

X1520

445

P

4949

得X的数学期望E(X)=15X总+2。x葛=黑+黑=鬻

(3)依题意,丫的可能取值为15,25,

8的！

p(y=i5)=就=要=V,

4940!9!

Q40

p(y=25)=i--=-,

得丫的分布列为：

Y1525

940

P

4949

得丫的数学期望%)=15'磊+25乂%=贵+甯=翳.

EG)-翳〉E(X)-鬻.

19.(17分)

已知函数/(x)=exln(x+1)+ax.

(1)当a=0时，求/(%)的单调区间；

(2)若%>-gf(x)之/(0)恒成立，求a的值：

(3)若/'(%)在区间(0,+8)上存在零点，求a的取值范围.

19.(17分)

【解析】(1)当Q=0时，/(%)=exln(x+1)»(-1,+co),

则((%)=小(工+1)+用.

令g(x)=in(%+i)+a，则g'Q)二^'一岛齐二品7.

当-«-1,0)时,g,(x)<0,g(x)单调递减；当工£(0,+8)时，/(%)>0,g(x)单调递增,

11/13

所以g(x)?g(O)=